线段与角的复习讲义一对一.docx

线段与角的复习讲义一对一
知识框架：
. 1.线段大小的比较方法
①叠合法：比较两条线段AB 、CD 的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点A 和C 重合，另一端点B 和D 落在直线上A 和C 的同侧。

若B 与D 重合，则AB ＝CD ；若D 在AB 上，则AB>CD ；若D 在AB 延长线上，则AB<CD 。

②度量法：分别量出每条线段的长度，再比较。

2.线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短。

3.两点之间的距离
联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离。

4.两条线段的和、差
两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）。

5.线段的倍、分
线段的倍：na （1n >为正整数，a 是一条线段）就是求n 条线段a 相加所得和的意义。

na 也可理解为：线段a 的n 倍。

线段的中点：将一条线段分成两条相等线段的点叫这条线段的中点。

6.角的概念
角的定义：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；（顶点，边）
②一条射线绕着其端点旋转到另一个位置所成的图形。

（始边，终
边）
角的表示：,,,1AOB O α∠∠∠∠ 7.方位角
①方位角的正方向与地图中一样， 上北下南，左西右东；
②处在四个直角平分线上的方向，
分别称为：东南、东北、西南、西北方向； ③其他方向要用到“偏”字：北偏东α︒， 北偏西β︒，南偏东γ︒，南偏西δ︒。

8.角的大小比较方法
①度量法：用量角器量出角的度数来比较。

②叠合法：把一角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以比较两个角的大小。

9.画相等的角
①度量法：①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；②对线：将量角器的零度刻线与角的一边重合；③读数。

②尺规法：用直尺与圆规做图。

10.角的和、差、倍的画法 ①度量法：
②尺规作图法：
11．角平分线的概念及画法
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

画法：①用量角器画图：量→算→画；②用直尺与圆规作图 12.余角、补角
余角：若两个角的度数的和是90︒，这两个角互为余角，简称互余。

其中一个角是另一角的余角；
补角：若两个角的度数和是180︒，这两个角互补。

其中一个角是另一个角的补角。

性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

13．角的度量单位、角的换算及角的分类 角的度量单位：度、分、秒； 角的换算：160',1'60''︒==，111',1'''6060⎛⎫⎛⎫
=︒=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 角的分类：小于90︒且大于0︒的角叫做锐角；等于90︒的角叫直角；大于90︒
小于180︒的角叫做钝角。

典型例题： 例1填空
1、 线段AB=2，延长AB 到点C ，使BC=AB ，再反向延长AB 到D ，使AD=AB ，则AC=________,BD=______________.
2、 线段AB 被点M 分成2：3两段，且被点N 分成4：1的两段，且MN=3，则AB=__________________.
3、 若点D 在线段AB 的反向延长线上，则AD______BD.（填“<”或“>”）
4、 如图：D 是BC 的中点，AC=2，若AB=10，
则CD=__________ (第4题图) 5、 一个角的余角的3倍是这个角的2倍，则这个角等于____________. 6、 互为补角的两角之差为20°，这两个角的度数分别是_____________. 7、 计算：180°-62°58′4″=____________. 8、已知直线AD 上的点B 、C ，
则AC+BD-BC=____. （第8题图）
9、 射线OA 位于北偏东25°方向，射线OB 位于南偏东70°，则∠AOB =____度
10、如图，点A、M、B在一条直线上，∠AMC=52°48′，
∠BMD=74°30′，则∠CMD=___
例2、如图，已知线段AB=10cm，C为线段AB上一点，M、N分别为AC、BC的中点，（1）若BC＝4cm，求MN的长，（2））若BC＝6cm，求MN的长，
（3）若BC＝8cm，求MN的长，（4））若C为线段AB上任一点，你能求MN 的长吗？请写出结论，并说明理由。

例3、如图，已知∠AOB＝90°，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
（1）若∠AOC＝30°，求∠MON的度数，
（2）若∠BOC＝50°，求∠MON的度数，
（3）由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。

B
N
C
M
例4、如图，已知线段AB=10cm，C为线段AB延长线上一点，M、N分别为AC、BC 的中点，
（1）若BC＝4cm，求MN的长，92)若BC＝6cm，求MN的长，
(3)若C为线段AB延长线上任一点，你能求MN的长吗？若能，请求出MN
的长，并说明理由。

例5、如图，已知∠AOB＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC，
（1） 若∠AOC＝40°，求∠MON 的度数，
（2） 若∠AOC＝α，求∠MON 的度数，
（3） 若∠BOC＝β，求∠MON 的度数， （4） 由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理由。

例6已知∠AOB＝α，过O 任作一射线OC ，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，
（1） 如图，当OC 在∠AOB 内部时，试探寻
∠MON 与α的关系； （2） 当OC 在∠AOB 外部时，其它条件不变，
上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由。

巩固练习 1．如图，AB:BC:CD ＝2:3:4，如果AB 中点M 和CD 中点N 的距离是24cm ，求AB ，BC ，CD 的长度
A B C
N
M O B A C N M O A M B C N D
2．已知：如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD=42︒，求∠EOC的大小
3、
1
2
AOB AOC AOD AOC BOC BOD
∠∠∠∠∠=∠
如图，已知是的余角，是的补角，且，AOC BOD
∠∠
求、的度数。

4．已知如图，AB＝10，点C为线段AB上一点，点D、E分别为线段AB、AC的中
点，ED＝1，求线段AC的长。

5．如右图，已知：C，D是AB上两点，且AB=20cm,CD=6cm,M是AD的中点，N是
BC的中点，则线段MN的长为。

E D C B
A
O A
B
C
D
O
A B
C D
E
6．如图，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB =100︒，OF 平分∠BOC ，∠AOE =∠DOE ，∠EOF =140︒，求∠COD 度数。

7．如线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD
=
31AB =5
1
CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 的距离为6cm ，求AB 、CD 的长.
8．点A 、B 在数轴上的位置如图所示，点P 是数轴上的一动点
（1）若PB=2，则点P 表示的数是 _____________;
（2）若点P 是AB 的三等分点，则点P 表示的数是 __________________ （3）是否存在点P ，使PA+PB 的值最小？若存在，则点P 在数轴的什么位置？PA+PB
的
最
小
值
是
多
少
？
答
____________________________________________________________; （4）若PB=2且点M 是AP 的中点，求线段AM 的长。

A
C
B D E F
拓展延伸： 1、如图，,
,点B 、O 、D 在同一直
线上，则的度数为（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2、如图，已知AOB 是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，
OF ⊥AB ．则
（1）∠AOC 的补角是 ； （2） 是∠AOC 的余角； （3）∠DOC 的余角是 ； （4）∠COF 的补角是 ．
3、如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AO B=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分∠COE ， 求∠CO B 的度数（7分）
4、如图10，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，
OF 平分AOE ∠，34COF o ∠，求BOD ∠的度数．
A ．如图9，点O 是直线A
B 上的一点，OD 是∠AO
C 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，若∠AO
D =14°， 求∠DO
E 、∠BOE 的度数．
E
D
C
B A
O
6、如图10，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．
7、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB /
＝700
，则∠B /
OG ＝______．
8、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD ．
9、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． （1）若∠DOB 与∠DOA 的比是2∶11，求∠BOC 的度数．
（2）若叠合所成的∠BOC =n°(0<n<90)，则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少
图10
A C
B
E
F
B '
第7题图
10、如图，点C 在线段AB 上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M 、N 分别是AC 、
BC 的中点。

（1）求线段MN 的长；
（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a 厘米，其它条件不变，你能猜
想MN 的长度吗？并说明理由。

11、如图，已知C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，求AD 的长度。

12、如图9，
ＡＤ＝1
2
ＢＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，ＢＥ＝２ｃｍ，ＡＣ＝１０ｃｍ，求线段ＤＥ的长．
A
B
C
M
N
图9
A
D
C
B
E
1．有一张地图（如图），有A、B、C三地，但地图被墨迹污损，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A
地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能确定C•地的位置吗？
2．如图8，东西方向的海岸线上有A、B两个观测站，在A地发现它的北偏东30°方向上有一条渔船，同一时刻，在B地发现这条渔船在它的北偏西60°方向上，试画图说明这条渔船的位置．
15、如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是___________;
（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________;
（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,
作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向是_____________。

（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。

11。