【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2017届高三第三次(10月)月考理数试题(原卷版)

湖南省衡阳市八中2017届高三第三次（10月）月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i
2.“6π
α=”是“tan α=”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
3.下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（ ）
A ．21x y =-+
B ．1x y x
=- C ．()12
log 1y x =- D ．()21y x =--
4.已知正项数列{}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥，则6a =（ ）
A ． 16
B ．8
C ．
D ．4
5.若向量,a b 的夹角为
3π，且2,1a b ==，则a 与2a b +的夹角为（ ） A ．6π
B ． 3π
C ． 23π
D ．56
π 6.函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()2f x f x x <-+的 解集为（ ）
A ．|01x x x ⎧⎫⎪⎪<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
B ．|11x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
C ．|1x x x ⎧⎪
-≤<<<⎨⎪⎩0 D ．|0x x x ⎧⎫⎪⎪<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭
7.在函数222sin ,sin 2,sin cos 322x x y x y x y π⎛
⎫==+
=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ． 1 B ．2 C ． 3 D ．4
8.设函数()21log 21x f x x =+-,定义121...n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,其中,2n N n *∈≥,则 n S =（ ）
A ．()12n n -
B ．()21log 12
n n --- C ．12n - D ．()21log 12
n n -+- 9.已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动, 且AB BC ⊥,若点P 的坐标为()2,0,则PA PB PC ++
的最大值为（ ）
A ． 6
B ．7
C ．8
D ．9
10.已知函数()()sin (,,f x A x A ωκωϕ=+均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π=
时， 函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f <-<
B ．()()()022f f f <<-
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()202f f f <<-
11.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-在区间()0,1内任取两个实数,p q ，且p q ≠，不等式 ()()112f p f p p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]12,30 B ．(],18-∞ C ．[)18,+∞ D ．(]2,18-
12.已知()()2
ln 01x f x a x x a a a =+->≠且，若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．2±
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知sin 2cos 0x x +=，则2sin 1x += ．
14.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日
一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m 的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有 两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每 天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S = 尺．
15.已知函数()cos ,,3,2f x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
若方程()f x m =有三个不同的实根，且从小到大依次成 等比数列，则m 的值为 ．
16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的,x y R ∈都有()()()f x y xf y yf x =+ 成立，数列{}n a 满足()()3n n a f n N +=∈,且13a =,则数列{}n a 的通项公式为n a = ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出理字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知函数()x
f x k a -=（,k a 为常数，0a >且0a ≠），的图象过点 A ()()0,1,3,8B .
（1）求实数,k a 的值；
（2）若函数()()()11
f x
g x f x -=
+，试判断函数()g x 的奇偶性, 并说明理由.
18.（本小题满分12分）已知,,A B C 三点的坐标分别为()()()3,0,0,3,cos ,sin ,A B C αα其中 3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （1）若,AC BC =求角α的值；
（2）若1,AC BC =-求tan 4πα⎛⎫+
⎪⎝⎭
的值. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，122,3a a ==，且()11232n n n a a a n +-=+≥.
（1）设1n n n b a a +=+,证明{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
20.（本小题满分12分）如图1, 有一建筑物OP ,为了测量它的高度, 在地面上选一基线AB ,设 其长度为d ,在A 点处测得P 点的仰角为α,在B 点处的仰角为β
.
（1）若40,30,45AB αβ===,且30AOB ∠=,求建筑物的高度h ；
（2）经分析若干测得的数据后, 发现将基线AB 调整到线段AO 上(如图2)，α与β之差尽量大时，可 以提高测量精确度，设调整后AB 的矩离为d ，4tan d
β=，建筑物的实际高度为21，试问d 为何值时， βα-最大？
21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个 数1247,,,,...a a a a 构成等差数列{},n n b S 是n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===.
（1）若数阵中第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比相等, 已 知916a =,求50a 的值；
（2）设122111...n n n n
T S S S ++=+++,求n T .
22.（本小题满分12分）已知二次函数()2
(,r x x ax b a b =++为常数,,)a R b R ∈∈ 的一个零点是 a ,函数()ln ,g x x e =是自然对数的底数, 设函数()()()f x r x g x =-.
（1）过点坐标原点O 作曲线()y f x =的切线, 证明切点的横坐标为1；
（2）令()()x f x F x e
=,若函数()F x 在区间()0,1上是单调函数, 求a 的取值范围.
：。