2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十四)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十四）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}{}
2
211220A B x x x =--=-≤，
，，，，则A B =（ ）
A. ()1
2， B. []1
2， C. {}1
2， D.
{}12x x ==，
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求集合B ，再求A
B .
【详解】220x x -≤， 解得：02x ≤≤
{}02B x x ∴=≤≤，
{}1,2A B ∴=.
故选：C
【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2.若3
sin()25
π
α-=，则cos2α=（ ） A.
725
B. 2425
C. 725
-
D. 2425
-
【答案】C 【解析】 【
分析】
根据题意先求出3
cos 5
α=
，然后再用倍角公式求解即可得到结果． 【详解】由条件得3sin cos 25παα⎛⎫
-== ⎪
⎝⎭
， ∴2
2
37cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
． 故选C ．
【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．
3.若00x y >>，，则2x y +≤是22
4x y +≤的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断22
4x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判
断充分必要条件.
【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>
()2
22424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，
∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，
反过来，当2x y ==
时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，
∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.
故选：A
【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4.已知等比数列{}n a 满足1223612a a a a +=+=，，则1a 的值为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意列方程组112
1
16
12a a q a q a q +=⎧⎨
+=⎩求解. 【详解】设等比数列的公比为q ，
112116
12
a a q a q a q +=⎧∴⎨+=⎩ ，解得：12,2q a == 故选：B
【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型. 5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为
4
3
，则图中x 的值为（ ）
A. 2 2
C. 1
D.
12
【答案】C
【解析】 【分析】
画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x 的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC -，如下图所示
由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫
=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭
，解得：1x = 故选：C
【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 6.已知ln 2421
log 532
a b c e ===，，，则a b c ，，满足（ ） A. a b c <<
B. b a c <<
C. c a b <<
D.
c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小. 【详解】4221
log 5log 5log 52
a ==
= 221
3log 32
b == ，
2log y x =是单调递增函数，
2221log 5log 3log 42∴<<<= ，
ln 22c e ==，
a b c ∴<<.
故选：A
【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.
7.已知直线:1l y x =-与抛物线2
4y x =相交于A B ，两点，M 是AB 的中点，则点M 到
抛物线准线的距离为（ ） A.
72
B. 4
C. 7
D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据数形结合分析可知点M 到抛物线准线的距离1
'2
MM AB =
，再根据弦长公式求AB . 【详解】由题意可知直线1y x =-过抛物线2
4y x =的焦点()1,0，如图，
',','AA BB MM 都和准线垂直，并且垂直分别是',','A B M ，
由图象可知()1
'''2
MM AA BB =
+， 根据抛物线的定义可知''AA BB AB +=，
1
'2
MM AB ∴=
， 2
1
4y x y x
=-⎧⎨=⎩ 联立得2610x x -+=， 126x x += ，
1228AB x x ∴=++=， '4MM ∴=.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.
8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1
sin 2
f x x x =
-的图像大致是（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫
-=
---=-+=--=- ⎪⎝⎭
则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.
()1cos
2f x x '=
-，当0,3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，1cos 2x >，即0f x
所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，故排除C
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.
9.关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值
为；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③
C. ②③
D. ②④
【答案】B 【解析】 【分析】
①代入周期公式，判断周期；②去绝对值得到分段函数判断最小值；③利用定义判断函数的奇偶性；④去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.
【详解】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+
()()2f x f x π∴+=，
()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；
②()f x 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，
当0,
x
时，()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ ，
5,444
x π
ππ⎡⎫
+
∈⎪⎢⎣⎭
，
sin ,142x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，
()
f x ∴的值域是(
-，
当[],2x ππ∈
时，()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=-+=
+ ⎪⎝
⎭，
59,444x π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，
cos 4x π⎡⎤⎛
⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
()
f x ∴的值域是⎡-⎣，
综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；
③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=
()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；
④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ ，
3,424x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③. 故选：B
【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.
10.已知双曲线()22
22100x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆
222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率
为（ ）
A. (3±
B. (3±+
C. 13⎛±+ ⎝⎭
） D.
1⎛± ⎝
⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】
由直角三角形以及中位线的性质得出24MF a =，由双曲线的定义得16F M a =，再由余弦定
理以及222c a b =+化简得出
(3b
a
=±，即可得出双曲线的渐近线斜率. 【详解】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A 因为2BO AF ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a ==
直角三角形2AF M 中，1230
F MF ∠=°，所以2224MF AF a == 由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=
由余弦定理可知：()()()222
264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒ 化简得：()
2
2
1363c a =-，又222c a b =+
所以()
2
2
1263b a =-，即()
2
22126333b a
=-=-
所以
()
33b
a
=±- 故双曲线的渐近线斜率为()
33b
a
±=±- 故选：A
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.
11.2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，
其中英文的a b
c z ，，，…，的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：()()**261
2
1322262x N x x x y x x N x x +⎧⎪⎪=⎨⎪+∈∈≤⎪≤⎩
，，不能被整除，，能被整除，将明文转换成密文，
如6613162→
+=，即f 变换成251:25132
p +→=，即y 变换成m .若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（ ） A. fujian B. puxian
C. putian
D. fuxian
【答案】C 【解析】 【分析】
分别得出u 、w 对应的自然数，将21y =、23y =代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.
【详解】u 对应的自然数为21，即21y =，则
1212x +=或13212
x
+=，解得：41x =(舍)，16x =即u 对应的明文为p ，故排除A ，D ； w 对应的自然数为23，即23y =，则
1232x +=或13232
x
+=，解得：45x =(舍)，20x ，
即w 对应的明文为t ，故排除B ； 故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.
12.已知对任意实数x 都有()()'2x
f x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-，则k 的取
值范围是（ ）
A. ()1
+∞， B. 32
342e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 1
214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 3
214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 【答案】D 【解析】 【分析】
首先根题意构造函数()()x
f x F x e
=
，并且求得函数()()21x
f x e x =-，再讨论1,1x x >< 和1x =三种情况，参变分离后讨论k 的取值范围. 【详解】设()()
x
f x F x e
=
， ()()()()
()()
2
2x x
x
x f x e f x e f x f x F x e
e ''--'=
=
=，
()2F x x c ∴=+，即()
()()22x x
f x x c f x e x c e
=+⇒=+， ()01f c ==-，
()()21x f x e x ∴=-，
不等式()()()()1211x
f x k x e
x k x >-⇒->-
当1x >时，()211x e x k x -<-，即()min
211x e x k x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦ ，
设()()211
x e x g x x -=-，()()()()222
232311x
x x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x > 当31,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '< ，()g x 单调递减，
当3,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当32x =时，函数取得最小值，3
2342g e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
∴当1x >时，
3
2
4k e <，
当1x <时，()211x e x k x ->-，即()max
211x e x k x ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦
设()()211
x e x g x x -=-，()()()()222
232311x
x x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x < ， 当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 0x ∴=时，()g x 取得最大值，()01g =，
1x ∴<时，1k >，
当1x =时，()10f e =>恒成立， 综上可知：3
2
14k e <<. 故选：D
【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，
()()()()xf x f x xf x ''=+，()()()2f x xf x f x x x ''-⎛⎫=
⎪⎝⎭，()()()()222x f x xf x x f x ''=+ ()()()()()x
x
e f x e f x f x ''=+，()()()x x
f x f x f x e e ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】 【分析】 先化简13i
z i
+=
，再求z . 【详解】22133331
i i i i
z i i i ++-+====--
3z i ∴=+.
故答案为：3i +
【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.
14.已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的取值范围是__________.
【答案】[]05，
【解析】 【分析】
首先作出不等式表示的可行域，再令0z =作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求2z x y =+的取值范围.
【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB ∆，
令0z =，画出初始目标函数20x y +=，然后平移到点B 取得最大值
20
30
x y x y -=⎧⎨
+-=⎩ ，解得：1,2x y ==，
max 1225z ∴=+⨯=.
当目标函数过点()0,0时，取得最小值，min 0200z =+⨯=，
2z x y ∴=+的取值范围是[]0,5.
故答案为：[]0,5
【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 15.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC 的距2，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________. 3【解析】 【分析】
PN 平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，由条件可知AN 是四边形ABNC 外接圆的
直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出2AN =，根据同弦所对的圆周角相等，可知
60ANC ∠=，求出AC 的长.
【详解】PN
平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，
,PN AB PB AB ⊥⊥，
AB ∴⊥平面PBN ，BN ⊂平面PBN ，
AB BN ∴⊥，同理AC CN ⊥， AN ∴是四边形ABNC 外接圆的直径，
取AN 的中点M ，即M 是四边形ABNC 外接圆的圆心，
作OM ⊥平面ABC ，则OA OB OC ON ===
过PN 的中点H 作PN 的垂线，交OM 于点O ，则ON OP =
OA OB OC ON OP ∴====，
O ∴是三棱锥P ABC -外接球的球心，
246S R ππ==，62R ∴=
，22
OM =, 2231
122
AM R OM ∴=-=
-=, 2AN ∴=，即底面外接圆的直径是2，
60ABC ∠=，60ANC ∴∠=，
3
32
AC AN ∴=
⨯=.
3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.
16.在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，
点O 为ABC 外接圆的圆心，3
A π
=
，且AO AB AC λμ=+，则λμ的最大值为__________.
【答案】
1
9
【解析】 【分析】
首先变形()()
AO OB OA OC OA λμ=-+-，得到()1AO OB OC λμλμ--=+，两边平方后，得到()2
221λμλμλμ∴--=+-，最后利用基本不等式求λμ的最大值 【详解】
ABC ∆是锐角三角形，∴O 在ABC ∆的内部，
0,1λμ∴<<
()(
)
AO OB OA OC OA λμ=-+-
()1AO OB OC λμλμ--=+，
两边平方后()()
2
2
2
2
2
2
2
12AO OB OC
OB OC OB OC λμλμλμλμ--=+=++⋅
3
A π
=
,
120BOC ∴∠=，且AO BO CO ==，
()2
221λμλμλμ∴--=+-
()132λμλμ∴+=+
0,1λμ<<，
13λμ∴+≥
t =，
2
341t t ∴-+≥，解得：1t ≥（舍）或13
t ≤
，
1139
λμ⇒≤， λμ∴的最大值是1
9.
故答案为：1
9
【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是()()
AO OB OA OC OA λμ=-+-，整理后得到
()1AO OB OC λμλμ--=+，然后再两边平方求λμ的最大值.
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c b
B A b
-=.
（1）求A ；
（2）设5b =，ABC
S =若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.
【答案】（1）3
π
；（2【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理变换互化为
sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1
cos 2
A =，求角A ；
（2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.
【详解】（1）因为
sin cos 2sin cos A B c b B A b
-=，
由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B
B A B
-=，
化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， 即()sin 2sin cos A B C A +=.
又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 则sin 2sin cos C C A =.
因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1
cos 2
A =. 因为0A π<<，所以3
A π
=
.
（2）因为11sin 5sin 223ABC
S
AB AC A AB AB π=
⋅⋅=⨯⨯⨯=，
因为ABC
S
=AB =，即8AB =， 因为3AD DB =，即3
4
AD AB =
，所以6AD =.
在ACD △中，563
AC AD A π
===
，，，
由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则2
1
2536256312
CD =+-⨯⨯⨯=，
所以CD =
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.
18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2n S n n =-，{}n b 为正项等比数列，且
1134362b a b a =+=+，.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设121
1
log n n n c a b ++=
⋅，求{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）23n a n =-，21
2n n b -=；（2）21
n n
T n =
+. 【解析】 【分析】
（1）首先已知n S 求n a ，再设数列{}n b 的首项1b ，设公比为q ，2
3
1
b q b =
，求数列{}n b 的通项公式；
（2）由（1）可知()()1
2121n c n n =
-+，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由2
2n S n n =-，得当1n =时，111a S ==-，
当2n ≥时，()()2
2112143n S n n n n -=---=-+， 所以当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，
11a =-也满足此式.
所以23n a n =-.
又1134326232b a b a =+==+=，，
因为{}n b 为正项等比数列，设{}n b 的公比为()0q q >. 所以2
3
1
16b q b =
=，即4q =， 所以1121
1242n n n n b b q ---=⋅=⋅=.
（2）因为()21
1121321
2n n n a n n b +++=+-=-=，.
所以()()()
211212111
log 21log 22121n n n n c a b n n n +++=
==-⋅-+.
11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
所以123n n T c c c c =++++…
1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭
(11122121)
n n n ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭. 所以21
n n
T n =
+. 【点睛】本题考查已知数列
的
前n 项和n S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法
和计算计算能力，属于基础题型，11n n
n S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥，一般求和的方法包括：1.公式法
求和，2.分组转化法求和，3.裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.
19.如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD △折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为8
9
，求λ的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）13
. 【解析】 【分析】
（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结PO
BO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；
（2）利用等体积转化1
839
A BMN
B AMN AMN
V V S BO --==⋅=，解得4
3
AMN
S =
，由面积公式解得λ的值.
【详解】
解：（1）取AC 中点O ，连结PO
BO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥. 在POB 中，1
22
PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥， 又AC
OB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，
所以PO ⊥面ABC ，
又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC . （2）因为面PAC ⊥面ABC ， 又面PAC
面ABC AC =，且BO AC ⊥，
所以OB ⊥面PAC ， 所以13
A BMN
B AMN AMN
V V S BO --==
⋅.
又因为2OB =，89
A BMN V -=， 所以43
AMN
S
=
. 因为PN PA λ=，所以()112
AMN
APM
PAC
S S
S λ
λ-=-=
.
又1
42PAC
S
PA PC =
⋅=， 所以
14423
λ-⨯=，得1
3λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左，右顶点分别为A B ，，离心率为
1
2，且过点31
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. （1）求C 的方程；
（2）设过点F 的直线l 交C 于P ，Q （异于A B ，）两点，直线PA
QB ，的斜率分别为12k k ，.若21k tk =，求t 的值.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）3. 【解析】 【分析】 （1）根据
1
2
c a =，求得2243b a =，再代入点的坐标，求得椭圆方程； （2）设直线PB 的斜率为3k ，直线l 的方程1x my =+和椭圆方程22
143
x y +=联立，利用根
与系数的关系表示13k k 和23k k 的值，再求2
1
k t k =
. 【详解】（1）依题意得椭圆的离心率为1
2
c e a ===，
则2243b a =.
将点31
2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程22
22:1x y C a b
+=得221913a a +=， 则2243a b ==，，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线PB 的斜率为()()31122k P x y Q x y ，，，，.
由题意可知，直线PQ 的斜率不为0，故可设直线1l x my =+：.
由22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，消去x ，得()
2234690m y my ++-=，
所以122634m y y m +=-+，12
29
34
y y m =-+.
所以()2112
232211212221
y y y y k k x x m y y m y y ⋅=
⨯=---++ 222229
92496413434
m m m m m -
+==--++++.
又因为点P 在椭圆上，所以21132
13
44
y k k x ==--， 则213k k =，所以3t =.
【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，意在考查利用根与系数的关系求解定值，属于中档题型，本题第二问的关键是设直线PB 的斜率为3k ，并且表示
13k k 和23k k 的值.
21.已知函数()ln 1f x ax x ax =++.
（1）函数()f x 在1x =处的切线l 过点()22-，
，求l 的方程； （2）若*N a ∈且函数()f x 有两个零点，求a 的最小值.
【答案】（1）22y x =-+即220x y +-=；（2）8. 【解析】 【分析】
（1）首先求出在1x =处的切线方程，然后代入点()2,2-，求参数a 的值；
（2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即
2
10ae
--<得2a e >，再根据零点存在性定理证明()f x 在211a e e ⎛⎫
⎪⎝
⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上有一个零点，得到a 的最小值. 【详解】（1）因为()()ln 10f x ax x ax x =++>， 所以()1
'ln ln 2f x a x ax a a x a x
=+⋅
+=+， 所以()'12f a =又()11f a =+，
所以()f x 在1x =处切线l 方程为()()121y a a x -+=-， 即21y ax a =-+.
又因为直线l 过点()22-，
，所以得241a a -=-+即1a =-. 所以直线l 方程为22y x =-+即220x y +-=. （2）因为()()'ln 2ln 2f x a x a a x =+=+. 令()'0f x =得ln 2x =-即2x e -=， 因为*a N ∈所以0a >，
所以当20x e -<<时，()'0f x <，当2x e ->时，()'0f x >， 则()f x 在(
)2
0e
-，上单调递减，在()2
e
-+∞，上单调递增，
所以()()2
2
min 1f x f e
ae
--==-.
因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >， 又因为()110f a =+>，
1111ln 1a a a
a
f a a e e e e ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()221
1a a a a a a e a a e e e
-=++=-+. 设()()2
1a
g a e a a a =-+>
则()'2a
g a e a =-，因为()'g a 在()1
+∞，上单调递增， 所以()'0g a >，所以()g a 在()1
+∞，单调递增， 所以()()10g a g e >=>.
又1
0a e
>，所以10a f e ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 故()f x 在211a e e ⎛⎫
⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上有一个零点， 即()f x 在()0+∞，
上有两个零点， 则2a e >又*a N ∈且2739e ≈．， 所以a 得最小值为8.
【点睛】本题考查导数的几何意义，和已知零点个数求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题第二问的难点是函数的最小值()min 0f x <后，如何说明左右各有一个零点，即根据零点存在性定理说明，当1a >时，证明
1
111ln 10a a a
a
f a a e e e e ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.
22.已知曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
C
上的点按坐标变换''x x y y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极
坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. （1）求曲线'C 的极坐标方程； （2）若过点A 且倾斜角为
6
π
的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）5
4
【解析】 【分析】
(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；
(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.
【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2
213
x y +=，
将曲线C
上的点按坐标变换''x x y y
⎧=⎪⎨⎪=⎩
得到''x y y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，代入()()22
''1x y +=得'C 的方程为：2
2
1x y +=.
化为极坐标方程为：1ρ=.
（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为直线l 过点A 且倾斜角为
6
π， 设直线l
的参数方程为32212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
，
代入2
2
:1C x y +=
得：25
04
t -
+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，
则12125
4
t t t t +=
=.
所以1254
AM AN t t ⋅==
. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.
23.已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫
+≥ ⎪⎝⎭
的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；
（2）若,,a b c 都为正数，且
11124m a b c
++=，证明：249a b c ++≥. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛
⎫
+≥ ⎪⎝⎭
的解集求出m 的值；
(2)将1代换为
111
24a b c
++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝
⎭得220m x -≥得m x m -≤≤，
因为102f x ⎛
⎫
+
≥ ⎪⎝⎭
的解集为{}11x x -≤≤， 所以1m =. （2）由（1）得
111124a b c
++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++=++++++++≥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 当且仅当24a b c ==时，等号成立. 所以249a b c ++≥成立.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。