完整版本初中数学一元二次方程压轴题试卷习题.doc

初中数学《一元二次方程》压轴题精选试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 60 分，每小题 6 分）
1．（ 6 分）（ 2013?武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， BC=4 ， O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 ⊙ D ，P 为 ⊙ D 上的一个动点，连接 AP 、OP ，则 △ AOP 面积 的最大值为（
）
A ． 4
B ．
C ．
D ．
2．（ 6 分）（2015?广州）已知 2 是关于 x 的方程 x 2
﹣ 2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的
两个根恰好是等腰三角形 A ． 10 B ． 14 C ． 10
ABC 的两条边长，则三角形
或 14 D ．8 或 10
ABC
的周长为（ ） 3．（ 6 分）（ 2004?临沂） 若 么 b 的值是（
）
x 1、x 2 是关于
x 的方程
2
x +bx ﹣ 3b=0
的两个根， 且
x 1
2
+x 2
2 =7．那
A ． 1
B ．﹣ 7
C ． 1 或﹣ 7
D ．7 或﹣ 1
4．（ 6 分）（2011?河南模拟）某商场购进一批运动服用了 1000 元，每件按
10 元卖出，假如
全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，
这次买卖所得的利润刚好是买进
11 件运动服所用的钱数，则这批运动服有（
）
A ． 10
件 B ． 90 件 C ． 110 件
D ．150 件
5．（ 6 分）（2005?漳州）关于 +
的值为（
）
x 的一元二次方程
x 2﹣ 2x ﹣ 4=0
的两根为
x 1，x 2，那么代数式
A ．
B ．﹣
C ． 2
D ．﹣ 2
6．（ 6 分）（2005?云南）若 x 1、x 2 是方程 x 2+3x+2=0 的两个根， 那么 x 1 2+x 2 2
的值等于 （
）
A ． 3
B ． 5
C ．﹣ 7
D ． 13
7．（ 6 分）（ 2002?聊城）如果关于 x 的方程 x 2﹣ 2（1﹣ k ） x+k 2
=0 有实数根 α、 β，则 a+β
的取值范围是（
）
A ． α+β≥1
B ．α+β≤1
C ． α+β≥
D ．α+β≤
8．（ 6 分）（ 2000?河北）在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 °，a 、b 、c 分别是 ∠ A 、 ∠B 、∠ C 的对边，
a 、
b 是关于 x 的方程 x 2
﹣ 7x+c+7=0 的两根，那么 AB 边上的中线长是（
）
A ．
B ．
C ． 5
D ． 2
9．（ 6 分）（ 2000?内江）一元二次方程： x 2﹣ 2（ a+1）x+a 2
+4=0 的两根是 x 1，x 2，且 |x 1﹣ x 2|=2，
则 a 的值是（ ） A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1
10．（ 6 分）（ 1999?烟台）若 a ，b ， c 为三角形三边，则关于的二次方程
x 2+（ a ﹣ b ）x+c 2=0
的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
二．填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）
2
﹣ 4x+k=0 有实数根，那么
11．（ 5 分）（2013?新疆）如果关于 x 的一元二次方程 x k 的取值 范围是．
12．（ 5 分）（ 2013?攀枝花）设 x 1， x 2 是方程
2x 2
﹣ 3x ﹣ 3=0 的两个实数根，则
的值
为．
13．（ 5 分）（ 2013?曲靖模拟）定义新运算 “*”，规则：
，如 1*2=2 ，
．若 x 2
+2x ﹣ 3=0 的两根为 x 1， x 2，且 x 1＜ x 2，则 x 1*x 2=．
14．（ 5 分）（ 2013?瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程 x 2
﹣ 7x+10=0 的根，则
三角形的周长是．
15．（ 5 分）（ 2012?岳阳）若关于 x 的一元二次方程 kx 2
+2（ k+1 ） x+k ﹣ 1=0 有两个实数根， 则 k 的取值范围是．
16．（ 5 分）（ 2012?淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的 2 倍，请写出符合上述条件的一个三位数．
三．解答题（共 7 小题，满分 61 分）
17．（ 8 分）（ 2008?安顺）如图，已知等边 △ ABC ，以边 别交于点 D ，点 E ，过点 D 作 DF ⊥ AC ，垂足为点 F ．
（1）判断 DF 与 ⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；
BC
为直径的半圆与边
AB ， AC
分
（2）过点 F 作 FH ⊥ BC，垂足为点 H ．若等边△ ABC 的边长为 4，求 FH 的
长．（结果保留根号）
CD 是⊙ O 的切线，切点为18．（ 8 分）（ 2012 秋 ?南通校级期中）如图，A E 是⊙ O 的直径，
C，直线 BP 交⊙ O 于 A 、 B 两点且垂直于CD，垂足为点D，
（1）求证： AC 平分∠PAE；
（2）若 AD+DC=6 ， AB=8 ，求⊙ O 的半径．
19．（9 分）（ 2005?宁德）已知：如图，直线 PA 交⊙O 于 A 、E 两点， PA 的垂线 DC 切⊙O 于点 C，过 A 点作⊙ O 的直径 AB ．
（1）求证： AC 平分∠DAB ；
（2）若 DC=4， DA=2 ，求⊙ O 的直径．
20．（ 8 分）（ 2014?亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300 只粽子，卖出 1 只粽子的利润是 1 元．经调查发现，零售单价每降0.1 元，每天可多卖出100 只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（ 0＜ m＜ 1）元．
（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420 元并且卖出的粽子更多？
21．（ 8 分）（ 2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．
∵x 为实数，∴ △ ==﹣ y+4≥0，∴ y≤4．因此， y 的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
22．（ 12 分）（ 2013?合肥模拟）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm 的正方体．
（1）如图 1 所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm 的正方形孔，打孔后的橡2
（2）如果在第（ 1）题打孔后，再在正面中心位置（如图 2 中的虚线所示）从前到后打一个
2
边长为 1cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为cm ；
（3）如果把（ 1）、（2）中的边长为 1cm 的通孔均改为边长为 acm（ a≠1）的通孔，能否使
橡皮泥块的表面积为 118cm 2
？如果能，求出 a，如果不能，请说明理由．
23．（ 8 分）（ 2011?安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店20XX 年春节期间的各项商品销售收
入中，家用电器类收入为600 万元，占春节销售总收入的40%，该旗舰店预计20XX 年春节期间各项商品销售总收入要达到2160 万元，且计划从20XX 年到 20XX 年，每年经营收入
的年增长率相同，问该旗舰店预计20XX 年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？
初中数学《一元一次方程》压轴题精选试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分60 分，每小题 6 分）
1．（ 6 分）（ 2013?武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， BC=4 ， O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作⊙ D，P 为⊙ D 上的一个动点，连接 AP 、OP，则△ AOP 面积
的最大值为（）
A ． 4
B ．
C ．
D ．
【考点】 切线的性质；矩形的性质．
【分析】 当 P 点移动到平行于 OA 且与 ⊙ D 相切时， △ AOP 面积的最大，由于 P 为切点，
得出 MP 垂直与切线，进而得出
PM ⊥ AC ，根据勾股定理先求得
AC 的长，进而求得 OA 的
长，根据 △ADM ∽ △ ACD ，求得 DM 的长，从而求得 PM 的长，最后根据三角形的面积公式
即可求得；
【解答】 解：当 P 点移动到平行于 OA 且与 ⊙ D 相切时， △ AOP 面积的最大，如图， ∵P 是 ⊙D 的切线， ∴DP 垂直与切线，
延长 PD 交 AC 于 M ，则 DM ⊥ AC ，
∵在矩形 ABCD 中， AB=3 ， BC=4 ，
∴AC=
=5，
∴OA= ，
∵∠ AMD= ∠ADC=90 °，∠ DAM= ∠ CAD ， ∴△ ADM ∽ △ ACD ，
∴
= ，
∵ A D=4 ， CD=3 ， AC=5 ， ∴DM= ，
∴PM=PD+DM=1+
= ，
∴△ AOP 的最大面积 = OA ?PM= × × =
，
故选 D ．
【点评】 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三 角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出
P 处于什么位置时面积最大；
2．（ 6 分）（2015?广州）已知 2
是关于 x 的方程 x 2
﹣ 2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的 两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形
ABC 的周长为（
）
A ． 10
B ． 14
C ． 10 或 14
D ．8 或 10
【考点】 解一元二次方程 -因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】 压轴题．
【分析】 先将 x=2 代入 x 2﹣ 2mx+3m=0 ，求出 m=4，则方程即为 x 2
﹣ 8x+12=0 ，利用因式分解
法求出方程的根 x 1=2，x 2=6，分两种情况： ① 当 6 是腰时， 2 是等边； ② 当 6 是底边时，
2 是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检
验．【解答】 解： ∵ 2 是关于 x 的方程 x 2
﹣ 2mx+3m=0 的一个根，
∴ 22﹣ 4m+3m=0 ， m=4，
∴ x 2﹣ 8x+12=0 ， 解得 x 1=2，x 2=6．
① 当 6 是腰时， 2 是底边，此时周长 =6+6+2=14 ； ② 当 6 是底边时， 2 是腰， 2+2＜ 6，不能构成三角形． 所以它的周长是 14． 故选 B ．
【点评】 此题主要考查了一元二次方程的解， 解一元二次方程﹣因式分解法， 三角形三边关
系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
3．（ 6 分）（ 2004?临沂） 若 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+bx ﹣ 3b=0 的两个根， 且 x 1 2
+x 2 2=7．那
么 b 的值是（ ）
A ． 1
B ．﹣ 7
C ． 1 或﹣ 7
D ．7 或﹣ 1
【考点】 根与系数的关系；解一元二次方程 -因式分解法；根的判别式．
【专题】 压轴题．
【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可．设 x 1， x 2 是关
于 x 的一元二次方程 ax 2
+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ， c 为常数）的两个实数根，则 x 1+x 2=
，
x 1x 2= ．根据 x 1 2
2 2 代入数值列出方程解即可． +x 2 =（ x 1+x 2 ） ﹣ 2x 1x 2
【解答】 解： x 1、 x 2 是关于 x 的方程 x 2
+bx ﹣ 3b=0 的两个根， 得 x 1+x 2=﹣ b ， x 1x 2=﹣ 3b ．
2 2 2 2
﹣ 7 或 1， 又 x 1 +x 2 =7 ，则（ x 1+x 2） ﹣ 2x 1x 2=b +6b=7，解得 b=
当 b=﹣ 7 时， △ =49 ﹣84＜ 0，方程无实数根，应舍去，取 b=1． 故选 A ．
【点评】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系， 将根与系数的关系与代数式变形相结合
解题是经常使用的一种解题方法．
4．（ 6 分）（2011?河南模拟）某商场购进一批运动服用了
1000 元，每件按
10 元卖出，假如
全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进 11 件运动服所用的钱数，则这批运动服有（
）
A ． 10
件 B ． 90 件 C ． 110 件
D ．150 件
【考点】 一元二次方程的应用；分式方程的应用． 【专题】 销售问题；压轴题．
【分析】等量关系为： 总售价﹣成本 1000=1 件的成本 ×11，把相关数值代入求正整数解即可．
【解答】 解：设有 x 件运动服．
10x ﹣ 1000=
×11，
10x 2﹣ 1000x=11000 ，即 x 2
﹣ 100x ﹣ 1100=0， （ x ﹣ 110）（ x+10） =0，
解得 x 1=110， x 2=﹣ 10（不合题意，舍去） ， 经检验 x=110 是原方程的解． 故选 C ．
【点评】 考查一元二次方程的应用；得到利润的等量关系是解决本题的关键．
5．（ 6 分）（2005?漳州）关于 x 的一元二次方程 x 2
﹣ 2x ﹣ 4=0 的两根为 x 1，x 2，那么代数式
+ 的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ． 2
D ．﹣ 2
【考点】 根与系数的关系． 【专题】 压轴题．
【分析】 由根与系数的关系得到：
x 1+x 2=﹣ =2， x 1?x 2= =﹣ 4，然后把所求代数式化成根
与系数相关的代数式，再代入其值即可求出代数式的值．
【解答】 解： ∵ x 的一元二次方程 x 2
﹣ 2x ﹣ 4=0 的两根为 x 1 ，x 2， ∴ x 1+x 2=﹣ =2，x 1?x 2= =﹣ 4，
则
= =﹣ ．
故选 B ．
【点评】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 解此类题目要会代数式变形为两根之积
或两根之和的形式．一元二次方程 ax 2
+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系为： x 1+x 2=﹣ ，
x 1?x 2= ．
6．（ 6 分）（2005?云南）若 x 1、x 2 是方程 x 2+3x+2=0 的两个根， 那么 x 12+x 22
的值等于 （ ）
A ． 3
B ． 5
C ．﹣ 7
D ． 13 【考点】 根与系数的关系． 【专题】 压轴题．
【分析】 设 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2
+bx+c=0 （ a ≠0，a ， b ， c 为常数）的两个实
数根，则 x 1+x 2=
，x 1x 2= ．
根据 x 12+x 22=（x 1+x 2） 2
﹣ 2x 1x 2 即可求解．
【解答】 解：根据题意 x 1+x 2=﹣3， x 1x 2=2，
2
2
2
﹣ 4=5，
所以 x 1 +x 2 =（x 1+x 2） ﹣ 2x 1x 2=9
故选 B
【点评】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式变形，式变形相结合是经常使用的一种解题方法．
将根与系数的关系与代数
7．（ 6 分）（ 2002?聊城）如果关于 的取值范围是（ ）
x 的方程
x 2﹣ 2（1﹣ k ） x+k 2=0 有实数根 α、 β，则
a+β
A ． α+β≥1
B ．α+β≤1
C ． α+β≥
D ．α+β≤ 【考点】 根与系数的关系；根的判别式． 【专题】 压轴题．
【分析】 由于关于 x 的方程 x 2﹣2（ 1﹣ k ） x+k 2
=0 有实数根 α、 β，则判别式 △ ≥0，由此可
以确定 k 的取值范围，然后利用根与系数的关系确定 a+β的取值范围．
2
∴△ =b 2﹣ 4ac=[ ﹣2（ 1﹣ k ）] 2﹣ 4×1×k 2
≥0，
∴k ≤ ，
∵ a +β=2（ 1﹣ k ）=2﹣ 2k ，
而 k ≤ ，
∴α+β≥1． 故选 A ．
【点评】 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．（ 6 分）（ 2000?河北）在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 °，a 、b 、c 分别是 ∠ A 、 ∠B 、∠ C 的对边，
a 、
b 是关于 x 的方程 x 2
﹣ 7x+c+7=0 的两根，那么 AB 边上的中线长是（
）
A ．
B ．
C ． 5
D ． 2
【考点】 根与系数的关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【专题】 压轴题．
【分析】 由于 a 、b 是关于 x 的方程 x 2
﹣ 7x+c+7=0 的两根，由根与系数的关系可知： a+b=7，
ab=c+7；由勾股定理可知： a 2+b 2=c 2，则（ a+b ）2﹣ 2ab=c 2，即 49﹣2（ c+7）=c 2
，由此求出 c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
【解答】 解： ∵ a 、 b 是关于 x 的方程 x 2
﹣7x+c+7=0 的两根， ∴根与系数的关系可知： a+b=7， ab=c+7；
由直角三角形的三边关系可知： a 2+b 2=c 2
，
则（ a+b ） 2﹣2ab=c 2
，
即 49﹣ 2（c+7） =c 2
，
解得 c=5 或﹣ 7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为
．
答案： AB 边上的中线长是
．
故选 B ．
【点评】 本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系．
9．（ 6 分）（ 2000?内江）一元二次方程： x 2﹣ 2（ a+1）x+a 2
+4=0 的两根是 x 1，x 2，且 |x 1﹣ x 2|=2，
则 a 的值是（ ） A ． 4B ． 3
C ． 2
D ． 1
【考点】 根与系数的关系．
【专题】 压轴题．
【分析】 由根与系数的关系， 求出两根的和与两根的积， 再由 |x 1
2
1 2 2
﹣4x 1 2
﹣ x |等于（ x +x ） ?x
的算术平方根进行计算．
【解答】 解：由根与系数的关系可得：
2
x 1+x 2=2 （ a+1）， x 1?x 2=a +4．
由 |x 1﹣ x 2|=2，得（ x 1﹣ x 2） 2=4，即（ x 1+x 2） 2
﹣
4x 1?x 2=4．则 4（ a+1）2﹣ 4（ a 2
+4）=4，解得 a=2． 故选 C ．
【点评】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，记住关系式是解本题的关键．
10．（ 6 分）（ 1999?烟台）若 a ，b ， c 为三角形三边，则关于的二次方程 x 2+（ a ﹣ b ）x+c 2=0
的根的情况是（
）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【考点】 根的判别式；三角形三边关系． 【专题】 压轴题．
【分析】 先求出 △ =b 2
﹣ 4ac ，再结合 a ， b ，c 为三角形的三边，即可判断根的情况．
【解答】 解： ∵ x 2+（ a ﹣ b ） x+c 2
=0，
∴△ =b 2
﹣ 4ac=
=（a ﹣ b ） 2﹣ c 2
=（a ﹣ b ﹣ c ）（a ﹣ b+c ）
∵a ， b ， c 为三角形三边，
∴ b +c ＞ a ， a+c ＞b
∴ a ﹣ b ﹣ c ＜0， a ﹣ b+c ＞0 ∴（ a ﹣ b ﹣c ）（ a ﹣ b+c ）＜ 0，
即二次方程
x 2+（ a ﹣ b ） x+c 2
=0 无实数根．
故选 C ．
【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．
二．填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）
x 2﹣ 4x+k=0 有实数根，那么 k 的取值 11．（ 5 分）（2013?新疆）如果关于 x 的一元二次方程
范围是 k ≤4 ．
【考点】 根的判别式． 【专题】 计算题；压轴题．
【分析】 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于
0，列出关于 k 的不等式，求出
不等式的解集即可得到 k 的范围．
【解答】 解：根据题意得： △=16 ﹣ 4k ≥0，
解得： k ≤4． 故答案为： k ≤4．
【点评】 此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根
的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根； 根的判别式的值小于 0，方程没有实数根．
12．（ 5 分）（ 2013?攀枝花）设 x 1， x 2 是方程
2x 2
﹣ 3x ﹣ 3=0 的两个实数根，则
的值
为 ﹣ ．
【考点】 根与系数的关系． 【专题】 计算题；压轴题．
【分析】 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积， 所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】 解： ∵ x 1， x 2 是方程 2x 2
﹣ 3x ﹣ 3=0 的两个实数根， ∴ x 1+x 2= ， x 1x 2=﹣ ，
则原式 =
= = = =﹣ ．
故答案为：﹣
【点评】 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
13．（ 5 分）（ 2013?曲靖模拟）定义新运算 “*”，规则： ，如 1*2=2 ，
．若 x 2
+2x ﹣ 3=0 的两根为 x 1， x 2 ，且 x 1＜ x 2，则 x 1*x 2= 1 ．
【考点】 解一元二次方程 -因式分解法；实数的运算．
【专题】 压轴题；新定义．
【分析】 首先利用因式分解法求得
x 2
+2x ﹣ 3=0 的两根为 x 1，x 2，然后根据
，即可求得 x 1*x 2 的值．
2
【解答】 解： ∵ x +2x ﹣ 3=0 ，
∵ x 1＜ x 2， ∴ x 1=﹣ 3，x 2=1，
∵
，
∴ x 1*x 2=1． 故答案为： 1．
【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法． 此题属于新定义题， 难度适中，解题的关键是理解新定义的运算法则．
14．（ 5 分）（ 2013?瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程
x 2
﹣ 7x+10=0 的根，则
三角形的周长是 12 或 6 或 15 ． 【考点】 解一元二次方程 -因式分解法；三角形三边关系． 【专题】 计算题；压轴题．
【分析】 方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至
少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求出解， 利用三角形的三边关系判断， 求出三角形
周长即可．
【解答】 解：方程 x 2
﹣7x+10=0 ，
分解因式得：（ x ﹣ 2）（ x ﹣ 5）=0， 解得： x=2 或 x=5 ，
三角形三边长为 2，2， 5（舍去）； 2， 5， 5； 2， 2， 2； 5， 5， 5，
则周长为 12 或 6 或 15． 故答案为： 12 或 6 或 15
【点评】 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法， 利用此方法解方程时， 首先将方程整理
为一般形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为
0 转化为两个一元一次方程
来求解．
15．（ 5 分）（ 2012?岳阳）若关于 x 的一元二次方程
kx 2+2（ k+1 ） x+k ﹣ 1=0 有两个实数根， 则 k 的取值范围是
k ≥﹣ ，且 k ≠0 ．
【考点】 根的判别式． 【专题】 压轴题．
【分析】 若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式
△ =b 2
﹣ 4ac ≥0，建立关于 k 的不等
式，求出 k 的取值范围．还要注意二次项系数不为 0．
【解答】 解： ∵ a=k ， b=2（ k+1）， c=k ﹣ 1，
∴△ =4（ k+1） 2
﹣ 4×k ×（ k ﹣ 1）=3k+1 ≥0， 解得： k ≥﹣ ，
∵原方程是一元二次方程， ∴ k ≠0．
故本题答案为： k ≥﹣ ，且 k ≠0．
【点评】 总结：（ 1）一元二次方程根的情况与判别式
△ 的关系：
① △＞ 0? 方程有两个不相等的实数根； ② △=0? 方程有两个相等的实数根； ③ △＜ 0? 方程没有实数根． （2）一元二次方程的二次项系数不为
0．
16．（ 5 分）（ 2012?淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘 积的 2 倍，请写出符合上述条件的一个三位数 此题答案不唯一，如
101， 110， 202， 220
等 ．
【考点】 配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】 压轴题；开放型．
【分析】首先设此三位数为：100x+10y+z ，则根据题意得：
2 2 2 2 2 2
x +y +z =2xy 或 x +y +z =2xz 或x
2
+y
2
+z
2
=2yz，由配方的知识易求得： x﹣ y=z 或 x﹣ z=y 或 y﹣ z=x，然后可得此题答案不
唯一，举出符合条件的数即可．
【解答】解：设此三位数为：100x+10y+z ，
根据题意得： x
2
+y
2
+z
2
=2xy 或 x
2
+y
2
+z
2
=2xz 或 x
2
+y
2
+z
2
=2yz ，
即x
2
+y
2
﹣ 2xy= ﹣ z
2
或 x
2
﹣ 2xz+z
2
=﹣ y
2
或 y
2
+z
2
﹣ 2yz= ﹣ x
2
，
则（ x﹣ y）
2
=﹣ z
2
或（ x﹣ z）
2
=﹣ y
2
或（ y﹣ z）
2
=﹣ x
2
，
故 x﹣ y=z 或 x﹣ z=y 或 y﹣ z=x ，
故此题答案不唯一，如101，110， 202， 220 等，只要是两个相同的数学和0 构成的三位数就行．
故答案为：此题答案不唯一，如101， 110，202， 220 等．
【点评】此题考查了配方法的应用．此题难度适中，属于开放题，注意掌握配方法的知识是
解此题的关键．
三．解答题（共7 小题，满分61 分）
17．（ 8 分）（ 2008?安顺）如图，已知等边△ ABC，以边BC为直径的半圆与边AB ， AC
别交于点 D ，点 E，过点 D 作 DF⊥ AC ，垂足为点F．
分（1）判断 DF 与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点 F 作 FH ⊥ BC，垂足为点 H ．若等边△ ABC 的边长为 4，求 FH 的
长．（结果保留根号）
【考点】切线的判定；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（ 1）连接 OD，证∠ ODF=90 °即可．
（2）利用△ADF 是 30°的直角三角形可求得 AF 长，同理可利用△ FHC 中的 60°的三角函数值可求得 FH 长．
【解答】解：（ 1） DF 与⊙ O 相
切．证明：连接 OD ，
∵△ ABC 是等边三角形， DF ⊥AC ，
∴∠ ADF=30 °．
∵OB=OD ，∠DBO=60 °，
∴∠ BDO=60 °．（ 3 分）
∴∠ ODF=180 °﹣∠ BDO ﹣∠ ADF=90 °．
∴DF 是⊙ O 的切线．（ 5 分）
（2）∵ △BOD 、△ABC 是等边三角
形，∴∠ BDO= ∠ A=60 °，
∴OD ∥ AC ，
∵O 是 BC 的中点，
∴OD 是△ ABC 的中位线，
∴A D=BD=2 ，
又∵∠ ADF=90 °﹣ 60°=30 °，
∴A F=1 ．
∴F C=AC ﹣ AF=3 ．（ 7 分）
∵FH ⊥ BC ，
∴∠ FHC=90 °．
在 Rt△ FHC 中， sin∠ FCH=，
∴FH=FC ?sin60 °= ．
即 FH 的长为．（ 10 分）
【点评】判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即
可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
18．（ 8 分）（ 2012 秋 ?南通校级期中）如图，A E 是⊙ O 的直径，
C，直线 BP 交⊙ O 于 A 、 B 两点且垂直于CD，垂足为点D，
CD 是⊙ O 的切线，切点为
（1）求证： AC 平分∠PAE；
（2）若 AD+DC=6 ， AB=8 ，求⊙ O 的半径．
【考点】切线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（ 1）连结 OC，如图，根据切线的性质得 OC⊥ CD ，则有 OC∥ BP，根据平行线的性
质得∠ 1=∠ 2，加上∠ 2= ∠ 3，则∠ 1=∠ 3，所以 AC 平分∠PAE；
（2）作 OH⊥ AB 于 H，如图，根据垂径定理得到AH=BH= AB=4 ，设⊙O 的半径为r，由四边形 OHDC 为矩形得到 DH=OC=r ，OH=CD ，则 DA=r ﹣ 4， CD=10 ﹣ r，所以 OH=10 ﹣ r，
然后在 Rt△OAH 中利用勾股定理得到∴ 42
+（ 10﹣ r）
2
=r
2
，再解方程求出 r 即可．
【解答】（ 1）证明：连结OC，如图，∵CD 是⊙ O 的切线，
∴OC⊥ CD ，
∵BP ⊥CD ，
∴OC∥ BP，
∴∠ 1=∠ 2，
∵OA=OC ，
∴∠ 2=∠ 3，
∴∠ 1=∠ 3，
∴AC 平分∠PAE；
（2）解：作OH ⊥ AB 于 H ，如图，则
设⊙ O 的半径为 r，易得四边形OHDC ∴DH=OC=r ， OH=CD ，
∴DA=r ﹣ 4，
而 AD+CD=6 ，AH=BH=
为矩形，
AB=4 ，
∴C D=6 ﹣（ r﹣ 4） =10 ﹣ r，∴O H=10 ﹣ r，
在Rt△ OAH 中，∵AH 2
+OH
2
=OA
2
，∴42
+（ 10﹣ r）
2
=r
2
，解得 r= ，
即⊙ O 的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行
计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和勾股定理．
19．（9 分）（ 2005?宁德）已知：如图，直线 PA 交⊙O 于 A 、E 两点， PA 的垂线 DC 切⊙O 于点 C，过 A 点作⊙ O 的直径 AB ．
（1）求证： AC 平分∠DAB ；
（2）若 DC=4， DA=2 ，求⊙ O 的直径．
【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由弦切角定理知，∠ DCA= ∠B ，故 Rt△ ADC ∽ Rt△ACB ，则有∠DAC= ∠CAB ；（2）由勾股定理求得AC 的值后，由（1）中 Rt△ ADC ∽ Rt△ ACB 得=，即可求得
AB 的值．
【解答】（ 1）证明：方法一：连接BC，
∵AB 为⊙ O 的直径，
∴∠ ACB=90 °，
又∵ DC 切⊙O 于 C 点，
∴∠ DCA= ∠ B ，
∵DC ⊥ PE，
∴R t △ ADC ∽ Rt△ ACB ，
∴∠ DAC= ∠ CAB ，即 AC 平分∠ DAB ；
方法二：连接CO，
因为 DC 与⊙O 相切，
所以 DC⊥ CO，
又因为 PA⊥ CD，
所以 CO∥ PE，
所以∠ ACO= ∠ CAO= ∠ CAD ，即 AC 平分∠DAB
（2）解：在 Rt△ ADC 中， AD=2 ， DC=4 ，
∴AC= =2 ，
由（ 1）得 Rt△ ADC ∽ Rt△ ACB ，
∴= ，
即AB== =10 ，
∴⊙ O 的直径为 10．
【点评】 本题的解法不唯一，可利用弦切角定理，直径对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
20．（ 8 分）（ 2014?亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出 300 只粽子，卖出 1
只粽子的利润是 1 元．经调查发现，零售单价每降 0.1 元，每天可多卖出 100 只粽子．为了
使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降 m （ 0＜ m ＜ 1）元．
（1）零售单价下降 m 元后，该店平均每天可卖出 300+100×
只粽子， 利润为 （ 1﹣ m ）
（300+100 ×
） 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是
420 元
并且卖出的粽子更多？
【考点】 一元二次方程的应用．
【专题】 销售问题；压轴题．
【分析】（ 1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；
利润等于销售量乘以单
价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解． 【解答】 解：（ 1） 300+100× ，
（ 1﹣ m ）（ 300+100× ）．
（ 2）令（ 1﹣ m ）（ 300+100× ） =420．
化简得， 100m 2
﹣ 70m+12=0 ．
即， m 2
﹣ 0.7m+0.12=0 ． 解得 m=0.4 或 m=0.3．
可得，当 m=0.4 时卖出的粽子更多．
答：当 m 定为 0.4 时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是 420 元并且卖出的粽子更多．
【点评】 本题考查了一元二次方程的应用， 解题的关键是了解总利润的计算方法，
并用相关
的量表示出来．
21．（ 8 分）（ 2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数 的最大值．
解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 ．
∵x 为实数， ∴ △ =
=﹣ y+4≥0， ∴ y ≤4．因此， y 的最大值
为 4．
根据材料给你的启示，求函数
的最小值．
【考点】 一元二次方程的应用． 【专题】 压轴题．
【分析】 根据材料内容， 可将原函数转换为 （ y ﹣ 3）x 2
+（ 2y ﹣1）x+y ﹣ 2=0 ，继而根据
△≥0，可得出 y 的最小值．
2
【解答】 解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得（ y ﹣ 3） x +（ 2y ﹣ 1） x+y ﹣ 2=0 ，
∵x 为实数，
∴△ =（ 2y ﹣ 1） 2
﹣ 4（ y ﹣ 3）（ y ﹣ 2） =16y ﹣ 23≥0，
∴y ≥ ，
因此 y 的最小值为
．
【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．
22．（ 12
分）（ 2013?合肥模拟）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4cm 的正方体．
（1）如图 1 所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为
1cm 的正方形孔，打孔后的橡
2
（2）如果在第（ 1）题打孔后，再在正面中心位置（如图
2 中的虚线所示）从前到后打一个
2
边长为 1cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 118 cm ；
（ 3）如果把（ 1）、（2）中的边长为 1cm 的通孔均改为边长为 acm （ a ≠1）的通孔，能否使
橡皮泥块的表面积为 118cm 2
？如果能，求出 a ，如果不能，请说明理由．
【考点】 一元二次方程的应用． 【专题】 压轴题．
【分析】（ 1）打孔后的表面积 =原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积 +孔中的四个矩形的面积．
（2）打孔后的表面积 =图① 中的表面积﹣ 4 个小正方形孔的面积 +新打的孔中的八个小矩形的面积．
（ 3）根据（ 1）（2）中的面积计算方法，用 a 表示出图 ① 和图 ② 的面积．然后让用得出的
图② 的表面积 =118 计算出 a 的值．
【解答】 解：（ 1）表面积 S 1=96 ﹣ 2+4 ×4=110（ cm 2
），故填 110；
（ 2）表面积 S 2=S 1﹣4+4 ×1.5×2=118（ cm 2
），故填 118；
（ 3）能使橡皮泥块的表面积为118cm 2
，理由为：
∵S 1=96﹣ 2a 2+4a ×4， S 2=S 1﹣ 4a 2+4×4a ﹣ 4a
2
2 2
∴96﹣ 2a +16a ﹣ 8a +16a=118
96﹣ 10a 2
+32a=118 5a 2
﹣ 16a+11=0
∴a 1=
， a 2=1
∵ a ≠1， ＜ 4
∴当边长改为
cm 时，表面积为 118cm 2
．
【点评】 对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积 =各部分面积之和；剩
余面积 =原面积﹣截去的面积．
23．（ 8 分）（ 2011?安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店 20XX 年春节期间的各项商品销售收
入中，家用电器类收入为 600 万元，占春节销售总收入的 40%，该旗舰店预计 20XX 年春节 期间各项商品销售总收入要达到 2160 万元，且计划从
20XX 年到 20XX 年，每年经营收入
的年增长率相同，问该旗舰店预计 20XX 年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？
【考点】 一元二次方程的应用． 【专题】 应用题；压轴题．
【分析】 先计算出 20XX 年的销售收入为 1500 元，设增长率为
x ，则根据起始量为 1500，
终止量 2160，中间的时间间隔为
2 年可列出方程，解出即可．
【解答】 解： 20XX 年的经营总收入为： 600÷40%=1500 （万元）．
设年增长率为 x ，依题意得： 1500（ 1+x ） 2
=2160 ， 解得： x 1=0.2， x 2=﹣ 2.2（不合题意，故舍去） ， 即增长率为 20%，
故可得 20XX 年春节期间各项商品销售总收入为：
1500 （ 1+x ） =1500×1.2=1800 （万元）．
答： 20XX 年预计经营总收入为
1800 万元．
【点评】 本题考查一元二次方程的应用， 解决此类两次变化问题，
可利用公式 a （ 1+x ）2
=b ， 其中 a 是变化前的原始量， b 是两次变化后的量， x 表示平均每次的增长率．。