专题7.1--不等式的性质及一元二次不等式(讲)(解析版)

专题 不等式的性质及一元二次不等式
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；
2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；
3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
知识点一 两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b .
{
(3)a －b ＜0⇔a ＜b .
知识点二 不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ； a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；
(5)可乘方性：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a ＞b ＞0⇒n a ＞ n
b (n ∈N ，n ≥2)．
知识点三 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
…
判别式Δ＝b 2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象
一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 ，
(a ＞0)的根
有两相异实数根x 1，
x 2(x 1＜x 2)
有两相等实数根x 1＝
x 2＝－b
2a
没有实数根
一元二次不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集
{x |x ＜x 1或x ＞x 2}
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x | x ≠－b 2a R
~
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}∅∅由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＞0，
b2－4ac＜0.
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＜0，
b2－4ac＜0.
>
考点一不等式的性质及应用
【典例1】（湖南雅礼中学2019届质检）
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()
≥b>a>c≥b
>b>a>c>b
(2)若
1
a＜
1
b＜0，给出下列不等式：①
1
a＋b＜
1
ab；②|a|＋b＞0；③a－
1
a＞b－
1
b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是()
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
【答案】(1)A(2)C
【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
;
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝⎝
⎛
⎭
⎫
a－
1
2
2
＋
3
4>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)方法一因为
1
a＜
1
b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1
ab ，
即①正确；
②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1
b ＞0， 所以a －1a ＞b －1
b ，故③正确；
④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
）
【方法技巧】比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
【变式1】（河北辛集中学2019届模拟）设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范
围是________.
【答案】[5，10] 【解析】
方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .
】
于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，
n ＝1.
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.
方法二 由⎩
⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，
得⎩⎨⎧a ＝1
2[f （－1）＋f （1）]，b ＝1
2[f （1）－f （－1）]，
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.
【
方法三 由⎩⎪⎨⎪
⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4
确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭
⎫32，12时，
取得最小值4×32－2×1
2＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.
考点二 一元二次不等式的解法
【典例2】（山西平遥中学2019届模拟）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )。

【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.
）
①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.
②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭
⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2
a 或x ≤－1.
③当a ＜0时，原不等式化为
⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；
当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2
a ≤x ≤－1.
综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；
当a ＞0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≥2a 或x ≤－1；
当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭
⎬⎫
2a ≤x ≤－1；
}
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a ＜－2时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 【方法技巧】
1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
【变式2】（辽宁师大附中2019届模拟）求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集
】
【解析】原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a
3.
当a ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭
⎫－a 4，＋∞.
考点三 一元二次不等式的恒成立问题（在实数R 上恒成立）
【典例3】（ 黑龙江双鸭山一中2019届模拟）若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．[－2,2]
C ．(－2,2]
D ．(－∞，－2)
、
【答案】C
【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．
当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2＜0，
a 2＜4，解得－2＜a ＜2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． 【方法技巧】在R 上的恒成立问题
解决此类问题常利用一元二次不等式在R 上恒成立的条件，注意如果不等式ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立，不要忽略a ＝0时的情况．
【变式3】（江苏扬州中学2019届质检）对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2，2)
D.(－2，2]
—
【答案】D
【解析】当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，
解得－2<a <2.
综上，实数a 的取值范围是(－2，2].
考点四 一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）
【典例4】（浙江余姚中学2019届模拟）设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即mx 2－mx ＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．
"
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝mx 2－mx ＋m －6＝m ⎝⎛⎭
⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1,3]．
当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－∞，67.
~
法二：因为x 2－x ＋1＝⎝
⎛⎭
⎫x －122＋3
4＞0，
又因为mx 2－mx ＋m －6＜0，所以m ＜6
x 2－x ＋1.
因为函数y ＝6
x 2－x ＋1＝
6⎝⎛
⎭⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即可．
所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－∞，67.
【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题
(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .
【变式4】（安徽蚌埠二中2019届模拟）若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12恒成立，则a 的最小
值是( )
B.－2
C.－5
2 D.－
3 【答案】C
|
【解析】由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝
⎛⎭
⎫x ＋1x ，x ∈⎝
⎛⎦
⎤0，12时恒成立，
令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12，
易知g (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝⎛⎦
⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝⎛⎭⎫12＋2＝－52.
因此a ≥－52，则a 的最小值为－5
2.
考点五 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立问题）
【典例5】（福建泉州五中2019届模拟）若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围。

【解析】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，
"
令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.
由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，
g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4＞0，
解得x ＜1或x ＞3.
故x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
【方法技巧】给定参数范围求x 的范围的恒成立问题
1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【变式5】（江西南昌二中2019届模拟）已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
【答案】C
【解析】把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，
解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，
x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.。