江西玉山县仙岩中学2016届高三数学(文科)第1次模拟测试

江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（文科）第1次模拟测试
(满分150分，时间120分钟 全国卷模式)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．复数1i +的共轭复数是
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ． 1i -- 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则A
B =
A ．(0,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,1)
D ．(,1)-∞
3．“3
π
α=
”是“sin α=
”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 4．等差数列{}n a 中，2374,20a a a =+=，则8a =
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
5．运行如图的程序框图，若输出的结果是1320s =，则判断框中可填入
A ．10?k ≤
B ．10?k <
C ．9?k <
D ．8?k ≤ 6．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是
7．在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC = A ．
6π B ． 3
π
C ． 23π
D ． 56π
8．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线430x y +-=垂直，则l 的方程为
A ．430x y --=
B ． 450x y +-=
C ．430x y -+=
D ． 430x y ++= 9．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)-重合，则与点(5,8)重合的点是
A ．(6,7)
B ．(7,6)
C ．(5,4)--
D ．(4,5)--
10．已知向量,
1=
2=，3-=∙，则a 与b 的夹角为 A ．
32π B ．3π C ．6
π D ． 65π
11. 设双曲线
)0,0(12
22
2>>=-b a b y a x
的渐近线方程为3
y x =±
，则该双曲线的离心率为 A ．
223 B ．2 C ．3
3
2 D ．2 12. 设,A B 为抛物线2
2y px =)0(>p 上不同的两点，O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则
OAB ∆面积的最小值为
A ．2p
B ．22p
C ．24p
D ．26p
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．双曲线2
214
x y -=的焦点坐标是_____________ 。

14．不等式1
22
x
>
的解集是 ． 15若关于x y 、的不等式组
5002x y y a x -+≥⎧⎪
≥⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范
围是
．
16．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为 。

三、 解答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.
17．（本题满分12分）
在正项等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，355a a +=且3a 和5a 的等比中项是2． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2） 若212221
(log log log )n n b a a a n
=
+++，判断数列{}n b 的前n 项和n S 是否存在最
大值，若存在，求出使n S 最大时n 的值；若不存在，请说明理由。

18.（本小题满分12分）
汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税。

检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）。

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/x g km =乙。

（1） 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
130/g km 的概率是多少？
（2） 求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。

19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 和△C AB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，D 、E 、F 分别是PC 、AC 、BC 的中点。

（1） 证明：平面DEF //平面PAB ； （2） 证明：AB ⊥PC ；
（3）若2AB PC ==
P ABC -的体积。

20．（本小题满分12分）
已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆22
222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点重合，
1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A 、B ．
(1) 若△AOB 是边长为1C 的方程； (2)若AF OF ⊥，求椭圆2C 的离心率e ；
(3) 点P 为椭圆2C 上的任一点，若直线AP 、BP 分别与x 轴交于点(,0)M m 和(,0)N n ，
证探究：当a 为常数时，mn 是否为定值？请证明你的结论．
21．（本小题满分12分） 已知2
1()ln(1),()(,)2
f x x
g x ax bx a b R =+=
+∈． (1) 若2()(1)()b h x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2) 若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立； (3) 设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2
x y
x x y y x y ++>+。

22．(几何证明选讲选做题)
如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥ （1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；
（2）若CQ =4，AQ =1，PF =
3
，求CB 的长.
23．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=α
α
是参数)
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值．
24．(不等式选讲选做题) 已知函数222)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ;
（2）设a x x g -=)(，对任意),[+∞∈a x 都有 )()(x f x g ≥，求a 的取值范围.
江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（文科）第1次模拟测试答案
二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．
13．(, 14．{|1}x x >- 15. [5,7) 16. 72 三．简答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题. 17.解: （1）依题意：354a a ⋅=，……………………………………………1分
又355a a += ，且公比(0,1)q ∈， 解得 354,1a a ==。

∴ 2
5311
,42
a q q a =
==即，……………………………………………3分 ∴ 3
1216a a q
=
=，…………………………………………4分 ∴ 1
1511
16()22
n n n n a a q
---=⋅=⋅= 。

……………………………………………5分
（2）∵ 2log 5n a n =-，
∴ (45)1
92(43(5))2
n n n
n b n n
n +--=
+++-==。

…………………………6分 ∵当9n <时，0n b >，当9n =时，0n b =，当9n >时，0n b <。

……………8分 ∴ 12891011S S S S S S <<
<=>>>。

……………………………………10分
∴ n S 有最大值，此时8n =或9n =。

………………………………………12分
18．解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：
（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）。

………………. 2分
设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km ”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：
（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）
∴ 7
()0.710
P A =
=。

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率为0.7。

………………. 6分 （2）由题可知，4801201205
x
x +=∴
=乙，， 解得 120x = 。

……………………….7分
又120x =甲，……………………………………. 8分 ∴ 22222216005s ⎡⎤=++++=⎣
⎦
甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120）
， ∴ 22222214805s ⎡⎤=++++=⎣
⎦
乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）
，…11分 ∵ 22120x x s s ==>甲乙乙甲，，
∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。

……………………………12分
19、解：（1）证明：∵ E 、F 分别是AC 、BC 的中点， ∴ //.EF AB …………………………………1分 ∵ ,,AB PAB EF PAB ⊂⊄平面平面
∴ //,//.EF PAB DF PAB 平面同理平面…2分
∵,,EF DF F EF DEF DF DEF =⊂⊂且平面平面…3分
∴ //.DEF PAB 平面平面……………4分 （2）证明：取AB 的中点G ，连结PG 、CG ，
∵ △PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形， ∴ ,,PG AB CG AB ⊥⊥ ∵ ,,,PG
CG G PG PCG CG PCG =⊂⊂且平面平面
∴ .AB PCG ⊥平面……………………………5分
y
∵ ,PC PCG ⊂平面 ∴ .AB PC ⊥…………………………6分 （3）解：在等腰直角三角形PAB
中，AB =G 是斜边AB 的中点，
∴
1,22PG AB =
=
同理2CG =。

……………………………8分 ∵
,2PC =
∴ △PCG 是等边三角形， ∴
11sin 60.2222PCG
S
PG CG =
⋅⋅⋅︒=⋅⋅=…………10分 ∵ ,AB PCG ⊥平面
∴
1
1.33P ABC PCG
V AB S
-=⋅⋅==……………………12分
20、解：（1）设椭圆的右焦点为(,0)F c ，依题意得抛物线的方程为2
4y cx =……1分 ∵△AOB
是边长为
∴点A
的坐标是，，……………………2分 代入抛物线的方程2
4y cx =解得1
4
c =
， 故所求抛物线1C 的方程为2
y x =。

………………………3分 （2）∵AF OF ⊥, ∴ 点A 的横坐标是c
代入椭圆方程解得2b y a =±，即点A 的坐标是2
(,)b c a
，……………………4分
∵ 点A 在抛物线2
4y cx =上，
∴422
24,2b c b ac a
==即，………………5分 将2
2
2
b a
c =-代入上式整理得：2
()210c c
a
a
+⋅
-=， 即2
210e e +-=
，解得1e =-6分
∵ 01e <<，故所求椭圆2C
的离心率1e =。

…………………………7分
（3）证明：设112222(,),(,),(,)P x y A x y B x y -，代入椭圆方程得
2222
1122
22221,1x y x y a b a b
+=+=，…………………………8分 而直线PA 的方程为211112()()()()0x x y y x x y y --+--=，……………9分 令0y =得2112
12
x y x y m y y -=
-。

……………………10分
在211212x y x y m y y -=
-中，以2y -代换2y 得2112
12
x y x y n y y +=+，…………………11分
∴ 2222211221122112
22
121212
x y x y x y x y x y x y mn y y y y y y +--=⋅=+-- 2
22
22
22112
22222
12
(1)(1)y y a y a y b b a y y ---==- ∴当a 为常数时，mn 是定值。

…………………………12分
21解：(1)当2b =时，()2
1ln 22
h x x ax x =-- ∴1
()2h x ax x
'=
--。

.…………………………1分 ∵ ()h x 有单调减区间，∴()0h x '<有解，即2
120ax x
x
--<
∵ 0x >，∴ 2210ax x +->有解。

………………………2分 （ⅰ）当0a ≥时符合题意；
（ⅱ）当0a <时，△440a =+>，即1a >-。

∴a 的取值范围是(1,)-+∞。

………………………4分 （2）当0,1a b ==时，设()()()ln(1)x f x g x x x ϕ=-=+-， ∴ 1()111
x x x x ϕ-'=
-=++。

………………………5分 ∵1x >-，
讨论()x ϕ'的正负得下表：
………………6分
∴当0x =时()x ϕ有最大值0. 即()0x ϕ≤恒成立。

∴当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立。

………………………8分 （3）∵0,0x y >>， ∴ln ln ()ln 2
x y
x x y y x y ++-+ (ln ln )(ln ln )22
x y x y
x x y y ++=-+-…………………………10分 22ln
ln ln ln 22x y x y x y x y x y x y x y x y
++=+=--++ ln(1)ln(1)22y x x y
x y x y
--=-+
-+…………………………11分 由（2）有ln(1)ln(1)02222y x x y y x x y
x y x y x y x y
-----+
-+>-⋅-⋅= ∴ln ln ()ln
2x y
x x y y x y ++>+………………………12分
22．解：（1）证明:连接QP ，由已知C 、P 、F 、Q 四点共圆，
则四点A 、B 、P 、Q 共圆。

………5分 （2）
………10分
23．解：（1）4)2(2
2
=+-y x ………4分
,90.QCF QPF A QCF CPQ QPF A CPQ ∴∠=∠∠+∠=∠+∠=∴∠=
∠222
4520,10
36
CF CQ CA CPF CP CF CP CB CF CB CP =⨯=⨯====
⨯===直角三角形中，又，
（2）将⎩⎨
⎧=+=α
α
sin cos 1t y t x 代入圆的方程得
4)sin ()1cos 22=+-ααt t （， 化简得03cos 22
=--αt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则⎩
⎨⎧-==+3cos 22121t t t t α
, ………6分
()1412cos 4422
122121=+=-+=
-=∴αt t t t t t AB ,
∴2cos 42=α,22cos ±
=α,4πα=或4
3π
.………10分
24. 解：（1）()
f x ≥-2 当2-≤x 时，24-≥-x , 即2≥x ，∴φ∈x ；
当12<<-x 时，23-≥x ,即32
-
≥x ,∴213
x -≤< 当1≥x 时，24-≥+-x , 即6≤x , ∴1≤x ≤6
综上，{x |2
3
-
≤x ≤6} (5)
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-<<--≤-=1,412,32,4)(x x x x x x x f
函数()f x 的图像如图所示：
∵()g x a x -=，a -表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，2=-a ； ∴当-a
≥2，即a ≤-2时成立；……………………………8分
当2<-a ，即2->a 时，令a x x -=+-4， 得2
2a x +=, ∴a ≥2+
2
a
,即a ≥4时成立，综上a ≤-2或a ≥4。

……………………10分。