江西省抚州市2024届高三下学期毕业班教学质量监测数学答案

数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】C
【解析】因为{|22},{|2A x x B x x =-≤≤=<-或0}x >，所以(0,2]A B = .
2.【答案】D 【解析】因为2i z =+，所以2(42i)(2i)23i z z -=--+=-，
所以|2|z z -=
=3.【答案】B
【解析】因为p ：(21)(22)02201x x x x +-<⇔-<⇔<，:01q x <<，所以p 是q 的必要不充分条件.
4.【答案】C
【解析】设此时水面的高度为h ，则23234370π()2π1π(.23227
h h ⨯⨯+
⨯=⨯⨯⇒=5.【答案】A
【解析】因为对任意的x 都有(1)(1)f x f x +=--，所以令0x =，得(1)0f =，所以2a =-，所以(0)(2)(42) 2.
f f =-=--=-6.【答案】C
【解析】()e 1(0)1x f x a f a ''=+⇒=+，且(0)f a =，所以直线:(1)l y a x a =++，它与两坐标轴的交点坐标分别为(,0)1a a -
+和(0,)a ，所以12213
a a a ⨯⨯=+，解得2a =.7.【答案】D 【解析】因为1111111101101011
11116(71)77(1)7(1)(1)C C =-=+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅-+-，除以7的余数为6，所以选D .
8.【答案】A
【解析】由已知得o 90OPF ∠=，即FP OP ⊥，所以,PF b OP a ==.高三
因为直线:b OP y x a =，所以2(,a ab P c c
.又因为MP OF c ==，所以22(,)(,)a ab b ab M c c c c c
-=-，代入双曲线方程可得42244224422222222221()b a b b a a c b a a a b b a a a c b c
-=⇒-=⇒-=+⇒-=，
即2
22b a
=，所以离心率e ==二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD
【解析】因为0.3x y =单调递减，所以0.30.3a b <，选项A 正确；因为lg y x =单调递增，所以lg lg a b >，选项B 正确；当a >1>b >0时，显然选项C 不正确；选项D 正确.
10.【答案】BCD
【解析】因为1B M 与BC 相交，所以1B M 与平面PBC 相交，故选项A 错误；因为P ∉平面11BB C C ，N ∈平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以直线PN 与1CC 为异面直线，故选项B 正确；
当点P 与点A 重合时，PN ⊥平面11BB C C ，所以1B M PN ⊥,故选项C 正确；
当AP =AN 时，直线PN 与平面ABC 所成的角为o 45，故选项D 正确.
11.【答案】AD 【解析】由直线6πx ω=是函数()y f x =图象的一条对称轴，得到,62
πππZ n n ϕ+=+∈.又因为0πϕ<<，得到3
πϕ=，所以选项A 正确；
因为在区间[,2]ππ上的值域为[1,
]2-，所以()2f =π或(2)2f =π，且T >π，因此202ωω>⇒<<ππ.
若()2
f =π，则233k ω+=+ππππ，或22,3ππZ k k +∈.因为02ω<<，得13ω=，
此时1
()sin(33f x x =+π，当[,2]x ∈ππ时，
12[,]333x +∈πππ，()[0,2f x ∈，不符合条件.
若(2)2
f =π，则23ω+=ππ23k π+π，或22,3ππZ k k +∈.因为02ω<<，得1ω=或16ω=或76
ω=.当1ω=时，()sin()3
f x x =+π，当[,2]x ∈ππ时，7[,333x +
∈π4ππ，()[1,]2f x ∈-，符合条件.当16ω=时，1()sin()63f x x =+π，当[,2]x ∈ππ时，1[,6323x +∈ππ2π，3()[,1]2f x ∈，不符合条件.当76ω=时，7()sin()63f x x =+π，当[,2]x ∈ππ时，7[,6323
x +∈π3π8π，()[1,1]f x ∈-，不符合条件.综上，当1ω=时，()sin(3f x x =+π
，所以选项D 正确，选项B 、C 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分．
12.【答案】5
【解析】圆心(1,0)C ，半径2r =，所以点C 到2y x =的距离
d =
85||5AB ==
.
13.【答案】100π3
-
【解析】设展台所在的圆的圆心为O ，半径为R
，则220sin 3
2
BC R BAC ==∠，即10R =，120BAC ∠=︒，120BOC ∠=︒，
所以展台的面积为
22113100ππ101010.3223
⋅-⨯⨯⨯=-14.【答案】69
【解析】设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，
设12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+，则()2121k k a a xd k k d -==-⋅.
因为0d ≠，所以21x k k Z =-∈，即数列{}n a 的每一项均是整数，
所以数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数.{}，
，则意中的项是数列3838，设由题1n k k a d a a +==+所以38(38)d ⋅+是数列{}n a 中的项.
设38(38)m a d =⋅+，则38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅，即(38)3837m k d --⋅=⨯.
因为*38,m k Z d N --∈∈，故d 是3837⨯的约数.
所以1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，
.当1d =时，138(1)0a k =-- ，得1,2,,38,39k =⋯，
故138,37,,2,1,0a =⋯，共39种可能；
当2d =时，1382(1)0a k =-- ，得1,2,,18,19,20k =⋯，故138,36,34,,4,2,0a =⋯，共20种可能；
当19d =时，13819(1)0a k =-⨯- ，得1,2,3k =，故138,19,0a =，共3种可能；当37d =时，13837(1)0a k =-- ，得1,2k =，故138,1a =，共2种可能；
当38d =时，13838(1)0a k =-⨯- ，得1,2k =，故138,0a =，共2种可能；当237d =⨯时，138237(1)0a k =-⨯⨯- ，得1k =，故138a =，共1种可能；当1937d =⨯时，1381937(1)0a k =-⨯⨯- ，得1k =，故138a =，共1种可能；当3837d =⨯时，1383837(1)0a k =-⨯⨯- ，得1k =，故138a =，共1种可能.综上，满足题意的数列{}n a 共有392032211169+++++++=（种）.
经检验，这些数列均符合题意.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分）解析：（1）()cos()f x A x ωωϕ'=+，
由图可以得到：2,2A ω==，-----------------------------------------------------------------------3分
()f x 图象过点π(,0)12，ππ22
ϕ-<<，所以所以6
,122πϕπϕπ-==+∙k 所以π()2sin(2)6f x x =-
.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）由6()5f α=，得3sin(2)65
πα-=，--------------------------------------------------------9分π()4cos(26
f x x '=-，(2)4cos(4)123f ππαα'-=-2π4cos 2(24[12sin (2)]66παα=-=--2825
=.------13分16.（15分）解析：（1）设,AD BC 的中点分别为,O E ，连接,,OP OE PE .
因为PA PD =，所以OP AD ⊥.--------------------------------------------------------------------2分因为PB PC =，所以BC PE ⊥.
在梯形ABCD 中，224(42)5AD =
+-=所以2352OP =-=，1()32OE AB DC =
+=，217213PE =-=222OP OE PE +=，
所以OP OE ⊥，-----------------------------------------------------------------------------------------6分所以OP ⊥平面ABCD .
又因为OP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .-------------------------------------7分
（2）如图，以O 为原点，,OE OP 所在直线分别为y 轴,z 轴，作出x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(2,1,0),(2,3,0),(2,1,0),(0,0,2)A C D P ---.
设平面PAD 的法向量111(,,)m x y z = ，则
1111110(,,)(2,1,2)0220m AP x y z x y z ⋅=⇒⋅-=⇒-++= ，
111110(,,)(4,2,0)0420m AD x y z x y ⋅=⇒⋅-=⇒-+= ，
令11x =，得到12y =，10z =，即(1,2,0)m = .----------------------------------------------10分
设平面PAC 的法向量222(,,)n x y z = ，则
2222220(,,)(2,1,2)0220n AP x y z x y z ⋅=⇒⋅-=⇒-++= ，
.
000,44,,022222=+-⇒=-⋅⇒=⋅→y x z y x AC n ），（）（ 令21x =，得到21y =，212z =，即1(1,1,2
n =
.3
cos ,3
5
2m n <>== .因为二面角C -PA -D 是锐二面角，
所以二面角C PA D --
的余弦值是5
.--------------------------------------------------------15分17.（15分）解析：（1）当0a =时，()(2)ln(2)f x x x x =---，
()ln(2)(2)f x x x '=->，-----------------------------------------------------------------------------2分由()0f x '>得3x >，
所以函数()f x 的单调递增区间是(3,)+∞；-------------------------------------------------------6分
（2）2()ln(2)1
a f x x a x '=-+--，(3)0f '=，依题意，存在实数,m n 且23m n ≤<<，
使得当3m x <<时，()0f x '>，当3x n <<时，()0f x '<.------------------------------8分
记()()g x f x '=，则222
122(1)14()2(1)(2)(1)a x a x a g x x x x x -+++'=-=----（2x >）.记2()2(1)14,(3)42h x x a x a h a =-+++=-.
①当2a >时，(3)0h <，13a +>，()h x 在区间(2,1)a +上单调递减，存在实数,m n 且23m n ≤<<，使得(,)x m n ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()f x '单调递减，
因此当3m x <<时，()(3)0f x f ''>=，当3x n <<时，()(3)0f x f ''<=，函数()f x 在3x =时取得极大值.------------------------------------------------------------------------------------11分
②当2a =时，(3)0,13h a =+=，因此()(3)0h x h ≥=，即()0g x '≥，()f x '在区间
(2,)+∞上单调递增，当3x >时，()0f x '>，3x =不是函数()f x 的极大值点.·
··12分③当2a <时，(3)0h >，13a +<，函数()h x 在区间(3,)+∞上单调递增，
当(3,)x ∈+∞时，()(3)0h x h >>，即()0g x '>，函数()f x '单调递增，
即当3x >时，()(3)0f x f ''>=，因此，3x =不是函数()f x 的极大值点.
综上，实数a 的取值范围是(2,)+∞.---------------------------------------------------------------15分
18.（17分）解析：（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件A ，则()0.80.90.20.40.8P A =⨯+⨯=，-----------------------------------------------------------------2分因此~(3,0.8)X B ，分布列为：X
0123P 0.0080.0960.3840.512
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分X 的数学期望30.8 2.4EX =⨯=.-------------------------------------------------------------------7分
（2）若该药品的有效率为80%，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为80%，记康复的人数为随机变量1X ，则1~(100,0.8)X B ，
设21000.880,1000.80.216μσ=⨯==⨯⨯=，设2
~(80,4)Y N ，-------------------10分.
9772.0)5.0()(≥->≈≥k Y P k X P 所以分，因为149772.02
9544.011)2( =--≈-≥σμY P ,
5.72,72428025.0≤=⨯-=-≤-k k 即所以σμ所以整数k 的最大值为72.---------------------------------------------------------------------------17分
19.（17分）解析：（1）由条件得2,1222
a b a b ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得2,1a b ==，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=；------------------------------------------------------------------6分（2）由PAQ ∠的平分线经过点F ，得到,AP AQ 的斜率都存在，点A 的坐标为(0,1)，可设12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+，
点F 的坐标为(1,0)-12221211k k =++，化简得到121k k =.-------------------9分
由已知得到直线PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组22,12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=（#）.由121k k =，得到1212(1)(1)y y x x --=，所以1212(1)(1)kx m kx m x x +-+-=，得22
121212(1)()(1)k x x k m x x m x x +-++-=，根据韦达定理得222
222222(1)(4)22(1)121212m k m km m k m k k k ----⋅++-=+++，化简得2230m m +-=，即1m =或3-.
又当1m =时，直线PQ 经过点A ，不符合题意，
因此，3m =-，直线PQ 经过定点(0,3)N -，------------------------------------------------13分将3m =-代入方程（#）得22
(12)12160k x kx +-+=，
由△0>，解得24k >.△APQ
面积121||||2S AN x x =⋅-=
2812k
=+.
t =，0t >,
则2882299232t S t t t
==≤++，
当且仅当t =APQ
面积的最大值为3
.------------------------17分。