高考数学二轮复习 新高考方案专题增分方略 专题微课(一) 空间几何体的表面积、体积及空间位置关系

周，则所形成的几何体的表面积可以为
()
A． 2π
B．(1＋ 2)π
C．2 2π
D．(2＋ 2)π
解析：如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线 就是直角三角形的斜边，长为 2，所以所形成的几何体的表面积 S＝π×1× 2 ＋π×12＝( 2＋1)π. 如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边 上的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以形成 的几何体的表面积 S′＝2×π× 22×1＝ 2π. 综上可知，形成几何体的表面积是( 2＋1)π 或 2π. 答案：AB
3．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD为矩形，且
EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，EF＝c，
则VVBE-C-ADBEDF＝2时，bc＝ A．12
B．32
()
C．23
D．1
解析：VE-ABD＝13S△ABDh＝13×12ab×h＝16abh. 同理VF-BCD＝16abh. 因为VVFB--BDCEDF＝VVBB--CDDEFF＝SS△ △CDDEFF＝bc， 所以VB-DEF＝16ach， 则VB-CDEF＝VB-CDF＋VB-DEF＝16abh＋16ach， 所以VVBE--CADBEDF＝b＋b c＝1＋bc＝2，所以bc＝1. 答案：D
[例2] (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论正确的是 ()
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥平面CB1D1 C．异面直线AC与A1B所成的角为60° D．AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2
[解析] ∵BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面 CB1D1，A正确；
A．4 5π
B．8 5π
C．3 17π
D．4 17π
[解析] 细沙在上部容器时的体积为V＝13×π×22×4＝163π， 流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为4，设高为h， 则13×π×42×h＝163π，解得h＝1， ∴下部圆锥形沙堆的母线长l＝ 42＋12＝ 17， ∴此沙堆的侧面积S侧＝π×4× 17＝4 17π.
GN，NQ，B1D1，故MG∥B1D1.
又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，
∴MG∥BD.
又MG⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，
∴MG∥平面A1BD.
同理：MN∥平面A1BD， ∴平面MQN∥平面A1BD，∴平面MQN即为平面α，体积较小的几何体为三棱 锥N-MQC1. 由题意知，MC1＝GC1＝12，NC1＝1， 所以三棱锥N-MQC1的体积为13×12×12×14×1＝418，故选A. 答案：A
考点二 线面位置关系的判断
[例 1] (多选)已知 α，β 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，
则下列命题正确的是
()
A．若 m⊥n，m⊥α，n∥β，则 α⊥β
B．若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n
C．若 α∥β，m⊂α，则 m∥β
D．若 m∥n，α∥β，则 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等
专题微课(一)|空间几何体的表面积、体积及空间位置关系
考点一 空间几何体的表面积与体积
[例 1] 如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥
的底面直径和高均为 8 cm，细沙全部在上部时，其高度为
圆锥高度的12(细管长度忽略不计)．当细沙全部漏入下部
后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为( )
2.求空间几何体体积的方法 1公式法：直接根据相关的体积公式计算. 2等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体 积计算更容易，或是求出一些体积比等. 3割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转 化为易计算体积的几何体.
[对点训练]
1．(多选)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一
[答案] D
[例2] (2020·长春检测)在四棱锥P-ABCD中，PB＝PD＝2，AB＝AD＝
1，PC＝ 3 PA＝3，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD，则四棱锥P-ABCD的体
积为
()
A.
6 2
B. 6
C.
6 3
D. 3
[解析] 依题意可得，PA2＋AB2＝PB2， 则PA⊥AB. 同理可得PA⊥AD， 因为AB∩AD＝A， 所以PA⊥平面ABCD，则PA⊥AC. 因为PC＝ 3PA＝3，所以AC＝ 32－ 32＝ 6. 因为∠BAD＝120°，且AC平分∠BAD， 所以四边形ABCD的面积为1× 6× 23＝322， 从而四棱锥P-ABCD的体积为13×322× 3＝ 26，故选A. [答案] A
[方法技巧] 1.求空间几何体表面积的方法 1求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即 空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点. 2求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几 何体的表面积.
[解析] 若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，并不能得到α⊥β这一 结论，故选项A错误；
若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质定理可得m⊥n， 故选项B正确；
若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质可知m∥β，故选项C正确； 若m∥n，α∥β，则由线面角的定义和等角定理知，m与α所成的角和n与β 所成的角相等，故选项D正确． [答案] BCD
2．(2020·漳州高三测试)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为
2，M为B1C1的中点，过M作平面α，使得平面α∥平面A1BD，若平面α把
ABC-A1B1C1分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为 ( )
A．418
B．214
C．112
D．18
解析：取C1D1的中点G，C1C的中点N，MG的中点Q，连接MG，MN，
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥ 平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，B正确；