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八年级数学 ( 上) 知识点2021秋
第 11 章：三角形∠ A 的均分线与对边 BC交于点 D，那么线段 AD
叫做三角形的角均分线。

1. 三角形的看法7.三角形拥有牢固性
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相8.四边形及多边形不拥有牢固性
接所组成的图形叫做三角形。

要使多边形拥有牢固性，方法是将多边形分成
2. 三角形按边分类多个三角形，这样多边形就拥有牢固性了。

9.三角形的内角和定理 : 三角形的内角和为 180° .
3.三角形三边的关系〔重点〕
三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的
任意两边之差小于第三边。

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别
是 a， b， c，那么 a＋ b＞ c 或 c－b＜ a.
三角形两边的长度分别为 a，b，求第三边长度的范围： |a － b| ＜ c＜ a＋b
4.三角形的高
从△ ABC的极点向它的对边 BC所在的直线画垂线，垂足为 D，那么线段 AD叫做△ ABC的边 BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三
角形的垂心〞。

5.三角形的中线
连接△ ABC的极点 A和它所对的对边 BC的中点D，所得的线段 AD叫做△ ABC的边 BC上的中线。

三角形的中线能够将三角形分为面积相等的
两个小三角形。

6.三角形的角均分线
10.直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余〔相加为 90°〕。

有
两个角互余的三角形是直角三角形。

11.三角形外角的意义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

12.三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

14.多边形的看法
在平面中，由一些线段首尾按次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它
的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫
做外角。

连接多边形不相邻的两个极点的线段叫做多边形的对角线。

一个 n 边形从一个极点出发的对角线的条数为(n － 3) 条，其全部的对角线条数为
n ( n3)。

2
15.凸多边形
1
画出多边形的任何一条边所在的直线，若是多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边
形就是凸多边形。

16.正多边形
各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

〔两个条件缺一不能，除了三角形以外，因为假设
三角形的三内角相等，那么必有三边相等，反过来
也成立〕
要求会的题型：
①告诉多边形的边数，求多边形过一个
极点的对角线条数或求多边形全部对
角线的条数
方法：一个n 边形从一个极点出发的对角线的
条数为〔 n－3〕条，其全部的对角线条数为n(n3)。

2
将边数代入公式即可。

17.n 边形的内角和定理
n 边形的内角和为〔n-2〕?180°
18.n 边形的外角和定理
多边形的外角和等于 360°，与多边形的形状和
边数没关。

第 12 章全等三角形
一、全等三角形
能够完满重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转能够获取它的全
等形。

2、全等三角形有哪些性质
（1〕全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2〕全等三角形的周长相等、面积相等。

（3〕全等三角形的对应边上的对应中线、角均分线、高分别相等。

3、全等三角形的判断
边边边：三边对应相等的两个三角形全等〔可简
写成“ SSS〞 )
边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形
全等〔可简写成“ SAS〞 )
角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角
形全等〔可简写成“ ASA〞)
角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个
三角形全等〔可简写成“AAS〞 )
斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两
方法指引
个直角三角形全等〔可简写成“HL〞 )
4、证明两个三角形全等的根本思路：
证明两个三角形全等的根本思路：
找第三边 (SSS)
〔1〕：两边----找
夹角
〔S
AS)
找可否有直角(HL)
找这边的另一个邻角(ASA)
一边和它的邻角找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角(AAS)
(2):一边一角---
一边和它的对角
找一角(AAS)
角是直角，找一边(HL)
找两角的夹边(ASA)
(3):两角---
找夹边外的任意边(AAS)
练习
二、角的均分线：
1、〔性质〕角的均分线上的点到角的两边的距离
相等 .
2、〔判断〕角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的均分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1 〕要正确区分“对应边〞与“对边〞，“对
应角〞与“对角〞的不相同含义；
（2〕表示两个三角形全等时，表示对应极点的字母
要写在对应的地址上；
（3〕“有三个角对应相等〞或“有两边及其中一
边的对角对应相等〞的两个三角形不用然全等；
（4〕时辰注妄图形中的隐含条件，如“公共角〞、
“公共边〞、“对顶角〞
第13章轴对称
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠，若是直线两
旁的局部能够完满重合，那么这个图形就叫做轴对
称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说
这个图形关于这条直线〔成轴〕对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，若是它能与
另一个图形完满重合，那么就说这两个图关于这
条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的
点是对应点 , 叫做对称点
2
知识回忆：
3、轴对称图形和轴对称的差异与联系
轴对称图形
轴对称
A
A'
A
图形
B C C'
B'
B C
(1)轴对称图形是(一指个) (1)轴对称是(指两)个图形差异拥有特
别形状的图,形
的地址关,系必定涉及
只对(一个)图形而言;
( 两个)图形;
(2)对称轴(
不一)
定
只有一条
(2)只有(一)条对称轴.
若是把轴对称图形沿对称轴若是把两个成轴对称的图形联系分成两局部,那么这两个图形拼在一起看作一个,整那体
就关于这条直线成轴.对称么它就是一个轴对称.图形
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②若
是两个图形关于某条直线对称，那么对称
轴是任何一对对应点所连线段的垂直均分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所
连线段的垂直均分线。

④若是两个图形的对应点连线被同条直线垂直
均分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直均分线
1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直均分线，也叫中垂线。

2、线段垂直均分线上的点与这条线段的两个端
点的距离相等
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直均分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标相等, 纵坐标互为相反数 . 关于y轴对称的点横坐标互为
相反数 , 纵坐标相等 .
点〔 x, y〕关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).
点〔 x, y〕关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
2.三角形三条边的垂直均分线订交于一点，这个点
到三角形三个极点的距离相等
四、〔等腰三角形 ) 知识点回忆
1.等腰三角形的性质
①. 等腰三角形的两个底角相等。

〔等边同等角〕
②.等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

〔三线合一〕
2、等腰三角形的判断：
若是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

〔等角同等边〕五、〔等边三
角形〕知识点回忆
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600。

2、等边三角形的判断：①三个角都相等的
三角形是等边三角形。

0
3.在直角三角形中，若是一个锐角等于 300，那么它所
对的直角边等于斜边的一半。

第 14 章整式乘除与因式分解
一．回忆知识点
1、主要知识：
幂的运算性质：
m nm＋n
a ·a＝a〔 m、 n 为正整数〕
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
a m n＝a mn〔 m、n 为正整数〕
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
ab n a n b n〔 n 为正整数〕
积的乘方等于各因式乘方的积．
a m a n＝a m－ n(a ≠ 0， m、 n 都是正整数，且
m＞ n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的看法：
a0＝1〔a≠0〕
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．
负指数幂的看法：
1
a－p＝a p〔a≠ 0，p是正整数〕
任何一个不等于零的数的－ p〔 p 是正整数〕指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数．
也可表示为：＝〔m≠0， n≠ 0， p 为正整数〕
单项式的乘法法那么：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作
为积的
因式；关于只在一个单项式里含有的字母，那么连
同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法那么：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3
多项式与多项式的乘法法那么：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一
项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相
加．
单项式的除法法那么：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：关于只在被除式里含有的字母，
那么连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的法那么：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项
除以这个单项式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：〔 a＋ b〕〔a－ b〕＝ a2－ b2
文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相
乘，等于这两个数的平方差．
②完满平方公式：〔 a＋ b〕2＝ a2＋ 2ab＋ b2
（a－ b〕2＝a2－ 2ab＋ b2文字语言表达：两个数的和〔或差〕的平方等
于这两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积
的2倍．
3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这
种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
〔 1〕分解对象是多项式，分解结果必定是积的
形式，且积的因式必定是整式，这三个要素缺一不能；
（2〕因式分解必定是恒等变形；
（3〕因式分解必定分解到每个因式都不能够分解
为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是
把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差
的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1〕掌握提公因式法的看法；
（2〕提公因式法的重点是找出公因式，公因式
的组成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的
最大合约数；②字母——各项含有的相同字母；③
指数——相同字母的最低次数；
（3〕提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提
取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的
项数一致，这一点可用来检验可否漏项．
（4〕注意点：①提取公因式后各因式应该是最
简形式，即分解到“底〞；②若是多项式的第一项的
系数是负的，一般要提出“－〞号，使括号内的第
一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
2－ b2＝〔 a＋ b〕〔 a－ b〕
①平方差公式：a
②完满平方公式： a2＋2ab＋ b2＝〔 a＋ b〕2
a2－2ab＋ b2＝〔 a－ b〕2
第15章分式
1、分式的定义：若是 A、B 表示两个整式，并
且 B 中含有字母，那么式子
A
叫做分式。

B
2、分式有意义、没心义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式没心义的条件：分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件：
当分式的分子等于0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0。

〔分式的值是在分式有意义的前提下才能够考
A
为 0 的条件是 A＝ 0，且 B≠ 0. 〕虑的，所以使分式
B
〔分式的值为0 的条件是：分子等于0，分母不等于 0，二者缺一不能。

第一求出使分子为 0 的字母的
值，再检
验这个字母的值可否使分母的值为 0. 当分母的值不为 0 时，就是所要求的字母的值。

〕
1、分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或
除以〕一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为 A AC A A C
B B
C B B C
（C 0 〕，其中A、B、C是整式注意：〔 1〕“ C 是一个不等于 0 的整式〞是分式基本性质的一个限制条件；
（2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞
的含义，防范犯只乘分子〔或分母〕的错误；
（3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用
分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，
再乘或除以同一整式 C；
（4〕分式的根本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依照。

5.分式的通分：
和分数近似，利用分式的根本性质，使分子和
4
分母同乘合适的整式，不改变分式的值，把几个异
分母分式化成
相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的重点是确定几个式子的最简公分母。

几
个分式通分时，平时取各分母全部因式的最高次幂
的积作为公分
母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母
时应注意以下几点：
（1〕“各分母全部因式的最高次幂〞是指凡
出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂采用指
数最大的；
（2〕若是各分母的系数都是整数时，平时取它们
系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（3〕若是分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：
和分数相同，依照分式的根本性质，约去分式
的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样
的分式变形叫
做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含
有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的重点是找出分式中分子和分母的公因
式。

〔 1〕约分时注意分式的分子、分母都是乘积形
式才能进行约分；分子、分母是多项式时，平时将
分子、分母
分解因式，尔后再约分；
〔 2〕找公因式的方法：
① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分
母系数的最大合约数，再找相同字母的最低次幂，
它们的积就
是公因式；
②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因
式分解。

易错点：〔 1〕当分子或分母是一个式子时，要看
做一个整体，易出现漏乘〔或漏除以〕；
（2〕在式子变形中要注意分子与分母的符号变
化，一般情况下要把分子或分母前的“—〞放在分数线前；
（3〕确定几个分式的最简公分母时，要防范遗漏
只在一个分母中出现的字母；
7.分式的运算：
分式乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为
积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、
分母颠倒地址后，与被除式相乘。

用式子表示是：
=;==
提示：〔1〕分式与分式相乘，假设分子、分母是单
项式，可先将分子、分母分别相乘，尔后约去公因式，化为最简分式；假设分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看可否约分，尔后再相乘；
（2〕当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变
（3〕分式的除法能够转变成分式的乘法运算；
（4〕分式的乘除混淆运算一致为乘法运算。

①分
式的乘除法混淆运算序次与分数的乘除混
合运算相同，即依照从左到右的序次，有括号先算
括号里面的；
②分式的乘除混淆运算要注意各分式中分子、
分母符号的办理，可先确定积的符号；
③分式的乘除混淆运算结果要经过约分化为最
简分式〔分式的分子、分母没有公因式〕或整式的
形式。

分式乘方法那
么：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

( a )n a n
用式子表示是：b b n〔其中 n 是正整数〕
注意：〔 1〕乘方时，必然要把分式加上括号；
（2〕分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；
负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；
（3〕分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；
（4〕在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多
项式时应先分解因式，再约分。

分式的加减法那么：
法那么：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

a c a± c
用式子表示为：b
±b＝b
法那么：异分母的分式相加减，先通分，转变成
同分母
分式，尔后再加减。

a c ad bc ad± bc
用式子表示为： b ±d＝bd±bd＝bd
注意：〔 1〕“把分子相加减〞是把各个分子的5
整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加
减，分子是单项式时括号能够省略；
〔 2〕异分母分式相加减，“先通分〞是重点，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中
符号的办理，特别是分子相减，要注意分子的整
体性；
（3〕运算时序次合理、步骤清楚；
（4〕运算结果必定化成最简分式或整式。

分式的混淆运算 :
分式的混淆运算，重点是弄清运算序次，与分
数的加、减、乘、除及乘方的混淆运算相同，先算
乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号
里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a01(a 0) ；当n为正整数时， a n
1
a n （a 0)
注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果
要把幂指数化为正整数。

9.整数指数幂：
m m＋n a m1假设 m、n 为正整数， a≠ 0，a
÷ a＝a m.a n ＝a n m m＋ n m－﹙ m＋n﹚－ n－ n1
又因为 a÷ a＝ a＝ a,所以 a＝a n
－n1
一般地，当 n 是正整数时，a＝a n 〔a≠0〕，－ n n
即 a 〔a≠ 0〕是 a 的倒数，这样指数的取值范围
就实行到全体整数。

整数指数幂可拥有以下运算性
质： (m,n是整数 )
〔 1〕同底数的幂的乘法： a m a n a m n ；〔 2〕幂的乘方：(a m)n a mn;
〔 3〕积的乘方：(ab)n a n b n；
〔 4〕同底数的幂的除法 :a m a n a m n (a ≠ 0) ；
〔 5〕商的乘方：
a
)n
a n
； (b ≠ 0) (
b n
b
规定： a0＝ 1〔 a≠ 0〕，即任何不等于0 的零次幂都等于 1.
10.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方
程叫做分式方程。

分式方程的解法：
（1〕解分式方程的根本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程 .
（2〕解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程的两边都同时乘以最
简公分母，把分式方程化为整式方程，依照是等
式的根本性质；
②解这个整式方程；
③检验：把整式方程的解代入最简公分母，
使最简公分母不等于0 的解是原方程的解，使
最简公分母等于0 的解不是原方程的解，即说
明原分式方程无解。

注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
② 解分式方程必定要验根，千万不要忘了！
解分式方程的步骤：
〔 1〕能化简的先化简；(2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3) 解整式方程；(4) 验根．
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分
母，若是最简公分母的值不为0，那么整式方程的解
是原分式方程的解；否那么，这个解不是原分式方
程的解。

11.含有字母的分式方程的解法：
在数学式子的字母不但能够表示未知数，也能够表示数，含有字母数的分式方程的解法，也
是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要
注意的是要找准哪个字母表示未知数，
哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。

计算结果是用数表示未知数，不要混淆。

12.列分式方程解应用题的步骤是：
(1)审：审清题意； (2) 找 : 找出相等关系；
(3)设：设未知数； (4) 列：列出分式方程； (5)
解：解这个分式方程； (6) 验：既要检验根是否是所
列分式方程的解，又要检验根可否吻合题意；
(7)答：写出答案。

应用题有几各种类；根本公式是什么？
根本上有五种：
(1) 行程问题 :
根本公式：行程 =速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的
表示法．
(3)工程问题根本公式：工作量 =工作效率×工作
时间．
(4) 顺水逆水问题v 顺水 =v 静水 +v 水．
v逆水=v静水-v水
6。