2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点12 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移

考点12、平面向量的数量积、线段的定比分点与平移 1.（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b ∙=== ，则2a b -= （ ）
A ．0
B ．
C ．4
D ．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式a =
解.
【规范解答】选B （方法一）2a b -==
==；（方法二）数形结合法：由条件0a b ∙= 知，以向量
a ，
b 为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b == ，所以2=2a ，
则2a b - 是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为.
方法二：熟记向量0a b a b ⊥⇔∙= 及向量和的三角形法则
2.（2010·重庆高考文科·Ｔ3）若向量(3,)a m = ，(2,1)b =- ，, 0a b ∙= ，则实数m 的值为（ ）
A ．32-
B ．32
C ．2
D ．6 【命题立意】本小题考查平面向量的基础知识及其应用，考查数量积的运算，考查方程思想.
【思路点拨】代入数量积的坐标公式计算即可.
【规范解答】选D 因为0a b ∙= ，向量(3,)a m = ，(2,1)b =- ，所以32(1)0m ⨯+-=，所以6m =.
【方法技巧】熟记向量数量积的坐标运算公式
3.（2010·四川高考理科·Ｔ5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ ）.
（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1
【命题立意】本题主要考查平面向量加、减运算的几何表示，向量模的意义，平行四边形的性质.
【思路点拨】平行四边形法则，22BC BC = .
【规范解答】选C 以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABCD ，由
22=16BC BC = ,知=4BC ，又由AB AC AB AC +=- 可知，四边形ABCD 为
矩形.∴242AD BC AM AM ===⇒= ，故选C
【方法技巧】平行四边形法则和数形结合思想的应用
. 如图：
4.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC 中，点D 在 边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a ,
CA = b , 1,2a b == ， 则CD =（ ）
（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b 【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。

【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。

由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2 这样可以用向量a , b 表示CD 。

【规范解答】 选B ，由题意得AD:DB=AC ；CB=2:1,AD=32AB,所以CD =CA +=b +23 =a +13
b 【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则 5.（2010·湖北高考理科·Ｔ5）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【命题立意】本题主要考查向量加法的平行四边形法则、两向量共线的充要条件以及三角形重心的性质，同时考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】先由0MA MB MC ++= 确定M 点的位置，再利用向量加法的平行四边形法则表示出AM AC + ，最后利用两向量共线的充要条件即可求出m 的值。

【规范解答】选B ，由0MA MB MC ++= 得MA MB MC +=- ，设AB 中点为D,则2MA MB MD += ，
从而2MC MD -= ，即2CM MD = ，所以M 点为ABC ∆的重心。

设BC 的中点为E ，则2AB AC AE += ,所以m 2AE AM = ,由三角形重心的性质知. 3m = 【方法技巧】已知0MA MB MC ++= 确定点M 的位置时，解题的依据是：若(0)b a a λ=≠ 则b a b a λ⎧⎪⎨=⎪⎩
与共线。

因此务必要将多个向量的运算转化为两向量的关系，
再利用两向量共线的充要条件加以判断。

再如已知ABC ∆，230MA MB MC ++= 时，设AC,BC 的中点分别为E 、F ，则
232MA MB MC MA MC MB MC ++=+++ （）（）240ME MF =+=
从而2ME MF =- ,因此可判断M 点为ABC ∆的中位线EF 上靠近F 的一个三等分点。

6.（2010·上海高考理科·Ｔ１6）直线l 的参数方程是)(221R t t y t x ∈⎩
⎨⎧-=+=，则l 的方向向量是d 可以是 （ ）
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
【命题立意】本题考查了参数方程及直线、向量的有关知识．
【思路点拨】先求出直线的方程，再写出直线的的个方向向量，再找与此方向向量平行的向量．
【规范解答】选C ，由参数方程消去t 得，2521+-
=x y ，21-=k ，与向量)2
1,1(-平行的向量只有(-2,1)．
【方法技巧】必须掌握：对于直线y kx b =+，（1，k ）是它的方向向量及两向量共线的充要条件 7.（2010·江西高考理科·Ｔ１３）已知向量,a b 满足1,2,a b a == 与b 的夹角为60°，则a b -=
______________．
【命题立意】本题主要考查平面向量数量积、平面向量的模、夹角等概念及平面向量的运算．
【规范解答】由题意知a b -= = 202260cos 2121+⨯⨯⨯-=3.
8.（2010·江西高考文科·Ｔ１３）已知向量a ，b 满足||2b = ，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投
影是 ；
【命题立意】本题主要考查向量的基本知识，考查向量的的概念．
【思路点拨】由向量投影定义直接求。

【规范解答】b .160cos 2,cos 0=⨯=⋅b a
【答案】１
【方法技巧】熟记向量投影定义，可联想向量数量积的定义表达式及其几何意义。