高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式(第

1.1 不等式 3
课堂探究
1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件
剖析：“一正”：不论是三个数或者n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33
abc ＝6，显然－2≥6不成立．
“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．
“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2
＋b 2
≥2ab 与a 3
＋b 3
＋c 3
≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．
2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法
剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4
x 4
＋x 2
＝4
x 4＋x 22＋x 2
2，其中把x 2
拆成x 22和x 2
2
两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变
形：y ＝4
x 4＋x 2
＝4
x 4＋x 24＋3
4
x 2
，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4
x 4＝x 24＝34
x 2
，显然x 无解．
题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值 【例1】已知x ＞0，求函数y ＝x (1－x 2
)的最大值．
分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2
＝x 2
(1－x 2)2
＝x 2
(1－x 2
)(1－x 2
)＝2x 2
(1－x 2)(1－x 2
)×12
.求出最值后再开方．
解：∵y ＝x (1－x 2
)，
∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2
)·12.
∵2x 2
＋(1－x 2
)＋(1－x 2
)＝2， ∴y 2
≤12⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2
＋1－x 2
＋1－x 2
33＝427.
当且仅当2x 2＝1－x 2
，即x ＝
3
3
时取等号成立．
∴y ≤239.∴y 的最大值为239
.
反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：
y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝1
2
·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝1
2. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.
题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式
【例2】设a ，b ，c ＞0，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.
分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明． 证明：∵a ，b ，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33
abc ，1a ＋1b ＋1
c ≥3
31
abc
.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
反思 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题
【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θ
r
2
，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？
分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→ 将它代入E ＝k sin θr
2
―→ 得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→ 用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解
解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2
θ4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0＜θ＜π2， ∴E
2
＝
k 2
16
·sin 2θ·cos 4
θ
＝
k 232·(2sin 2
θ)·cos 2
θ·cos 2
θ≤k 2
32·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2sin 2
θ＋cos 2
θ＋cos 2
θ33＝k 2
108
，
当且仅当2sin 2
θ＝cos 2
θ时取等号， 即tan 2
θ＝12，tan θ＝22
，
∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． ∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．
反思 处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．。