湖北省宜昌市三峡高级中学2018年11月2018～2019学年度高二第一学期期中考试理科数学及参考答案

2019年10月2018～2019学年度第一学期高二年级期中考试
试卷
理科数学试题试题
考试时间:2018年11月
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给的四个选项中,只有一个是符合题
目要求的)
1.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α,且sin cos 0αα+=,则,a b 满足( )
A.1=+b a
B.0=-b a
C.0=+b a
D.1=-b a 2.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A.3
B.9
C.17
D.51
3.直线13kx y k -+=,当k 变动时,所有直线都通过定点( )
A.(0,0)
B.(3,1)
C.(0,1)
D.(2,1)
4.圆2
2
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A.2
2
(2)5x y -+=
B.22
(2)5x y +-= C.2
2
(2)(2)5x y +++=
D.2
2
(2)5x y ++=
5.有50件产品编号从1到50,现在从中抽取5件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( )
A.5,10,15,20,25
B.5,15,20,35,40
C.10,20,30,40,50
D.5,11,17,23,29 6.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.016 D.9.5,0.04
7.圆042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )
A.023=-+y x
B.043=-+y x
C.043=+-y x
D.023=+-y x
8. 2.5PM 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或 等于2.5m μ的颗粒物,也称为
细颗粒物,一般情况下 2.5PM 浓度(单位: 3
·
g m μ-)越大,大气环境质量越差.如图所示的是宜昌市区甲、乙两个监测站某10日内每日的 2.5PM 浓度读数的茎叶图,则下列说法正确的是( )
A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等
B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大
C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等
D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等
9.点()4,2P -与圆2
2
4x y +=上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )
A. ()()22211x y -++=
B. ()()22
214x y -++= C. ()()22424x y ++-= D. ()()22
211x y ++-= 10.两圆2
2
440x y x y ++-=与2
2
2120x y x ++-=的公共弦长等于( )
A. 4
B.
C.
D. 11.若实数,x y 满足2
2
2210x y x y +--+=则
4
2
y x --的取值范围为( ) A. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.
4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 4,3⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦ D. 4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
12.已知点(2,0)A -,(2,0)B ,(0,2)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部
分,则b 的取值范围是( )
A.(0,2
B. (2
C. 2
(2]3 D.2[,1)3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. )5(412＝__________)7(.
14.已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切,圆心在直线y ＝－x －4上,则圆M 的
方程为____________.
15.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 .
16.如图,已知直线3
34
y x =
-与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点, P 是以()0,1C 为圆心, 1为半径的圆上一动点,连接PA ,PB ,则
PAB ∆面积的最大值是
第Ⅱ卷
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 17.(本题满分10分)
在锐角ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,2sin c A =. (Ⅰ) 确定角C 的大小;
(Ⅱ) 若c =
且ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积.
18.(本题满分12分)
某城市
100
户居民的月平均用电量(单位:度),以
[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.
(Ⅰ) 求直方图中x 的值；
(Ⅱ) 求月平均用电量的众数、中位数；
(Ⅲ) 在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
19.(本题满分12分)
如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (Ⅰ)求证:平面P AC ⊥平面PBC ；
(Ⅱ)若AB ＝2,AC ＝1,P A ＝1,求二面角C -PB -A 的余弦值. 20.(本题满分12分)
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据:
(Ⅰ) 画出数据对应的散点图；
(Ⅱ) 求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线； (Ⅲ)据(Ⅱ)的结果估计当房屋面积为2150m 时的销售价格.
附:对于一组数据()11,u v , ()22,u v ,…(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为(
)()1
2
1
()
ˆn
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=-∑∑, ˆˆˆv u αβ=- 21.(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆2
2
:40C x y x +-=及点(1,0),(1,2)A B - (Ⅰ)若直线l 平行于AB ,与圆 C 相交于,M N 两点,
MN AB =,求直线l 的方程;
(Ⅱ)在圆 C 上是否存在点P ,使得2212?PA PB +=若存在, 求点P 的个数;若不存在,说明理由. 22.(本题满分12分)
已知各项均为正数的数列{}n a ,满足()22
1120*n n n n a a a a n N ++--=∈ 且12a =.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设
12
log n n n b a a =⋅,若n b 的前n 项和为n S ,求n
S ；
(Ⅲ)在(2)的条件下,求使1
250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.
2019年10月2018～2019学年度第一学期高二年级期中考试试卷
数学试题理科数学试题 答案
1—12. BDBAC CDCAD AB
13. 212 14. ()x ＋32
＋()y ＋12
＝1 15. 9 16. 212
17.解:(1)2sin c A =,2sin sin A C A =,
因为sin 0A ≠,所以sin C =. 所以3
C π
=
或23C π=
. 因为ABC ∆是锐角三角形, 所以3
C π=.
(2)因为c =且ABC ∆的周长为5,所以a ＋b ＝5 ①
由余弦定理得2
2
2cos
73
a b ab π
+-= ,即227a b ab +-= ②
由②变形得()2
37a b ab +-=,所以ab ＝6,得1sin 23S ab π==
18. 解:(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1,解方程可得x ＝0.007 5.
∴直方图中x 的值为0.007 5；(2分)
(Ⅱ)月平均用电量的众数是220＋240
2＝230,------(4分)
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,
设中位数为a,由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5可得a ＝224. ∴月平均用电量的中位数为224；--------(6分)
(Ⅲ)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15, 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10, 月平均用电量为[280,300)的用户有0.002 5×20×100＝5, ∴抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15
,--------(11分)
∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×1
5
＝5(户).-------(12分)
19. 证明:(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥, 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥. 又PA AC A ⋂=,PA ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC , 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC ,
所以平面P AC ⊥平面PBC ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一:过C 作CM//AP ,则CM ⊥平面ABC .
如图(1),以点C 为坐标原点,分别 以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.
在Rt △ABC 中,因为AB ＝2,AC ＝1,
所以BC .
又因为P A ＝1,所以A (0,1, 0),B
P (0,1,1).
故(3,0,0),(0,1,1)CB CP ==. 设平面BCP 的法向量为1111(,,)x y z =n ,
则110,0.
⎧=⎪⎨=
⎪⎩CB n CP n 所以1110,0.y z =+=⎪⎩
不妨令11y =,则1(0,1,1)=-n . 因为(0,0,1),(3,1,0),AP AB ==- 设平面ABP 的法向量为2222(,,)x y z =n ,
则220,0.
AP ⎧=⎪⎨
=⎪⎩n AB n 所以2220,
0.z y =⎧⎪-
=
不妨令21x =,
则2(1,0
)=n .
于是12cos ,4〈〉=
=n n . 由图(1)知二面角C -PB -A 为锐角,
第18题图(1)
故二面角C -PB -A
的余弦值为
4
…………………………12分 (Ⅱ)解法二:如图(2),过C 作CM ⊥AB 于M , 因为P A ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC , 所以P A ⊥CM .
又因为PA AB A ⋂=,且PA ⊂平面P AB ,AB ⊂平面P AB , 所以CM ⊥平面P AB .
过M 作MN ⊥PB 于N ,连接NC , 由三垂线定理得CN ⊥PB ,
所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角. 在Rt △ABC 中,由AB ＝2,AC ＝1,
得BC =
,CM =
,32
BM =. 在Rt △P AB 中,由AB ＝2,P A ＝1,
得PB =. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ,
所以3
1MN
所以MN 所以在Rt △CNM 中
,CN =
所以cos CNM ∠, 所以故二面角C -PB -A
的余弦值为
12分
20.(1)数据对应的散点图如图所示:
(2)1095151==∑=i i x x ,1570)(2
5
1
=-=∑=x x l i i xx ,
第18题图(2)
308))((,2.235
1
=--==∑=y y x x l y i i i xy
设所求回归直线方程为a bx y +=
,
则1962.01570
308
≈=
=
xx
xy l l b , 8166.11570308109
2.23≈⨯-=-=x b y a 故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y
(3)据(2),当2
150x m =时,销售价格的估计值为:
2466.318166.11501962.0=+⨯=y
(万元)
21. 解析:1.圆C 的标准方程为2
2
(2)4x y -+=, 所以圆心(2,0)C ,半径为2.
因为//,(1,0),(1,2)l AB A B -,所以直线l 的斜率为
20
11(1)
-=--,
设直线l 的方程为0x y m -+=,
则圆心 C 到直线l 的距离为d =
=
因为MN AB ===而2
222MN CM d ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,所以2
(2)422m +=+, 解得0m =或4-,
故直l 线的方程为0x y -=或40x y --=. 2.假设圆 C 上存在点P ,设(,)P x y ,则
22(2)4x y -+=,222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=,
即2
2
230x y y +--=,即2
2
(1)4x y +-=,
因为2222-<<+
所以圆22(2)4x y -+=22
(1)4x y +-=与圆相交, 所以点P 的个数为2
22.解:(1)∵22
1120n n n n a a a a ++--=,()()1120n n n n a a a a ++∴+-=
∵数列{}n a 的各项均为正数,∴10n n a a ++>, ∴120n n a a +-=,即()12*n n a a n N +=∈ 所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列.
∵12a =,∴数列{}n a 的通项公式2n
n a =. (2)由(1)及12
log n n n b a a =得,2n
n b n =-⋅,
∵12n n S b b b =+++,
∴234
22232422n n S n =--⋅-⋅-⋅-
-⋅①
∴()2345
122223242122n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅---⋅-⋅②
②-①得
()()2345
1
112122222222
212212
n n n n n n S n n n +++-=+++++
+-⋅=
-⋅=-⋅--
(3)要使1
250n n S n ++⋅>成立,只需12250n +->成立,即1252n +>, ∴使1
250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5.
附:双向细目表
- 11 -。