高三数学用向量方法求空间角和距离

高三数学 用向量方法求空间角和距离
知识回顾
1、
空间角问题
分析：空间的角主要有异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角
设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,
则两异面直线所成的角b
a b a ⋅⋅=arccos
α
（２）求线面角
设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，
则斜线l 与平面α所成的角n
l n l ⋅=arcsin
α
（３）求二面角
法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图， 则二面角l αβ--的平面角b
a b a ⋅=arccos α
法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，
另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角2
121arccos n n n n ⋅=α
2、
空间距离问题
分析：构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离
法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B,
则A 到
α的距离
n
n AB AB d ⋅=
=θcos
法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离
法一、找平面β使b β⊂且β⊥a
则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,
n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离
n
n AB AB d ⋅=
=θcos （此方法移植于点面距离的求法）．
例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．
（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离
例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形
B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥''
（Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'
DAC 的距离． （II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？ 60
例３．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小． 分析：结合图形口头分析
【课堂练习】（小黑板展示题目，学生说答案）
１．在正四面体S ABC -中，棱长为a ，E,Ｆ分别为SA 和BC 的中点，求异面直线BE 和
SF 所成的角．
２．在边长为１的菱形ABCD 中，60ABC ︒
∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使 折起后
BD ＝１，求二面角B AC D --的余弦值．
３．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面， 且PD AD a ==，问平面PBA 与平面PBC 能否垂直？ 试说明理由．
４．在直三棱柱111ABC A B C -中，90A ︒
∠=，1,,O O G 分别为111,,BC BC AA 的中点，且12AB AC AA ===． （１） 求1O 到面11ACB 的距离； （２） 求BC 到面11GB C 的距离．
D
A
C
B
P
５.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点.
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的大小.。