备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：3 三角函数求值题型举例 含解析

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.
一、用三角函数定义求值
例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝
3
6
x ，求sin α＋tan α的值．
例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝( )。

A.－4
5
B.－35
C.35
D.45
【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55
. 点评:用定义法求三角函数值的两种情况:
①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；
②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.
二、用诱导公式求值
例3.【2016高考四川文科】错误！未找到引用源。

. 【解析】由三角函数诱导公式错误！未找到引用源。

.
例4.已知α∈
错误！未找到引用源。

，sin α＝
5
5，则tan(π－α)＝________. 【解析】因为α∈
错误！未找到引用源。

，sin α＝
55
， 所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－1
2.
所以tan(π－α)＝－tan α＝1
2
.
点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。

诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.
三、用同角三角函数间的关系求值
例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（ ） A.错误！未找到引用源。

B.
错误！未找到引用源。

C.
错误！未找到引用源。

D.
错误！未找到引
用源。

【解析】
错误！未找到引用源。

．
例6.已知错误！未找到引用源。

为第二象限角,错误！未找到引用源。

错误！未找到引用
源。

,则错误！未找到引用源。

( ) A.错误！未找到引用源。

B.
错误！未找到引用
源。

C.错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

【解析】法一:因为错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

.
又因为错误！未找到引用源。

为第二象限角且错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

为第三象限角, 所以错误！未找到引用源。

，故选A.
法二:错误！未找到引用源。

两边平方,得错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

. 因为错误！未找到引用源。

为第二象限角,所以错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

, 所以错误！未找到引用源。

，
由
错误！未找到引用源。

，解得
错误！未找到引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

.
点评:已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：
①一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解。

②一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解。

③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解。

四、利用三角函数性质求值
例7.【2016届山西晋城市高三下学期三模】已知函数错误！未找到引用源。

相邻两对称
中心之间的距离为错误！未找到引用源。

,将函数错误！未找到引用源。

的图象向左平移
错误！
未找到引用源。

个单位所得图象关于直线
错误！未找到引用源。

对称, 则错误！未找到引用
源。

（ ） A ．
错误！未找到引用源。

B ．
错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．
错误！未找到引
用源。

例8.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】由图可知T 2＝π4，T ＝π2，ω＝2π
T
＝4. 故选B.
例9.【2016高考新课标2文数】函数错误！未找到引用源。

的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】因为错误！未找到引用源。

，
而错误！未找到引用源。

，所以当错误！未找到引用源。

时，取最大值5，选B.
例10.已知函数f (x )＝2cos 错误！未找到引用源。

，求函数f (x )在区间
错误！未找到引
用源。

上的最大值和最小值.
【解析】因为－π2≤x ≤0，所以－34π≤2x ＋π4≤π4
，
所以当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π
2
时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；
当2x ＋π4＝0，即x ＝－π
8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2，
即f (x )在
错误！未找到引用源。

上的最小值为－1，最大值为 2.
点评:求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等。

对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解。

五、用和差公式求值
例11.【2016学年甘省天水一中期末】已知2
tan()5αβ+=
, 错误！未找到引用源。

, 则错误！未找到引用源。

的值为（ ）
A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！
未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！
未找到引用源。

【解析】因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,故选C. 点评:给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论.
六、利用倍角公式求值
例12.【2016高考新课标2理数】若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（ ） A.
错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.
错误！
未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

，
且错误！未找到引用源。

，故选D.
例13 .设sin 2α＝－sin α，α∈
，则tan 2α的值是________。

错误！未找到引用源。

点评:三角函数式的化简求值：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.。