指数自回归模型
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 检验得出的 TR2 15.2 ，而 0.01 ( 4 ) 13.28 ，因此 Engle 得出存在 ARCH 误差的
结论。给出如下误差权重递减的 ARCH(4)过程：
t2 0 1(0.4t21 0.3t22 0.2t23 0.1t24 )
（9.35）
q 1 j j 1
上海财经大学 统计与管理学院
14
ARCH模型的极大似然估计
yt xt t ,
T t 1
t 1,2,, T
的对数似然函数为
L( ) log f ( yt xt , Yt 1; )
对数似然函数关于参数的一阶偏导数为
rt wt pt 。Engle 进行了一些试验后，最终建立了如下模型（模型（9.34）中各
参数的 t 检验统计量值分别是：4.5、3.2、3.7、-3.5 和 4.1） ：
t 0.0257 0.334 t 1 0.408 t 4 0.404t 5 0.0559rt 1 t
T T L( ) log f ( yt xt , Yt 1; ) log(2 ) lt ( ) 2 t 1 t 1
T
参数向量 的解。
lt ( ) L( ) T lt ( ) lt ( ) t 1
在 H 0 成立时，统计量 布。
2 有 (q) 极限分
上海财经大学 统计与管理学院
16
ARCH模型的特点
模型中将条件方差 t 表达成过去扰动项的回归函数 形式，形式恰能反映金融市场波动集聚性特点，即较 大幅度的波动后面紧接着较大幅度波动，较小幅度的 波动后面紧接着较小幅度的波动。 ARCH模型的随机误差项 t 服从宽尾的无条件分布， 这恰好能描述金融市场上资产收益率变量是宽尾分布 的特征。 利用ARCH模型可以更精确地估计参数，提高预测精 度。 ARCH模型的特征改善了计量经济模型的预测能力 t ARCH模型中随机误差 是条件分布，从Bayes统计 决策理论上看，可以在经济预测和决策中引入Bayes方 法进行估计和风险决策。
2
上海财经大学 统计与管理学院
17
例9.2
Engle(1982) 利用 ARCH 模型来刻画 1958 年第二季度到 1977 年第二季度期间英 国通货膨胀率中存在的条件异方差性。用 pt 表示英国消费者物价指数的对数， 用 wt 表示名义工资率指数的对数，于是通货膨胀率为 t pt pt 1 ，实际工资为
V a r(t ) 2 0.000089
（9.34）
这个模型的实质是，前一期的实际工资的增长造成了当期通货膨胀的增长，通货 膨胀率在 t 4 和 t 5 期的滞后值是用来反映季节因素的。
上海财经大学 统计与管理学院 18
例9.2
可以看出所有系数的 t 检验统计量绝对值都大于 3， 且一系列的诊断性检验都 没有显示出序列相关性，方差估计量为常数 0.000089。在检验 ARCH 误差时， ARCH(1)误差的拉格朗日乘数检验（LM）并不显著，而对 ARCH(4)误差过程的
非线性时间序
上海财经大学 统计与管理学院
1
§9.1 一般非线性时间序列模型介绍
参数非线性时间序列模型
非参数时间序列模型
上海财经大学 统计与管理学院
2
参数非线性时间序列模型
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型 拟线性自回归模型 指数自回归模型 双线性模型
上海财经大学 统计与管理学院
3
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型
当分割为
R j X 1 ,
, X p : rj X d rj 1 , j 1,
,l
其中 l d p 为某个整数，称此模型为 Self-exciting Threshold Autoregressive Model，其 形式为
xt xt 1 , ,xt p t
(9.22)
t 是白噪 的可测函数， 声 序列。模型(9.22)有如下两种特殊形式。 （1）可加非线性自回归模型 （2）函数系数自回归模型
上海财经大学 统计与管理学院 9
是 其中 R1 Rp 到
可加非线性自回归模型
可加非线性自回归模型为
当 p 0 时 t ARCH( q )， 可以看出 GARCH( p,q )模型具有 ARCH( q ) 模型的特点，能够模拟价格波动的集聚性现象，两者的区别在于 GARCH( p,q )模型的条件方差不仅是滞后扰动平方的线性函数，而且 是滞后条件方差的线性函数；当 p q 0 时， t 退化为白噪声过程。
上海财经大学 统计与管理学院
11
§9.2 条件异方差模型
ARCH模型 GARCH 模型 模型推广形式
上海财经大学 统计与管理学院
12
ARCH模型的定义
ARCH( q )模型定义如下：
t 1, 2, , T yt xβ t ， t
(9.25)
若随机过程 t 的平方 t2 服从 AR( q ) 过程，即
(9.38)
其中 p 0 ， q 0 ，0 0 ，i 0(i 1， 2， ，q) ， i 0(i 1 ， 2， ，p) ； ( B ) 为滞后算子多项式且 (B) 1B 2 B2 p B p 。
上海财经大学 统计与管理学院
21
GARCH模型的特性
其中 f i (i 1,, s) 是 s 个已知的 R p 到 R1 的可测函数， t 是白噪声，
i (i 1,, s) 是未知参数。
上海财经大学 统计与管理学院
6
指数自回归模型
指数自回归模型为
xt 00 0k 1k e
p
k 1 (9.17) 其中 t 是白噪声序列，00 ,0k ,1k (k 1,, p) 和 0 为未知参数，正整数p 为模型的阶数， 模型(9.17)记为EAR(p)。
X t jk X t k I rj X t d rj 1 t
j 1 k 1
l
pj
(9.6)
其中
r1 r2 rl rl 1
整数 d 称为滞后参数， r2 ,, rl 称为门限参数，模型(9.6)记为 SETAR l; p1 ,, pl 模型。
为了保证非负性和平稳性， Engle 选择含有两个参数的方差函数， 给定这组特 殊的递减权重，要满足这两个约束条件，其充分必要条件是 0 0 且 0 1 1 。
上海财经大学 统计与管理学院 19
例9.2
为了估计具有完全效率的这两个模型，Engle 对这两个模型的最大似然估计为：
t 0.0328 0.162t 1 0.264t 4 0.325t 5 0.0707rt 1 t
上海财经大学 统计与管理学院 20
GARCH模型的定义
GARCH( p,q )模型的一般形式为
t t t
0 ( B) ( B) 0
2 t 2 t 2 t i 1 q 2 i t i
(9.37)
i t2i
i 1 p
500 的序列。
(a) 线性 AR(1) (b) TAR， r=-1
上海财经大学 统计与管理学院
5
拟线性自回归模型
拟线性自回归模型为
X t 0 1 f1 X t 1 , , X t p s f s X t 1 , , X t p t
(9.16)
t2 0 1t21 2t22 qt2q t
(9.26)
其中 t 独立同分布，且有 E(t ) 0 ， D(t ) 2 ；0 0 ，i 0 ( i 1, 2, , q )， 则称 t 服从 q 阶的 ARCH 过程，记作 t ~ ARCH( q )。
t2 1.4 10-5 0.955(0.4t21 0.3t22 0.2t23 0.1t24 )
（9.36）
t2 的估计值是 1 步预测误差方差，在通常的显著性水平上，所有系数（除了
通货膨胀率自身的滞后量）都显著。对于一个已知的实际工资值，式（9.36）的 点估计暗示通货膨胀率是一个收敛过程。通过序列 t2 的计算值，Engle 发现， 随着经济从“可预测的 20 世纪 60 年代”转变到“混沌的 20 世纪 70 年代”，通货膨 胀预测的标准离差翻了两倍多，而 0.955 的点估计意味着较长的持续性。
xt21
x
t k
t
上海财经大学 统计与管理学院 7
双线性模型
双线性模型由Granger和Anderson（1978） 提出，并得到进一步研究和发展，Subba Rao和Gabr（1984）讨论了这个模型的一些 性质和应用，Liu和Brockwell（1988）推广 到一般的双线性模型 双线性模型形式
1 2 2 0 ˆ 1 T et T 0 ˆ 0 ˆ T et ˆ ) 2 1 zt ( ) zt ( ) zt ( ) 2 1 zt0 ( 2 t 1 0 t 1 t 1 0
的极大似然估计 ˆ
L( ) 0 为方程
上海财经大学 统计与管理学院
15
ARCH模型的假设检验
原假设和备择假设分别为 H0 : 1 2 ... q 0 H1 : i 0 检验统计量为
ˆ) 1 L( ˆ) L( ˆ T ( ) I ( )
xt c f1 xt 1
f p xt p t
其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非 参 t 数型的未知函数， 是白噪声序列，模 型记为ANLAR(p)，p为模型的阶数。
上海财经大学 统计与管理学院 10
函数系数自回归模型
上海财经大学 统计与管理学院 13
2r E ( 定理9.1 对于ARCH(1)模型， t ) 存在
的充要条件是r
1r (2 j 1) 1
j 1
定理9.2 ARCH(q)二阶平稳的充要条件是 相应的特征方程的所有根都小于1，此时 平稳序列 t 的无条件方差为
E ( t2 ) 0
函数系数自回归模型为
xt c f1 xt d xt 1 f p xt d xt p t 其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非参
数 0d p 型的未知函数， 为整数，称为滞后 t 数， 是白噪声序列，模型记为FCAR(p)， p为模型的阶数。
xt j xt j k t k il xt l t i
j 1 k 0 i 1 l 1 p q Q P
其中p，q，Q和P是非负整数， t 是白噪声 序列。
上海财经大学 统计与管理学院 8
非参数时间序列模型
非参数自回归模型的一般形式为
上海财经大学 统计与管理学院
4
考虑一个简单的 SETAR2;1,1 模型：
-0.7X t 1 t , Xt 0.7 X t 2 t , X t 1 r X t 1 r
， t ~ N(0,0.52 )
（9.7）
r 分别取 , 1, 0.5,0 四个数值，我们对每个模型分别产生样本长度是
结论。给出如下误差权重递减的 ARCH(4)过程：
t2 0 1(0.4t21 0.3t22 0.2t23 0.1t24 )
（9.35）
q 1 j j 1
上海财经大学 统计与管理学院
14
ARCH模型的极大似然估计
yt xt t ,
T t 1
t 1,2,, T
的对数似然函数为
L( ) log f ( yt xt , Yt 1; )
对数似然函数关于参数的一阶偏导数为
rt wt pt 。Engle 进行了一些试验后，最终建立了如下模型（模型（9.34）中各
参数的 t 检验统计量值分别是：4.5、3.2、3.7、-3.5 和 4.1） ：
t 0.0257 0.334 t 1 0.408 t 4 0.404t 5 0.0559rt 1 t
T T L( ) log f ( yt xt , Yt 1; ) log(2 ) lt ( ) 2 t 1 t 1
T
参数向量 的解。
lt ( ) L( ) T lt ( ) lt ( ) t 1
在 H 0 成立时，统计量 布。
2 有 (q) 极限分
上海财经大学 统计与管理学院
16
ARCH模型的特点
模型中将条件方差 t 表达成过去扰动项的回归函数 形式，形式恰能反映金融市场波动集聚性特点，即较 大幅度的波动后面紧接着较大幅度波动，较小幅度的 波动后面紧接着较小幅度的波动。 ARCH模型的随机误差项 t 服从宽尾的无条件分布， 这恰好能描述金融市场上资产收益率变量是宽尾分布 的特征。 利用ARCH模型可以更精确地估计参数，提高预测精 度。 ARCH模型的特征改善了计量经济模型的预测能力 t ARCH模型中随机误差 是条件分布，从Bayes统计 决策理论上看，可以在经济预测和决策中引入Bayes方 法进行估计和风险决策。
2
上海财经大学 统计与管理学院
17
例9.2
Engle(1982) 利用 ARCH 模型来刻画 1958 年第二季度到 1977 年第二季度期间英 国通货膨胀率中存在的条件异方差性。用 pt 表示英国消费者物价指数的对数， 用 wt 表示名义工资率指数的对数，于是通货膨胀率为 t pt pt 1 ，实际工资为
V a r(t ) 2 0.000089
（9.34）
这个模型的实质是，前一期的实际工资的增长造成了当期通货膨胀的增长，通货 膨胀率在 t 4 和 t 5 期的滞后值是用来反映季节因素的。
上海财经大学 统计与管理学院 18
例9.2
可以看出所有系数的 t 检验统计量绝对值都大于 3， 且一系列的诊断性检验都 没有显示出序列相关性，方差估计量为常数 0.000089。在检验 ARCH 误差时， ARCH(1)误差的拉格朗日乘数检验（LM）并不显著，而对 ARCH(4)误差过程的
非线性时间序
上海财经大学 统计与管理学院
1
§9.1 一般非线性时间序列模型介绍
参数非线性时间序列模型
非参数时间序列模型
上海财经大学 统计与管理学院
2
参数非线性时间序列模型
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型 拟线性自回归模型 指数自回归模型 双线性模型
上海财经大学 统计与管理学院
3
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型
当分割为
R j X 1 ,
, X p : rj X d rj 1 , j 1,
,l
其中 l d p 为某个整数，称此模型为 Self-exciting Threshold Autoregressive Model，其 形式为
xt xt 1 , ,xt p t
(9.22)
t 是白噪 的可测函数， 声 序列。模型(9.22)有如下两种特殊形式。 （1）可加非线性自回归模型 （2）函数系数自回归模型
上海财经大学 统计与管理学院 9
是 其中 R1 Rp 到
可加非线性自回归模型
可加非线性自回归模型为
当 p 0 时 t ARCH( q )， 可以看出 GARCH( p,q )模型具有 ARCH( q ) 模型的特点，能够模拟价格波动的集聚性现象，两者的区别在于 GARCH( p,q )模型的条件方差不仅是滞后扰动平方的线性函数，而且 是滞后条件方差的线性函数；当 p q 0 时， t 退化为白噪声过程。
上海财经大学 统计与管理学院
11
§9.2 条件异方差模型
ARCH模型 GARCH 模型 模型推广形式
上海财经大学 统计与管理学院
12
ARCH模型的定义
ARCH( q )模型定义如下：
t 1, 2, , T yt xβ t ， t
(9.25)
若随机过程 t 的平方 t2 服从 AR( q ) 过程，即
(9.38)
其中 p 0 ， q 0 ，0 0 ，i 0(i 1， 2， ，q) ， i 0(i 1 ， 2， ，p) ； ( B ) 为滞后算子多项式且 (B) 1B 2 B2 p B p 。
上海财经大学 统计与管理学院
21
GARCH模型的特性
其中 f i (i 1,, s) 是 s 个已知的 R p 到 R1 的可测函数， t 是白噪声，
i (i 1,, s) 是未知参数。
上海财经大学 统计与管理学院
6
指数自回归模型
指数自回归模型为
xt 00 0k 1k e
p
k 1 (9.17) 其中 t 是白噪声序列，00 ,0k ,1k (k 1,, p) 和 0 为未知参数，正整数p 为模型的阶数， 模型(9.17)记为EAR(p)。
X t jk X t k I rj X t d rj 1 t
j 1 k 1
l
pj
(9.6)
其中
r1 r2 rl rl 1
整数 d 称为滞后参数， r2 ,, rl 称为门限参数，模型(9.6)记为 SETAR l; p1 ,, pl 模型。
为了保证非负性和平稳性， Engle 选择含有两个参数的方差函数， 给定这组特 殊的递减权重，要满足这两个约束条件，其充分必要条件是 0 0 且 0 1 1 。
上海财经大学 统计与管理学院 19
例9.2
为了估计具有完全效率的这两个模型，Engle 对这两个模型的最大似然估计为：
t 0.0328 0.162t 1 0.264t 4 0.325t 5 0.0707rt 1 t
上海财经大学 统计与管理学院 20
GARCH模型的定义
GARCH( p,q )模型的一般形式为
t t t
0 ( B) ( B) 0
2 t 2 t 2 t i 1 q 2 i t i
(9.37)
i t2i
i 1 p
500 的序列。
(a) 线性 AR(1) (b) TAR， r=-1
上海财经大学 统计与管理学院
5
拟线性自回归模型
拟线性自回归模型为
X t 0 1 f1 X t 1 , , X t p s f s X t 1 , , X t p t
(9.16)
t2 0 1t21 2t22 qt2q t
(9.26)
其中 t 独立同分布，且有 E(t ) 0 ， D(t ) 2 ；0 0 ，i 0 ( i 1, 2, , q )， 则称 t 服从 q 阶的 ARCH 过程，记作 t ~ ARCH( q )。
t2 1.4 10-5 0.955(0.4t21 0.3t22 0.2t23 0.1t24 )
（9.36）
t2 的估计值是 1 步预测误差方差，在通常的显著性水平上，所有系数（除了
通货膨胀率自身的滞后量）都显著。对于一个已知的实际工资值，式（9.36）的 点估计暗示通货膨胀率是一个收敛过程。通过序列 t2 的计算值，Engle 发现， 随着经济从“可预测的 20 世纪 60 年代”转变到“混沌的 20 世纪 70 年代”，通货膨 胀预测的标准离差翻了两倍多，而 0.955 的点估计意味着较长的持续性。
xt21
x
t k
t
上海财经大学 统计与管理学院 7
双线性模型
双线性模型由Granger和Anderson（1978） 提出，并得到进一步研究和发展，Subba Rao和Gabr（1984）讨论了这个模型的一些 性质和应用，Liu和Brockwell（1988）推广 到一般的双线性模型 双线性模型形式
1 2 2 0 ˆ 1 T et T 0 ˆ 0 ˆ T et ˆ ) 2 1 zt ( ) zt ( ) zt ( ) 2 1 zt0 ( 2 t 1 0 t 1 t 1 0
的极大似然估计 ˆ
L( ) 0 为方程
上海财经大学 统计与管理学院
15
ARCH模型的假设检验
原假设和备择假设分别为 H0 : 1 2 ... q 0 H1 : i 0 检验统计量为
ˆ) 1 L( ˆ) L( ˆ T ( ) I ( )
xt c f1 xt 1
f p xt p t
其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非 参 t 数型的未知函数， 是白噪声序列，模 型记为ANLAR(p)，p为模型的阶数。
上海财经大学 统计与管理学院 10
函数系数自回归模型
上海财经大学 统计与管理学院 13
2r E ( 定理9.1 对于ARCH(1)模型， t ) 存在
的充要条件是r
1r (2 j 1) 1
j 1
定理9.2 ARCH(q)二阶平稳的充要条件是 相应的特征方程的所有根都小于1，此时 平稳序列 t 的无条件方差为
E ( t2 ) 0
函数系数自回归模型为
xt c f1 xt d xt 1 f p xt d xt p t 其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非参
数 0d p 型的未知函数， 为整数，称为滞后 t 数， 是白噪声序列，模型记为FCAR(p)， p为模型的阶数。
xt j xt j k t k il xt l t i
j 1 k 0 i 1 l 1 p q Q P
其中p，q，Q和P是非负整数， t 是白噪声 序列。
上海财经大学 统计与管理学院 8
非参数时间序列模型
非参数自回归模型的一般形式为
上海财经大学 统计与管理学院
4
考虑一个简单的 SETAR2;1,1 模型：
-0.7X t 1 t , Xt 0.7 X t 2 t , X t 1 r X t 1 r
， t ~ N(0,0.52 )
（9.7）
r 分别取 , 1, 0.5,0 四个数值，我们对每个模型分别产生样本长度是