昌邑区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昌邑区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
3． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a ﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B ．8
C ．﹣2或8
D ．2或8
4． 已知集合{}
2
|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）
①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5． 已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A ．8 B ．5
C ．9
D ．27
6． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞，
7． 在
中，角
、、
所对应的边分别为、、，若角
、
、
依次成等差数列，且
，
,则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
8． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．
=（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
10．已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
11．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
二、填空题
13．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为1
2
，则该双曲线的离心率为______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
14．已知f （x ）=
，则f[f （0）]= ．
15．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
16．（﹣）0+[（﹣2）3] = ．
17．已知复数，则1+z 50+z 100
= ．
18．在复平面内，复数
与对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
三、解答题
19．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 3
2
=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
20．已知复数z=
．
（1）求z 的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．
21．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
22．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ） （1）求f （1）的值，
（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．
23．计算下列各式的值：
（1）
（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2
．
24．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
昌邑区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：z=
=
=
=
+
i ，
当1+m ＞0且1﹣m ＞0时，有解：﹣1＜m ＜1； 当1+m ＞0且1﹣m ＜0时，有解：m ＞1； 当1+m ＜0且1﹣m ＞0时，有解：m ＜﹣1； 当1+m ＜0且1﹣m ＜0时，无解； 故选：C ．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
2． 【答案】D 【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；
B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
3． 【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A ，|a ﹣5|=3， ∴a=2，或a=8， 故选 D ．
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 5． 【答案】C
【解析】解：令log 2（x 2
+1）=0，得x=0， 令log 2（x 2+1）=1，得x 2
+1=2，x=±1， 令log
2（x 2+1）=2，得x 2
+1=4，x=
．
则满足值域为{0，1，2}的定义域有：
{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，
{0，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，
{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．
则满足这样条件的函数的个数为9．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．
6．【答案】D
【解析】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
7．【答案】C
【解析】
因为角、、依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即，解得
所以，故选C
答案：C
8．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=lnx﹣+1，
∴f′（x）=﹣=，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减； 且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0； 故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．
9． 【答案】 B
【解析】解： =
=
=i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
10．【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 11．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，
过直径BE 上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD 的内切圆的半径为1， 显然当弦为CD 时就是△BCD 的边长，
要使弦长大于CD 的长，就必须使圆心O 到弦的距离小于|OF|， 记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P （A ）=
，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是． 故选C ．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A 对应的集合，利用几何概型公式解答．
12．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
二、填空题
13．1
【解析】
14．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
15．【答案】A
【解析】
16．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
17．【答案】 i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50
=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2
=﹣1．
18．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）依题意知),0(y N ，∵)0,32()0,(3232x x -=-==
，∴),3
1
(y x E 则)1,(-=y x QM ，)1,3
1
(+=y x PE …………2分
∵0=⋅PE QM ，∴0)1)(1(31=+-+⋅y y x x ，即
1322
=+y x ∴曲线C 的方程为13
22
=+y x …………4分
20．【答案】
【解析】解：（1）．
∴=1﹣i．
（2）a （1+i ）+b=1﹣i ，即a+b+ai=1﹣i ，
∴
，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由2
2,4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-， 因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 22．【答案】
【解析】解：（1）在f （）=f （x ）﹣f （y ）中， 令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1）， ∴f （1）=0；
（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6），
∴不等式f （x+3）﹣f （）＜2
等价为不等式f （x+3）﹣f （）＜f （6）+f （6）， ∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6），
即f （
）＜f （6），
∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，
∴
，解得﹣3＜x ＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
23．【答案】
【解析】解：（1）
=…
=
=5…
（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2
=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…
=．…
24．【答案】（1）详见解析；（2）
146
. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分
∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得
2
d =，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC =，
BE =sin d BE θ=
=
.…………15分。