格拉霍夫定理

格拉霍夫定理
格拉霍夫定理（Graeffe's method）是一个计算多项式根的方法，由德国数学家Eduard Heinrich Graeffe于1884年提出。

该定理
可以用于求解任意复系数多项式的根，无论是否有重根。

格拉霍夫定理的核心思想是通过迭代计算来逐步逼近多项式的根。

具体步骤如下：
1. 对于给定的多项式f(x)，构造如下两个递推式：
- g_0 = f(x)
- g_k = \frac{1}{2^n} \left(g_{k-1}^2 - Q_{k-1} \right)，其中 n 是多项式f(x)的次数，Q_{k-1} 是g_{k-1}中的各项系数的平
方和。

2. 重复进行第1步直到g_k(x)的次数小于2。

3. 对于最终的g_k(x)，将其所有非零系数单位化（即除以最高次项的系数），得到格拉霍夫多项式h(x)。

4. h(x)的根的平方就是f(x)的非复根，即实根。

需要注意的是，格拉霍夫定理只能获取多项式的实根，并且无法保证收敛到所有的实根。

此外，对于具有复根的多项式，计算结果可能会产生误差。

尽管格拉霍夫定理在实际计算中已经较少使用，但它对于理解多项式的根的性质以及根的逼近方法具有重要的理论意义。