用斜面倾角的正切值求解落在斜面上的平抛运动问题

用斜面倾角的正切值求解落在斜面上的平抛运动问题
中学物理中，平抛运动是曲线运动的一种典型物理模型。

通常研究平抛运动时，我们将平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动来研究，而平时我们通常会遇到物体作平抛运动时最终撞击斜面的问题，对于这类题学生往往因变量较多，感觉无从下手，或者，偶而有了一点想法，换了一个问法又感觉力不从心。

笔者认为主要原因是学生并没有掌握这类题的解题方法。

解决这类题的解题方法是抓斜面倾角的正切值，只要从这一条主线入手，问题就会迎刃而解。

现举例说明，供同行参考。

例1、如图1所示，以v0=10m/s的初速度水平抛出的物体，不计空气阻力，飞行
一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=300的斜面上。

求物体完成这段飞行所用的时间？
分析与解：由末速度方向可知，此时水平速度
与竖直速度的关系，即
tanθ= v0/ v y，v y = v0/ tanθ
t= v y /g= v0/g tanθ=10/（10×tan300）=1.732s
拓展1：如图2所示，在斜面ABC，B点的正
上方H=1.7m高处的D点以水平初速度v0平
抛一个小球，正好垂直地撞在倾角为θ=370
的斜面上。

求小球从D点水平抛出时的速度大小？
分析与解：设小球从抛出到垂直击中斜面时间为t，
由末速度方向可知，此时水平速度与竖直速度的关系，即tanθ= v0/ v y= v0/gt=3/4 （1）
由平抛运动的竖直位移和水平位移可知，
tanθ=（H-1/2gt2）/ v0t=3/4 （2）
联解（1）（2）两式，可得v0=√9gH/17=3m/s
例2、如图3所示，相对的左、右两个斜面的倾角分别为530和370，在斜面顶点把两个小球以同样大小
的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球均
落在斜面上，若不计空气阻力，则两小球在空
中飞行时间之比为多少？
分析与解：因小球落在斜面上，可知此时竖直位移
和水平位移的关系，设斜面倾角为θ，则
tanθ=y/x=gt2/2v0t=gt/2v0
故t A/t B=tan530/tan370
=16/9
图1
A B C
图2
图3
拓展2：如图4所示，在斜面上的O 点先后以
v 0和2v 0水平抛出A 、B 两小球，则从抛出至
第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能
为： （ ）
（A ）1：2 （B ）1：3
（C ）1：4 （D ）1：5 分析与解：两小球可能全落在斜面上，也可能全落在水平面上，还有可能一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上。

若两小球全落在斜面上，则有tan θ=y /x =gt 2/2v 0t=gt/2v 0
t=2 v 0tan θ/g
x= v 0t=2 v 02tan θ/g
x 1：x 2=1：4
若两小球全落在水平面上，则有x= v 0t= v 0√2h/g x 1：x 2=1：2
若一个球落在斜面上，另一个球落在水平面上，则1/2> x 1：x 2>1/4
故本题应选（A ）、（B ）、（C ）。

例3、如图5所示，斜面的倾角θ=300，一小球从斜面顶点以v 0=10m/s 的初速度做平抛运动，若不计空气阻力且斜面足够长。

求从抛出开始经过多少时间，小球离斜面的距离
最大，最大值为多少？
分析与解：当小球的速度与斜面平行时小球离斜面最远，
可知，此时水平速度与竖直速度的关系，即
tan θ= v y / v 0 ，v y = v 0 tan θ
t= v y /g= v 0 tan θ/g =10×tan300/10=0.577s
本题也可取沿斜面向下方向为x 轴，垂直于斜面斜向上的方向为y 轴，则沿y 方向的初速度为v 0， = v 0 sin θ ，加速度为a ，=-gcos θ，做类竖直上抛运动，到离斜面最远所需的时间为t= v 0
，/- a ，= v 0 sin θ/ gcos θ= v 0 tan θ/g =10×tan300/10=0.577s
离斜面的最大距离为H= v 0，2/-2 a ，=（ v 0 sin θ）2/ 2gcos θ
=（10×sin300）2/（2×10cos300）=1.44m
拓展3：如图6所示，以v 0的初速度水平抛
出的物体，不计空气阻力，飞行一段时间后，
撞在倾角为θ的斜面上。

试证明物体撞在斜面上时的速度v 与斜面之间的夹角为一常数。

图4
图5 图6
分析与解：设撞在斜面上时，速度与竖直方向之间的夹角为α，则有tanα= v0/ v y = v0/ gt= v0t/ gt2=x/2y=1/2ctgθ
可见，速度与竖直方向之间的夹角为常数，而斜面与竖直方向的夹角也是一个定值，故得证物体撞在斜面上时的速度v与斜面之间的夹角为一常数。

从上述例子可看出，落在斜面上的平抛运动问题，斜面倾角的正切值可能跟水平速度和竖直速度有关，也可能跟水平位移和竖直位移有关，只要你寻找到这一关系，也就找到了解决问题的突破口。