石家庄市第二十二中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习卷(提高培优)

一、选择题
1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（ ）
A ．13
B ．13或17
C ．17
D ．20C
解析：C
【分析】
根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a 和b 的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；
【详解】
∵ ()2370a b -+-=， ∴ a=3，b=7，
若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；
若腰为7时，则周长为7+7+3=17，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；． 2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ． D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，
PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．1cm B
解析：B
【分析】 过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．
【详解】
解：过P 作PC ⊥MN ，
∵PM=PN ，
∴C 为MN 中点，即MC=NC=
12MN=1， 在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= 12
OP=4， 则OM=OC-MC=4-1=3cm ，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
4．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b --=，则它的周长是（ ） A ．17
B ．13或17
C ．13
D ．19A
解析：A
【分析】
根据绝对值和二次根式的性质求出a ，b ，再根据等腰三角形的性质判断即可；
【详解】 ∵7260a b -+-=，
∴70260a b -=⎧⎨-=⎩
， 解得73a b =⎧⎨=⎩
， ∵a ，b 是等腰三角形的两边，
∴当7a =为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，
此时三角形的周长77317++=；
当3b =为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17．
故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．
5．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①②③④C
解析：C
【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．
【详解】
解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠CEF ，
∴∠AEF ＝∠AFE ，
∴AE ＝AF ，故①正确，
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
AE AF AB AG
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，
∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，
∴CE ＝AF ，故③正确；
∵AE ＝AF ，
∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；
故选C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）
A ．2
B ．1.5
C ．1
D ．2.5C
解析：C
【分析】
延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．
【详解】
解：延长BD 与AC 交于点E ，
∵∠A=∠ABD ，
∴BE=AE ，
∵BD ⊥CD ，
∴BE ⊥CD ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD=∠ECD ，
∴∠EBC=∠BEC ，
∴△BEC 为等腰三角形，
∴BC=CE ，
∵BE ⊥CD ，
∴2BD=BE ，
∵AC=6，BC=4，
∴CE=4，
∴AE=AC-EC=6-4=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
7．若海岛N位于海岛M北偏东30°的方向上，则从海岛N出发到海岛M的航线可能是（）
A．B．
C．D． D
解析：D
【分析】
根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．
【详解】
解：如图：
∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，
故选D．
【点睛】
本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．
8．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．7cm
D ．8cm D
解析：D
【分析】 要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N 运动的时间为x 秒．
【详解】
设M 、N 运动的时间为x 秒．
当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．
∴腰长为5 1.68cm ⨯=
故选D ．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．
9．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）
A ．A
B 与CD 互相垂直平分
B ．CD 垂直平分AB
C ．C
D 平分ACB ∠
D ．AB 垂直平分CD D
解析：D
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
∵AC AD =，BC BD =，
∴AB 垂直平分CD ，
故D 正确，A 、B 错误，
OC 不平分∠ACB ，故C 错误，
故选：D ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
10．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 的垂直平分线EF 交AB 于点D ，连接CD ，如果CD ＝6，那么AB 的长为（ ）
A ．6
B ．3
C ．12
D ．4．5C
解析：C
【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B ，由
∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD ，DA=DC=6，则AB=AD+DB 便可求出．
【详解】
∵EF 是线段BC 的垂直平分线，DC =6，
∴DC=DB=6，
∴∠DCB=∠B ，
又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ACD ，
∴DA=DC=6，
∴AB=AD+DB=6+6=12．
故选：12．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．
14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案
【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对
解析：14
【分析】
根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．
【详解】
由折叠得：AD=BD ，
∵6cm AC =，8cm BC =，
∴ACD △的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm ，
故答案为：14．
【点睛】
此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．
12．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）
解析：9
【分析】
分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．
【详解】
分两种情况：
当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=
1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．
13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA
为半径的圆与x轴的交点共有2
解析：90°，45°，135°
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．
综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．14．若点A（1＋m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m＋n）2020的值是
_____．1【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A（1+m1-n）与点B（-32）关于y轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m＋n）202
解析：1
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．【详解】
解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1-n=2，
∴m=2，n=-1，
∴（m＋n）2020=（2-1）2020=1；
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
15．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题
解析：9
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．
解得x＝4，y＝5，
x+y=4+5=9，
故答案为：9
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数是_____．
3【分析】根据等边三角形的性质可得
AB=AC∠BAE=∠C=60°再利用边角边证明△ABE和△CAD全等然后得到∠1=∠2结合角的关系得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质得到BP＝2PQ
解析：3
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD 全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质，得到BP＝2PQ；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．
【详解】
证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE 和△CAD 中，
60AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CAD （SAS ），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ ⊥AD ，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ ．故③正确，
∵AC=BC ．AE=DC ，
∴BD=CE ，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB ，故④正确，
无法判断BQ=AQ ，故②错误，
∴正确的有①③④，共3个；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则
1010A B O ∠=___________．
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α
表示出∠A2B2O 依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O ＝α∴∠A2B2Oα同理∠A3B3O ∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα 解析：
512
α． 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．
【详解】
解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，
∴∠A 2B 2O 12
=α，
同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 3
12=α， ∴∠A n B n O 1
12n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα=
=． 故答案为：
512
α． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
18．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．
【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根
据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于
H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB
解析：12
a 【分析】
作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．
【详解】
解：作DH ⊥AB 于H ，
∵15DBE BDE ∠=∠=︒
∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==
∴DH=
11=22
DE a ， ∵DE ∥BC ，
∴∠DBF=∠BDE ，
∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH=12
a ， 故答案为：
12a ． 【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．
或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时
△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关 解析：()4,3-或()4,2-
【分析】
分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
分两种情况：
当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，
∵点A 、B 在y 轴上，
∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，
∵C （4,3），
∴D （-4,3）；
当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，
作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，
∴△ADE ≌△BCF ，
∴AE=BF=4-3=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，
∴D （-4,2），
故答案为：()4,3-或()4,2-
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
20．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．
100【分析】连接AO 延长交BC 于D 根据线段垂直平分线的性
质可得OB=OA=OC 再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A 即可求解【详解】解：连接AO 延长交BC 于D ∵O 为△A 解析：100
【分析】
连接AO 延长交BC 于D ，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC ，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A ，即可求解．
【详解】
解：连接AO 延长交BC 于D ，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC ，
∴∠OBA=∠OAB ，∠OCA=∠OAC ，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB ，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC ，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC ，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
三、解答题
21．如图，以△ABC的两边AB和AC为腰在△ABC外部作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）连接BE、CD交于点F，如图①，求证：BE＝CD，BE⊥CD；
（2）连接DE，AM⊥BC于点M，直线AM交DE于点N，如图②，求证：DN＝EN．
解析：（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）只要证明△ABE≌△ADC即可解决问题；
△≌△，再证
（2）延长AN到G，使AG=BC，连接GE，先证AEG CAB
GE
△≌△即可解决问题．
ADN N
【详解】
（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AE=AC，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，
又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，
∴∠ABE+∠DOF=90°
∴∠ADC+∠DOF=90，
即BE ⊥DC ．
（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，
AM BC ⊥，
AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，
90NAE MAC ∠+∠=︒，
ACM=NAE ∴∠∠，
同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，
∴()AEG CAB SAS △≌△，
GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，
DAN G ∴∠=∠，
又NA=GNE D ∠∠，
∴GE ADN N △≌△，
DN=EN ∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．
22．如图，在ABC ∆中，已知D 是BC 的中点，过点D 作BC 的垂线交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ．
（1）求证：BF=CG；
（2）若AB=12，AC=8，求线段CG的长．
解析：（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF=CG；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=AG，求得AG=10，于是得到结论．
【详解】
（1）连接EC、EB．
∵AE是∠CAB的平分线，
EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴EG=EF，
又∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，
∴Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），
∴BF=CG；
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，
AE AE EF EG
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴△AEF≌△AEG（HL），
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AG，
∵AB=12，AC=8，
∴AG=10，
∴CG=AG-AC=2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意全等三角形的判定和性质的灵
活应用以及与角平分线的性质的联系是本题的关键．
23．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆
（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）40°
【分析】
（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．
【详解】
解：()11=2∠∠，
BED AEC ∠=∠∴
又,A B AE BE ∠=∠=
()AEC BED ASA ∴∆≅∆；
()2AEC BED ∆≅∆
70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=
70C EDC ︒∴∠=∠=
118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．
24．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．
(1)求证：△ACD 为等腰三角形．
(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．
解析：（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；
（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠DBC ，
∴∠ADB=∠ABD ，
∴AB=AD ，
∵AB =AC ，
∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，
∴∠ADB=∠ABD=
1802
BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，
∵AB =AC ，
∴∠ACB=∠ABC=40°,
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠ACB=40°,
∵AC=AD ， ∴180702
DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠=
=︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．
25．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在线段BC 上，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥交AD 于点E ，过点B 作BF CE ⊥，交CE 的延长线于点F ，点G 是AB 的中点，连接GE ，GF ．
（1）若30CAD ∠=︒，5AD =，求DE 的长度； （2）求证：GE GF =．
解析：（1）
54；（2）见详解 【分析】
（1）先求出∠DCE=30°，根据直角三角形的性质，可得CD=12AD ，DE =12CD ，进而即可求解；
（2）连接CG ，先证明∆BFC ≅
∆CEA ，从而得BF=CE ，结合等腰直角三角形的性质，得CG=BG ，CG ⊥AB ，进而证明∆GCE ≅∆GBF ，即可得到结论．
【详解】
（1）∵CE AD ⊥，30CAD ∠=︒，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠DCE=30°，
∵5AD =，
∴CD=12AD=52
，DE =12CD=54； （2）连接CG ，
∵CE AD ⊥，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF ，
∵BF CE ⊥，
∴∠BFC=∠CEA=90°，
又∵AC BC =，
∴∆BFC ≅∆CEA （AAS ），
∴BF=CE ，
∵点G 是AB 的中点，
∴CG=BG ，CG ⊥AB ，
∴∠CGB=∠BFC=90°，
∴∠GCE=∠GBF ，
∴∆GCE ≅∆GBF ，
∴GE GF =．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握AAS 证明全等三角形以及等腰直角三角形的性质，是解题的关键．
26．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，
ADE BCF ∠=∠．
（1）求证：ADE BCF ≌；
（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．
解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．
【分析】
（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；
（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD ，
∴AC+CD=BD+CD ，
∴AD=BC ，
在△ADE 和△BCF 中，
A B AD BC
ADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；
（2）∵△ADE ≌△BCF ，
∴∠ADE=∠BCF ，
∴4DG CG ==，
∵9DE =，
∴5EG DE DG =-=．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．
27．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
解析：（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S
S =, ∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
28．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC 是格点三角形，点B 的坐标为（﹣5，1），点C 的坐标为（﹣4，5）．
（1）请在方格纸中画出x 轴、y 轴，并标出原点O ；
（2）画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；C 1的坐标为
（3）若点P （a ，b ）在△ABC 内，其关于直线l 的对称点是P 1，则P 1的坐标是 ．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（0，5）；（3）（﹣a ﹣4，b ）
【分析】
（1）利用A 、C 点的坐标画出直角坐标系；
（2）利用网格点和对称的性质画出A 、B 、C 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1即可； （3）先把P 点向右平移2个单位（a+2，b ）（相当于把直线l 右平移2个单位），点（a+2，b ）关于y 轴的对称点为（-a-2，b ），然后把（-a-2，b ）向左平移2个单位，相当于把直线l 向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P 1的坐标为（-a-2-2，b ）．
【详解】
解：（1）如图，就是所求作的坐标轴与原点；
（2）如图，△A1B1C1为所作的三角形；
C1的坐标为：（0，5）；
（3）先把P点向右平移2个单位（a+2，b）（相当于把直线l右平移2个单位），点
（a+2，b）关于y轴的对称点为（-a-2，b），然后把（-a-2，b）向左平移2个单位，相当于把直线l向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P1的坐标为（-a-2-2，b）．
∴P1的坐标是（﹣a﹣4，b）．
【点睛】
本题考查了作图——轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，。