2020北京四中初二(上)期中数学(教师版)
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也就是说，只需用 中的一次项系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中的一次项系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数，可以先用 的一次项系数1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2， 的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2 的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列变形属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（ ）
A.（4，4）B.（﹣2，﹣2）C.（2，4）D.（3，4）
B．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关析】
【分析】
根据题意及幂的运算法则即可求解．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
24.阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式 一次项系数.
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
28.小明同学研究如下问题：
从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：
探究一：
（1）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
5.电子文件的大小常用 等作为单位，其中 ，某视频文件的大小约为 等于( )
A. B. C. D.
6.已知 ，则a2+4b2的值是（）
A. B. C. D.
7.如图所示，图 是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）
2020北京四中初二（上）期中
数学
考生须知：1.本试卷满分100分；考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
三．解答题
19.分解因式：
（1） ；
（2） ．
20.计算：
（1）
（2） ；
（3） ；
（4） ．
21.先化简，再求值： ，其中
22.如图， ， 和 相交于点 ， ．求证： ．
23.小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图， ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 ．
求作：线段OB上的一点C，使 的周长等于线段 的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即 得周长等于OB的长，那么由 ，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 ，那么就可以得到 ．
若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
探究三：从 ，…， 为整数，且 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有________________种不同的结果．
归纳结论：从 ，…， 为整数，且 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有___________种不同的结果．
拓展延伸：从 ，…， 这 个整数中任取_______________个整数，使得取出的这些整数之和共有 种不同的结果？（写出解答过程）
（3）以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ；
（4）以 为圆心， 为半径作弧，交前面的弧于 ；
（5）连接 作射线 则 就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（）
A. B. C. D.
10.△BDE和△FGH是两个全等 等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
【详解】依题意得 =
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【详解】解：∵a-2b=10，ab=5，
∴a2+4b2=（a-2b）2+4ab=102+4×5=120．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
（2）求证： ．
（3）如图2， 与 交于点 ，当 是 的中点时，翻折 得到 ，连接 求证： 两点到直线 的距离相等．
附加题
26.若 正奇数，则 _________________ (底数中含k个k)；若 为正偶数，则 _________________ (底数中含k个k)；
27.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）．
（1）表中 的值为___________________；
（2）当 ______________时， 有最小值，最小值是________________；
（3） ___________ ．（填 ）
16.已知等腰三角形一个外角的度数为 ，则顶角度数为____________.
17.已知锐角 如图
（1）在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧 ，交射线 于点 ，连接 ；
（3）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有_种不同的结果．
（4）从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有__种不同的结果．
探究二：（1）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有__________种不同的结果．
（2）从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有_________种不同的结果．
A. B. C. D.
8.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合 三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
9.我们利用尺规作图可以作一个角 等于已知角 ，如下所示：
（1）作射线 ；
（2）以 为圆心，任意长为半径作弧，交 于 ，交 于 ；
A.△ABC的周长B.△AFH的周长
C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长
二、填空题（每题2分，共16分）
11.分解因式： _____________________．
12.在正方形网格中， 的位置如图所示，则点 中在 的平分线上是______________点．
13.若3x+2y﹣2=0，则 等于_____．
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.【答案】D
【解析】
【分析】
利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；
7.【答案】C
【解析】
【分析】
中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a-b，
则面积是（a-b）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
8.【答案】D
【解析】
分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方法则对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A、a3•a2=a5，所以A选项不正确；
29.如图， 中， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）判断 的形状，并证明；
（3）请问在直线 上是否存在点 ，使得 成立？若存在，请用文字描述出点 的准确位置，并画图证明：若不存在，请说明理由．
2020北京四中初二（上）期中数学
参考答案
B、 ，所以B选项正确；
C、 ，所以C选项不正确；
D、 ，所以D选项不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n为正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
所取的 个整数
个整数之和
如上表，所取的 个整数之和可以为 ，也就是从 到 的连续整数，其中最小是 最大是 所以共有 种不同的结果．
（2）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
所取 个整数
个整数之和
如上表，所取的 个整数之和可以为 ，也就是从 到 的连续整数，其中最小是 ，最大是 ，所以共有 种不同的结果．
14.如图,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E、F,并连接AE、AF.根据图中标示的角度,则∠EAF=__________°.
15.已知关于 的代数式 ，设代数式的值为 ，则 ．下表中列出了当 分别取…， …， …时对应的 值．
···
···
···
···
···
···
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算 所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若 是 的一个因式，求 、 的值.
25.如图1，点 是等腰三角形 外一点， 过点 作 于点 ．
（1）依据题意，补全图形．
（2）分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 连接 ；
（3）作射线 交 于点 ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
； ； ；
18.如图，已知每个小方格的边长为 两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点 ，使 为等腰三角形，则这样的格点 有_________________个．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数，可以先用 的一次项系数1， 的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项系数2， 的常数项2， 的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项系数3， 的常数项2 的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列变形属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（ ）
A.（4，4）B.（﹣2，﹣2）C.（2，4）D.（3，4）
B．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关析】
【分析】
根据题意及幂的运算法则即可求解．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
24.阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算 所得多项式 一次项系数.
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
28.小明同学研究如下问题：
从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：
探究一：
（1）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
5.电子文件的大小常用 等作为单位，其中 ，某视频文件的大小约为 等于( )
A. B. C. D.
6.已知 ，则a2+4b2的值是（）
A. B. C. D.
7.如图所示，图 是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）
2020北京四中初二（上）期中
数学
考生须知：1.本试卷满分100分；考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
三．解答题
19.分解因式：
（1） ；
（2） ．
20.计算：
（1）
（2） ；
（3） ；
（4） ．
21.先化简，再求值： ，其中
22.如图， ， 和 相交于点 ， ．求证： ．
23.小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图， ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 ．
求作：线段OB上的一点C，使 的周长等于线段 的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即 得周长等于OB的长，那么由 ，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 ，那么就可以得到 ．
若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
探究三：从 ，…， 为整数，且 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有________________种不同的结果．
归纳结论：从 ，…， 为整数，且 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有___________种不同的结果．
拓展延伸：从 ，…， 这 个整数中任取_______________个整数，使得取出的这些整数之和共有 种不同的结果？（写出解答过程）
（3）以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ；
（4）以 为圆心， 为半径作弧，交前面的弧于 ；
（5）连接 作射线 则 就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（）
A. B. C. D.
10.△BDE和△FGH是两个全等 等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
【详解】依题意得 =
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【详解】解：∵a-2b=10，ab=5，
∴a2+4b2=（a-2b）2+4ab=102+4×5=120．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
（2）求证： ．
（3）如图2， 与 交于点 ，当 是 的中点时，翻折 得到 ，连接 求证： 两点到直线 的距离相等．
附加题
26.若 正奇数，则 _________________ (底数中含k个k)；若 为正偶数，则 _________________ (底数中含k个k)；
27.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）．
（1）表中 的值为___________________；
（2）当 ______________时， 有最小值，最小值是________________；
（3） ___________ ．（填 ）
16.已知等腰三角形一个外角的度数为 ，则顶角度数为____________.
17.已知锐角 如图
（1）在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧 ，交射线 于点 ，连接 ；
（3）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有_种不同的结果．
（4）从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有__种不同的结果．
探究二：（1）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有__________种不同的结果．
（2）从 ，…， 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有_________种不同的结果．
A. B. C. D.
8.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合 三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. AASD. ASA
9.我们利用尺规作图可以作一个角 等于已知角 ，如下所示：
（1）作射线 ；
（2）以 为圆心，任意长为半径作弧，交 于 ，交 于 ；
A.△ABC的周长B.△AFH的周长
C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长
二、填空题（每题2分，共16分）
11.分解因式： _____________________．
12.在正方形网格中， 的位置如图所示，则点 中在 的平分线上是______________点．
13.若3x+2y﹣2=0，则 等于_____．
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.【答案】D
【解析】
【分析】
利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；
7.【答案】C
【解析】
【分析】
中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a-b，
则面积是（a-b）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
8.【答案】D
【解析】
分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方法则对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A、a3•a2=a5，所以A选项不正确；
29.如图， 中， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）判断 的形状，并证明；
（3）请问在直线 上是否存在点 ，使得 成立？若存在，请用文字描述出点 的准确位置，并画图证明：若不存在，请说明理由．
2020北京四中初二（上）期中数学
参考答案
B、 ，所以B选项正确；
C、 ，所以C选项不正确；
D、 ，所以D选项不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n为正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
所取的 个整数
个整数之和
如上表，所取的 个整数之和可以为 ，也就是从 到 的连续整数，其中最小是 最大是 所以共有 种不同的结果．
（2）从 这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有多少种不同的结果？
所取 个整数
个整数之和
如上表，所取的 个整数之和可以为 ，也就是从 到 的连续整数，其中最小是 ，最大是 ，所以共有 种不同的结果．
14.如图,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB、AC为对称轴,画出对称点E、F,并连接AE、AF.根据图中标示的角度,则∠EAF=__________°.
15.已知关于 的代数式 ，设代数式的值为 ，则 ．下表中列出了当 分别取…， …， …时对应的 值．
···
···
···
···
···
···
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算 所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算 所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若 是 的一个因式，求 、 的值.
25.如图1，点 是等腰三角形 外一点， 过点 作 于点 ．
（1）依据题意，补全图形．
（2）分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 连接 ；
（3）作射线 交 于点 ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
； ； ；
18.如图，已知每个小方格的边长为 两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点 ，使 为等腰三角形，则这样的格点 有_________________个．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．