安徽省六安市2019届高三上第三次统考期中数学文科试卷(有答案)

2019届高三上学期第三次统考（期中）
高三文数
第I 卷（选择题）
一、单选题选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知集合{}()(){}
2|4,|310M x x N x x x =<=-+< ,则集合M N ⋂
（）
A ．{}|2x x <-
B ．}3|{>x x
C ．{}|12x x -<<
D ．{}|23x x << 2．“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的
（）
A ．充分而不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时,x x x f -=2
2)(， 则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为 （）
A ．6
B ．4
C ．5
D ．7
4. 已知函数q px x x f ++=2
)(与函数(())y f f x =有一个相同的零点，则p 与q
( )
A.均为正值
B.均为负值 C ．一正一负 D.至少有一个等于0
5．在平行四边形ABCD 中，=，2,==,则=
（）
A ．a b 3
1-
B ．a b 32-
C ．a b 3
4- D ．a b 31+
6．若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α=
（）
A ．43-
B ．34
C ．3
4
- D ．43
7．函数x x y 2sin 2cos -=的一条对称轴方程为
（）
A ．4
π
=
x B ．8
π
=
x C ．8
π
-
=x D ．4
π
-
=x
8．将函数)0)(4
sin(2)(>+
=ωπ
ωx x f 的图象向右平移
ω
π
4个单位长度，得到函数 ()x g y =的图象，若()x g y =在)4
,6(π
π-
上为增函数，则ω的最大值为（）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．6
9．在ABC ∆中，已知3,1|,|||==-=+AC AB ，N M ,分别为BC 的三等 分点，则=⋅AN AM ( ) A ．
910 B ．9
20 C ．98 D ．38 10．已知函数x
x
x f -=1ln
)(.若)(0)()(b a b f a f <=+，则22b a +的取值范围是（） A ．)1,2
1(
B ．)1,21[
C ．]1,2
1(
D ．]1,2
1[
11. 已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4
π
=
x 处取得最大值，则函数
)4
(
x f y -=π
是（）
A ． 偶函数且它的图象关于点），（0π对称
B ．偶函数且它的图象关于点），（023
π对称 C ．奇函数且它的图象关于点），（02
3π对称 D ．奇函数且它的图象关于点），（0π对称 12．已知函数()e
x a
f x x -=+，()()ln 24e
a x
g x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若
存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（） A ．ln21- B ．ln21-- C ．ln2-
D ．ln2
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）
13．命题“2
,40x R x x ∀∈-+>”的否定是.
14.．函数R x x f x ∈=-，|1|)3
1()(的单调递增区间为. 15．已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，x
x x f 4
)(+
=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是____________．
16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，
4
sin 5
A =
，则对角线AC 的最大值为____________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的
相应位置上）
17．（本题满分10分）已知R a ∈，函数52)(2
+-=ax x x f .
（1）若不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，求实数a 的最值范围； （2）若1>a ，且函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值.
18．（本题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，4
1
cos ,2==A b a . （1）求B sin 的值；
（2）若ABC ∆的面积为15，求c 的值.
19．（本题满分12分）已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f
（1）当)2
,0(π
∈x 时，求函数)(x f 的值域；
（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求12
2cos(π-x ）的值．
20．(本小题满分12分)已知函数x ax
x
x f ln 1)(+-=
（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数a
x
x f x g -=)()(在区间)2,1(上不单调，求实数a 的取值范围．
21．（本题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为23
，长轴的一个顶点为A ，
短轴的一个顶点为B ，O 为坐标原点，且5=∆OAB S .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线m x y l +=:与椭圆C 交于Q P ,两点，且直线l 不经过点)1,4(M .记直线
MQ MP ,的斜率分别为21,k k ，试探究21k k +是否为定值.若是，请求出该定值，若
不是，请说明理由.
22．（本题满分12分）已知函数)(ln )(2
R a x ax x x f ∈++=. （1）讨论函数)(x f 在]2,1[上的单调性； （2）令函数 718.2),()(21
=-++=-e x f a x e
x g x 是自然对数的底数，若函数)(x g 有且
只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.
舒城中学2018-2019学年度高三年级统考四
文科数学
（满分：150分考试时间：120分钟）
第I 卷（选择题）
一、单选题选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知集合{}()(){}
2|4,|310M x x N x x x =<=-+< ,则集合M N ⋂（） A ．{}|2x x <- B ．}3|{>x x C ．{}|12x x -<< D ．{}|23x x << 2．“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时,x x x f -=2
2)(， 则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．7
4.已知函数q px x x f ++=2
)(与函数(())y f f x =有一个相同的零点，则
p 与q ( )
A.均为正值
B.均为负值 C ．一正一负D.至少有一个等于0 5．在平行四边形ABCD 中，a AB =，EC DE b AC 2,==,则=（ ） A ．31-
B ．32-
C ．3
4-D ．31+ 6．若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan2α=（ ） A ．43-
B ．34
C ．3
4
- D ．43
7．函数x x y 2sin 2cos -=的一条对称轴方程为（ ） A ．4
π
=
x B ．8
π
=
x C ．8
π
-
=x D ．4
π
-
=x
8．将函数)0)(4
sin(2)(>+
=ωπ
ωx x f 的图象向右平移
ω
π
4个单位长度，得到函数 ()x g y =的图象，若()x g y =在)4
,6(π
π-
上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．3 D ．6
9．在ABC ∆中，已知3,1|,|||==-=+AC AB ，N M ,分别为BC 的三等
分点，则=⋅( ) A ．
910B ．9
20C ．98D ．38 10．已知函数x
x
x f -=1ln
)(.若)(0)()(b a b f a f <=+，则22b a +的取值范围是（ ） A ．)1,21(B ．)1,2
1[C ．]1,2
1(D ．]1,2
1[
11.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4
π
=
x 处取得最大值，则函数
)4
(
x f y -=π
是（ ）
A ．偶函数且它的图象关于点），（0π对称
B ．偶函数且它的图象关于点），（02
3π对称 C ．奇函数且它的图象关于点），（02
3
π对称 D ．奇函数且它的图象关于点），（0π对称 12．已知函数()e
x a
f x x -=+，()()ln 24e
a x
g x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若
存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21- B ．ln21-- C ．ln2- D ．ln2
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）
13．命题“2
,40x R x x ∀∈-+>”的否定是. 14.函数R x x f x ∈=-，|1|)3
1()(的单调递增区间为. 15．已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，x
x x f 4
)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)( 恒成立，则n m -的最小值是________．
16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，
4
sin 5
A =
，则对角线AC 的最大值为__________． 三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）
17．（本题满分10分）已知R a ∈，函数52)(2
+-=ax x x f .
（1）若不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，求实数a 的最值范围；
（2）若1>a ，且函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值.
18．（本题满分12分）已知c b a ,,分别是ABC ∆内角C B A ,,的对边，4
1
cos ,2==A b a . （1）求B sin 的值；
（2）若ABC ∆的面积为15，求c 的值.
19．（本题满分12分）已知函数3cos 22sin 3)(2++=x x x f
（1）当)2
,0(π
∈x 时，求函数)(x f 的值域；
（2）若528)(=x f ，且)125,6(ππ∈x ，求12
2cos(π-x ）的值．
20．(本小题满分12分)已知函数x ax
x
x f ln 1)(+-= （1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数a
x
x f x g -=)()(在区间)2,1(上不单调，求实数a 的取值范围．
21．（本题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为23
，长轴的一个顶点为A ，
短轴的一个顶点为B ，O 为坐标原点，且5=∆OAB S . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线m x y l +=:与椭圆C 交于Q P ,两点，且直线l 不经过点)1,4(M .记直线
MQ MP ,的斜率分别为21,k k ，试探究21k k +是否为定值.若是，请求出该定值，若
不是，请说明理由.
22．（本题满分12分）已知函数)(ln )(2
R a x ax x x f ∈++=. （1）讨论函数)(x f 在]2,1[上的单调性； （2）令函数 718.2),()(21
=-++=-e x f a x e
x g x 是自然对数的底数，若函数)(x g 有且
只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.
文科数学统考四参考答案
1．C 2．C 3．D 4． D 5．C6．D 7．C8．A 9．B10．A11．B12．B
13．2
000,40x R x x ∃∈-+≤14．)1,∞-（15．116．27
17．（1）)5(，-∞错误！未找到引用源。

；（2）2=a . 【解析】
试题分析：（1）根据题意，若不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，参编分离后即可得：x
x a 5
2+
<，从而问题等价于求使x x a 5
2+<对于任意0>x 恒成立的a 的范围，而52525=⋅≥+x
x x x ，当且仅当5=
x 时，“=”成立，故实数a 的取值范围是)5(，-∞；（2）由题意可得)(x f 为二次函数，其
对称轴为a x =，因此当],1[a x ∈时，可得其值域应为)]1(),([f a f ，从而结合条件)(x f 的定义域和
值域都是],1[a 可得关于a 的方程组⎩⎨⎧=+-==+-=a
a f a a a f 521)1(1
52)(22，即可解得2=a .
试题解析：（1）∵52)(2
+-=ax x x f ，∴0)(>x f 可变形为：x x a 5
2+<，而52525=⋅≥+x
x x x ，当且仅当5=
x 时，“=”成立，∴要使不等式0)(>x f 对任意0>x 恒成立，只需5<a ，即实数a
的取值范围是)5(，-∞；
（2）∵52)(2
+-=ax x x f ，∴其图像对称轴为)1(>=a a x ，根据二次函数的图像，可知)(x f 在
],1[a 上单调递减，∴当],1[a x ∈时，其值域为)]1(),([f a f ，又由)(x f 的值域是],1[a ，
∴2521)1(1
52)(22=⇒⎩⎨
⎧=+-==+-=a a
a f a a a f . 考点：1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域.
18．(1);(2)4.
【解析】分析：先根据
，求得sinA 的值，再结合正弦定理求解即可；（2）先由cosA 的余弦定
理可得c ，b 的关系，然后根据三角形面积公式即可求得c. 详解：
（1）由得，
由及正弦定理可得.
（2）根据余弦定理可得，
代入得，整理得，即，解得，∴
，解得.
点睛：考查正余弦定理解三角形的应用，三角形面积公式，对定理公式的灵活运用是解题关键，属于基础题.
19．（1）)(x f 的值域是（3，6]
（2）10
2
22)62sin(22)6
2cos(]4
)6
2cos[()12
2cos(=⋅++⋅
+
=-
+
=-
ππ
π
π
π
x x x x 【解析】由已知.4)6
2sin(242cos 2sin 33cos 22sin 3)(2++
=++=++=π
x x x x x x f
当)2
,
0(π
∈x 时，]1,2
1
()62sin(),67,6(6
2-∈+∈+
ππππx x 故函数，)(x f 的值域是（3，6]
（II ）由528)(=x f ，得5284)62sin(2=++πx ，即5
4)62sin(=+πx 因为125,
6(
π
π∈x ），所以53
)62cos(-=+
πx 故10
2
22)62sin(22)6
2cos(]4
)6
2cos[()12
2cos(=⋅++⋅
+
=-
+
=-
ππ
π
π
π
x x x x 20.【答案】解:（１）当1=a 时，x x x x f ln 1)(+-=
，)0(1
)('2>-=x x
x x f --------２分 令100)('10)('<<<>>x x f x x f 得；令得------------------------ 4分 )(x f 的单调减区间为)1,0( ,
)(x f 的单调增区间为),1(+∞ ------------------------------------------------------６分
（２）a
x x ax x a x x f x g -+-=-
=ln 1)()( 2
21
)('ax
ax x x g +--= ------------------------------------------------------
８分
因为函数)(x g 在区间)2,1(上不单调
所以方程012=+-ax x 在区间)2,1(上有根， 即方程x
x a 1
+=在区间)2,1(上有根 所以2
5
2<
<a ---------------------------
12分
（注：对于不同解法，请酌情给分） 【解析】略
21．(1) ;(2) 为定值，该定值为0.
【解析】试题分析：(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示，即可得
到定值.. 试题解析：
（Ⅰ）由题意知，，解得，
故椭圆的方程为
（Ⅱ）结论：，证明如下：
设
，
联立，得
，
，解得
，
.
，
.
综上所述，为定值，该定值为0.
22．（1）当时，在上单调递增；当或时，在上单调递
增, 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在
上单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区
间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）根据函数的单调性求出在上有唯一
零点，由已知函数有且仅有一个零点，则，得，令
，故，利用导数研究函数的单调性，求出零点的分布情况，从而可求出的取值范围即可.
【详解】
（1）由已知，且,
①当时，即当时，,
则函数在上单调递增.
②当时，即或时，有两个根，
，因为，所以,
1°当时，令，解得,
当或时，函数在上单调递增,
2°当时，令，，
解得,
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
3°当时，令，解得,
当时，函数在上单调递减.
（2）函数,
则,
则，所以在上单调增,
当，所以
所以在上有唯一零点,
当，所以为的最小值由已知函数有且只有一个零点，则
所以则
则，得,
令，所以
则，所以,
所以在单调递减，
因为,
所以在上有一个零点，在无零点,
所以 .
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。