特训01 实数 压轴题(解析版)

特训01 实数 压轴题
一、解答题
1．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘a a ×¼，记为n a ．如322228´´==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8（即
2log 83＝）．一般地，若n a b ＝（0a >且1a ¹，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =．如4381＝，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即
3log 814=）．
(1)计算以下各对数的值：24log ＝_____，216log ＝_____，264log ＝_____．
(2)写出（1）24log 、216log 、2
64log 之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log log a a
M N +=_____（0a >且
1a ¹，0M >，0N >）．
(4)设
n a N
＝，m a M ＝【答案】(1)2，4，6(2)222log 4log 16log 64
+=(3)log ()a MN (4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：41664´＝，22241664log log log +=；
（3）由特殊到一般，得出结论：()a a a
log M log N log MN +=．
（4）设1log a M b ＝，2log a N b ＝，根据同底数幂的运算法则：m n m n a a a +×=和给出的材料证
明结论．
【解析】（1）∵
224
=，
4216
=，6264
=∴22242164646log log log ===，，，故答案为：2，4，6；
（2）∵41664´＝，242log =，2164log =，2646log =，
∴222
41664log log log +=，
故答案为：222
41664log log log +=；
（3）由（2）的结果可得()a a a log M log N log MN +=，
故答案为：()a
log MN ．
（4）设1log a M b ＝，2log a N b ＝，
则
1b a M
=，
2b a N
=∴
12
b b MN a a =12
b b a +=，
∴12
log b b a MN +＝（），∴()a a a
log M log N log MN +=．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
2．（2023春·上海·七年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a ，我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差．例如：[
3
]＝1，[2.2]＝2，1，{2.2}＝2.22﹣＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：
]＝ {5}＝ ；
（2）若
]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．
（3）已知y
0是一个不大于280的非负数，且满足}＝0．我们规定：y 1＝]，y 2＝[
y]，y3＝]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的1
所有数中的最大数时，此时y0＝ ，n＝ ．
3．（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
59319的立方根是_______
（1
=100
10
位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，333
===________，37=________，39=___
11,327,5
_____．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而3
327
=，由此可确定
=，3464
59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
∴59319的立方根是39；
（4）∵1000＜103823＜1000000，
∴103823的立方根是两位数；
∵33
11,327,
==35=125，37=343，39=729，
∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；
103823的立方根是两位数，
∵3
464
552
<<=，且
=31
95
∴103823的立方根的十位数字是4，
又∵103823的立方根的个位数字是7，
∴103823的立方根是47．
【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数
的个位数的立方的个位数．
4．（2023春·上海·七年级专题练习）【阅读材料】
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：
求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵
<<，
=，1000593191000000
=100
∴
<<．
10100
∴能确定59319的立方根是个两位
第二步：∵59319的个位数是9，39729
=
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<，
<<，则34
<<，可得3040
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
__________．
（2）填空
【答案】（1）48；（2）28
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第
5．（2023春·上海·七年级专题练习）对于实数a,我们规定用
}的最小整
数，称{a}为 a的根整数.如
}=4.
(1)计算
{
9
}=？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；
(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次
{
}=4,再进行第二次求根整数
}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100
进行连续求根整数， 次后结果为2.
6．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：
a =
b =432
33
2
533
4
3b a b
-+的值.
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）观察下列等式：
1311212
x ===+´；2711623
x ===+´；
313111234
x ==+´；……
(1)【观察猜想】根据以上规律归纳出：①5
x =_______=_______．（不填中间式子）
②
n
x=________=_______．（不填中间式子）(2)【论证猜想】请证明②这个等式．
(3)【拓展运用】根据以上规律，求
12320202021
x x x x
+++×××+-的值．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是
近似值，以下是他的探究过程：
数学中的数形结合思想的体现．康康由此
面积为2的正方形边长
＞11＋r，画出示意图：图中正方形
的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即
1.5
(1)仿照康康上述的方法，探究
0.01）（画出示意图，标明数据，
7的近似值．（精确到
并写出求解过程）；
(2)继续仿照上述方法，在（1
的近似值的基础上，再探究一次，使求得的
近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n
＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含
m和n式子
的估算值．
∴2 5.2 6.76
S r r
=++
正方形
，
∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即7≈2.65；
（2）∵2
2.64 6.970
»，
∴
7＞2.64，设
7＝
2.64＋r，
如下图所示，面积为7的正方形由一个两个长方形组成，
∴2 5.28 6.970
S r r
=++
正方形
，
∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7
∴r≈0.006，即
7≈
2.646；
（3）∵n＜b＜n＋1，且b＝n2＋
∴设b n r
=+，
如下图所示，面积为b的正方形由一个个长方形组成，
∴222S r nr n =++正方形，
∵r 2较小故略去，得22nr n b +»，
∴2
2b n r n
-»，
∵b ＝n 2＋m ，
∴2m r n
»，
∴2m b n
n
=+
．
【点睛】本题考查二次根式、正方
9．（2022
春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：1a ，2a ，3
a ，
4a ，
5a …
n a
，满足对为一切正整数n 都有
=
=
++=+=+++=成立，且11a =．
(1)求2a ，3
a 的值；(2)猜想第n 个数n a （用n 表示）；
(3)
求12a a +×××+的值．
10．（2020秋·四川攀枝花·八年级校考阶段练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通
过探究知道：2 1.414»...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，
1
来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：
（1
的小数部分是a b ，求a b +的值；
（2）已知8x y +=+，其中x 是一个整数，01y <<，求(2020
3x y +．
11．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】
如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示﹣3，点B 表示1，则点C 表示的数为 ，AC 长等于 ；
【找一找】
如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B 分别表示实数22﹣1、2
+1，Q 是AB 的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A 、B 分别表示实数c ﹣n 、c +n ，在这个数轴上作出表示实数n 的点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a 、m 、b 会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m +4b 记作+(m +4b )，用点A 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a 记作﹣8a ，用点B 表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m +2b ）、﹣12a 的点F 、G ，并写出+(m +2b )的实际意义；
②写出a 、m 的数量关系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N ；（3）图见解析；（4）①+(m +2b )的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m ＝4a ．
【分析】（1）根据数轴上点A 对应﹣3，点B 对应1，求得AB 的长，进而根据AB ＝BC 可求得AC 的长以及点C 表示的数；
（2）可设原点为O ，根据条件可求得AB 中点表示的数以及线段AB 的长度，根据AB ＝
（4）【用一用】：在数轴上画出点F ，G ；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m ＝4a ．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m +4b ＝3×a ×4，即m +4b ＝12a （Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m +2b ＝4×a ×2，即m +2b ＝8a （Ⅱ）；
①以O 为圆心，OB 长为半径作弧交数轴的正半轴于点F ，则点F 即为所求．
作OB 的中点E ，则OE ＝BE ＝4a ，在数轴负半轴上用圆规截取OG ＝3OE ＝12a ，则点G 即为所求．
+（m +2b ）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m ＝4a ．
故答案为：m ＝4a ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
12．（2019春·七年级课时练习）已知1
1
223a a -+=，求下列各式的值: 1
1a a -+（）222a a -+（），3322
3a a -+(）【答案】（1）7，（2）47，（3）18.
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案；
（2）对（1）的结果利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案；
（3）利用立方和公式变形结合（1）的结果代入即可.
13．（2023春·上海·七年级专题练习）如果22
3311320x a x b x x æöæö-++++=ç÷ç÷èøèø
，求232(43)a b b +-的值．
14．（2023春·七年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①
100==，又1000593191000000<<Q ，
10100
\<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又39729=Q ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<，则34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写结果：
=
________．
________．②3
175616=
【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
15．（2020春·福建厦门·七年级厦门市华侨中学校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过下列步骤估计
2
的大小．
第一步：因为12=1，22=4，1＜2＜4，所以1
＜2．
第二步：通过取1和2的平均数缩所在的范围：取12 1.52x +==，
因为1.52=2.25，2＜2.25，所以1
＜1.5．
（1）请仿照第一步，通过
界于哪两个相邻的整数之间？
（2）在1
1.5的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，所在的范围缩
小至m ＜n ，使得n －m=18．
16．（2018春·山西·七年级统考阶段练习）阅读理解，回答问题.
限不循环小数，因此不可能全
我们都
部写出来，于是小磊
1磊的思路完成下列问题：的小数部分是 ；
（1
（2）已知m
①m的取值范围是 ；
②当m是5的倍数时，求14
m-+的值.
17．（2019秋·江苏泰州·七年级校考期中）下列等式：111122=-´，1112323
=-´，
111
3434
=-´，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=´´´．
（1）观察发现：
1n(1)n =+__________1111
122334n(1)
n ++++=´´´+L ．
（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把112
拆成两个分子为1的正的真分
数之差，即112= ；②把112拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112= ；
（ 3 ）定义“Ä”是一种新的运算，若1112126Ä=+，11113261220
Ä=++，
11111
4420304256
Ä=+++，求193Ä的值．
18．（2021春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题
限不循环的小数部分我们不可能全部
﹣1来的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
地写出来
的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，
事Array
差就是小数部分．
23，
的整数部分为2﹣2）
请解答：
（1）
57整数部分是 ，小数部分是 ．
的小数部分为a的整数部分为b，求|a﹣b的值．
（2
（3）已知：
19．（2020秋·北京海淀·七年级统考期末）给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2
M
x .如()()22735111, 561101M M ==.
对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示
.
根据以上材料，解决下列问题:
(1)()29653M 的值为______ ，(
)()22589653M M +的值为_
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如(
)()2
2 124100,630010M M ==
，因为
()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以()()()222124*********M M M +=+，
即124与630满足“模二相加不变”.
①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有______个
【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38【分析】(1) 根据“模二数”的定义计算即可；
(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算
126597，，和
12+23，65+23,97+23
的值，即可得出答案
②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数【解析】解: (1) ()296531011M =，()()221010*********
596M M =+=+故答案为：1011,1101
()2①()()222301,1210M M ==Q ，
()()()222122311,122311M M M +=+=()()()22212231223M M M \+=+，
12\与23满足“模二相加不变”.
()()222301,6501M M ==Q ，，
()()()222652310,652300M M M +=+=()()()22265236523M M M +¹+，
65\与23不满足“模二相加不变”
.
()()222301,9711M M ==Q ，
()()()2229723100,9723100M M M +=+=，()()()22297239723M M M +=+，
97\与23满足“模二相加不变”
②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7££<<，；当a 为偶数，b 为偶数时()()22
10002013,a b M M +==，
∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001
M M M a b M a a b b +=++++++==∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）当a 为偶数，b 为奇数时()()22
10012013,a b M M +==，
∴()()()()2222
2310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++==∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个
当a 为奇数，b 为奇数时()()22
10112013,a b M M +==，∴()()()()2222
23100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++==∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合
当a 为奇数，b 为偶数时()()22
10102013,a b M M +==，∴()()()()2222
2311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++==∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）
当此两位数大于等于77时，符合共有4个
综上所述共有12+6+16+4=38
故答案为：38
【点睛】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．
20．（2020秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好的三个数：x 1，x 2，x 3，称为数列x 1，x 2，x 3，计算1x ，122x x +，1233
x x x ++，将这三个数的最小值称为数列x 1，x 2，x 3的价值.例如，对于
数列2，-1，3，因为22=，2(1)122+-=，2(1)3433
+-+=，所以数列2，-1，3的价值为
1
2.
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列-1，2，3的价值为12
；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，
对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12
.根
据以上材料，回答下列问题：
(1)数列4，3，-2的价值为
(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过程并作答).
(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______ (直接写出答案).
21．（2021秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为___ ___．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为2.420.4-=
的整数部分为1
1
表示，再如， 2.6-的整数部分为3-，小数部分为()
2.630.4---=x y =+，其中x 是整数，且01y <<，那么1x =，
1y =．
(1)
a b =+，其中a 是整数，且01b <<，那么=a ___________，b =___________．(2)已知
3m n =+，其中m 是整数，且01n <<，求m n -的值；(3)如果
c d =+，其中c 是整数，且01d <<，求出c ，d 的值．
23．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）动手试一试：
图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
基础巩固：
(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积边AD的长为 ；
(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，则点E表示的数是 ；
(3)变式拓展：图3是由25个边长均为1的小正方形组成的图形，
①你能从中剪出一个面积为13的大正方形（大正方形的顶点都在小正方形的顶点上）吗？若能，请在图中画出示意图；若不能，请说明理由；
②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．
②在图3中的数轴上标出原点，请你
点，并直接写出该点表示的数．
该大正方形边长的点为E，点E表示的数为【点睛】本题考查了图形的剪拼，正方
解题的关键是巧妙根据网格的特点。