大学数学公式汇总

n
xy
chxdx shx C
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0, 0,a ),(a 0) 的引力：F {Fx ,Fy ,Fz } ，其中：
x
dx
dx
dx
x
(u ) u
x

sin x
x 2 2 a2 x a dx x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 2 a2 2 2 x a dx x a ln x x 2 a 2 C 2 2 x 2 2 a2 x 2 2 a x dx a x arcsin C 2 2 2 a
dzdx Q(x ,y ,z )

u(x ,y ) Q[x ,y(z ,x ),z ] dzdx，取曲面的右侧时取正号。
两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy
( x

P

Q R ) dv y z
Pdydz
斯托克斯 公式—— 曲线积分 与曲面积 分的关系
dy F d 2y F F dy 隐函数F (x ,y ) 0， x ， 2 ( x ) ＋ ( x ) dx Fy x Fy y Fy dx dx F z F z 隐函数F (x ,y ,z ) 0， x ， y x Fz y Fz
拉格朗日中值定理：f (b ) f (a ) f ( )(b a ) 柯西中值定理：
2u 1u x 2du ， cos x ， u tg ， dx 2 1 u2 1 u2 1 u2
f (b ) f (a ) f ( ) F (b ) F (a ) F ( )
(*) y py qy 0，其中p ,q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程： () r 2 pr q 0，其中r 2， r的系数及常数项恰好是(*) 式中y ,y ,y的系数； 2、求出 () 式的两个根r1 ,r2
f (x ) a0
2 (an cos n
f (n 1)( ) 余项：R n (x x 0 )n 1 ,f (x )可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim R n 0 n (n 1)! f (0) 2 f (n )(0) n x 0 0时即为麦克劳林公式：f (x ) f (0) f (0)x x x P(B / A ) i n 2! n! a0 A Bi f (t ) A0 An sin(nt n ) (an cos nx bn sin nx )

Qdzdx Rdxdy
ds (P cos Q cos R cos ) (P cos Q cos R cos )ds

f (x ) 0时为齐次 d 2y dy P(x ) Q(x )y f (x ) ， dx dx 2 f (x ) 0时为非齐次
dydz P(x ,y ,z )

du(x ,y ) P[x(y ,z ),y ,z ] dydz，取曲面的前侧时取正号；
Dyz Dzx
Dxy
P(x ,y ) dx Q(x ,y ) dy 0，其中： C应该是该全微分方程的通解。
u u P(x ,y ) ， Q(x ,y ) x y
2 2
对坐标的曲面积分： dydz Q(x ,y ,z ) dzdx R(x ,y ,z ) dxdy，其中： P(x ,y ,z )

2 、贝努力方程：
dy P(x ) y Q(x ) y n， (n 0, )

如果P(x ,y ) dx Q(x ,y ) dy 0中左端是某函数的全微分方程，即： R[x ,y ,z(x ,y )] dxdy，取曲面的上侧时取正号；
1

当F(x ) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
P Q R z z u u u 散度：div x y z ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失... 全微分：dz dx dy du dx dy dz x y x y z 通量： A nds Ands (P cos Q cos R cos )ds，
(arcsin x)
1
函数展开成泰勒级数：f (x ) f (x 0 )(x x 0 )
f (x 0 )
2!
(x x 0 )2
n f (n )(x 0 ) (x x 0 )n Pm (m n )! n!
m!
C mn
m! n!(m n )!
旋度：rotA x y z P Q R 向量场A 沿有向闭曲线的环流量： Pdx Qdy Rdz

2 n 1 1 1 an f (x ) cos nxdx (n 0, 1, 2 ) Pdx Qdy Rdz an l 其中 其中 1 1 cos cos cos dydz dzdx dxdy sinnxdx (n 1, 2, 3 ) bn l bn f (x ) 上式左端又可写成： x y z x y z 1 1 2 1 1 1 2 P Q R P Q R 1 2 2 1 2 2 2 （相加） 8 6 3 5 2 3 4 R Q P R Q P 2 2 空间曲线积分与路径无关的条件： ， ， 1 1 1 1 1 1 y z z x x y 2 2 1 2 2 2 （相减） 24 12 22 4 6 2 3 4 i j k
全微分的近似计算：z dz fx(x ,y )x fy(x ,y )y 多元复合函数的求导法：



因此，高斯公式又可写成： divA dv


dz z u z v z f [u(t ),v(t )] dt u t v t z z u z v z f [u(x ,y ),v(x ,y )] x u x v x 当u u(x ,y ) ，v v(x ,y ) 时， u u v v du dx dy dv dx dy x y x y 隐函数的求导公式：
2 2 2 2
2 2
x ln a
1 x
2
2
n 1
i 1
P(B j )P(A / B j )
n
A A
i i 1 i 1


i
x
x
2
2
dx 1 ax a 2 x 2 2a ln a x C dx x a 2 x 2 arcsin a C
0 0
(tgx ) sec 2 x
F F F F F (x ,y ,u ,v ) 0 (F ,G ) 1 x 2 隐函数方程组： J u v u v (ctgx ) csc 2 x G G (u ,v ) Gu Gv G(x ,y ,u ,v ) 0 1 (sec x) sec x tgx (arccos x) u v 1 x2 u 1 (F ,G ) v 1 (F ,G ) (csc x) csc x ctgx 1 欧拉公式 x J (x ,v ) x J (u ,x ) (arctgx ) (a x ) a x ln a 1 x2 u 1 (F ,G ) v 1 (F ,G ) 1 1 y J (y ,v ) y J (u ,y ) (log a x) (arcctgx )
n 1
P(Bi )P(A / Bi )
j 1
f (x ,y ) dxdy f (r cos ,r sin )rdrd dx 其中，a0 aA0，an An sin n，bn An cos n，t x。 P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2) P( Bn) P( A | Bn) cos x sec xdx tgx C tgxdx ln cos x C D D 正交性： 1,sin x ,cos x ,sin 2x ,cos 2x sin nx ,cos nx 任意两个不同项的乘积在 [ , ] 2 2 dx ctgxdx ln sin x C z z Ai P( Ai ) P 上的积分＝ 0 。 一阶微分方程： y f ( x , y ) 或 P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0 sin x csc xdx ctgx C 曲面z f (x ,y )的面积A 1 dxdy x y D 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y ) dy f (x ) dx的形式，解法： i 1 i 1 sec xdx ln sec x tgx C sec x tgxdx sec x C x(x ,y )d y(x ,y )d csc xdx ln csc x ctgx C csc x ctgxdx csc x C g(y )dy f (x )dx 得：G(y ) F(x ) C称为隐式通解。 M M 平面薄片的重心：x x D , y y D dx 1 x dy y M M (x ,y ) d (x ,y ) d a a x a arctg a C 齐次方程：一阶微分方程可以写成 f (x ,y ) (x ,y ) ，即写成 的函数，解法： D D a dx ln a C dx x dx 1 xa 平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y 2 (x ,y ) d , 对于y轴I y x 2 (x ,y ) d y dy du du dx du y x a 2a ln x a C shxdx chx C 设u ，则 u x ，u (u ) ， 分离变量，积分后将 代替u， D D
即得齐次方程通解。 dy 1、一阶线性微分方程： P(x ) y Q(x ) (x ,y )xd (x ,y )yd (x ,y )xd dx 2 2 dx ， Fy f ， Fz fa x 2 a 2 ln( x x a ) C Fx f 3 3 3 D D D P (x ) dx (x 2 y 2 a 2 )2 (x 2 y 2 a 2 )2 (x 2 y 2 a 2 )2 当Q(x ) 0时,为齐次方程，y Ce 2 2 2 2 n 1 P (x ) dx P (x ) dx 对面积的曲面积分： f (x ,y ,z ) ds f [x ,y ,z(x ,y )] 1 zx(x ,y ) z y(x ,y ) dxdy I n sin n xdx cos n xdx I n2 当Q(x ) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x ) e dx C ) e D