空间曲线曲率挠率和Frenet公式

曲率中心轨迹设对应Y，则有
Y r(t) 1
k
容易证明C在P点与曲率圆相切， 且在P点的曲率相同
例1 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数)的 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
解 r ， ={-a sin t, a cos t, b}， r ， ，={-a cos t, -a sin t, 0}， r , , ,={a sin t, -a cos t, 0}.
速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k（ s）
所以
k (s）
（ ）
k ( s）
， || ||
由于密切平面把空间分成上下两部分，对扭转程 度要考虑付法向量向上还是向下即有方向，即有 下面的定义
定义：曲线 ( C ) 在 P 点的挠率为
=( r,
r
,(
r
)
)
(r,
r
,r
|r | r
2
| r |)
rr
r
r
(r,r,r,)
2
r
曲率和挠率的一般参数表示式
已给出 C 3 类曲线 r r(t)
k
r , r ,, r, 3
一般参数曲率的表示式
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
(s)
,当
和 异向，
，当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于 弧长的旋转速度。
由定义 （ ） (s） k(s） k(s） +(s）
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
空间曲线的伏雷内公式
＝ k(s)
k (s )
(s)
(s)
r , r ,,
于是 k
r, 3 =
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
所以命题成立。
空间曲线 ( C ) 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲
线 ( C ) 上一点 P ( s ) 的主法线的正侧取线段P C
使PC
的长为
1 k
。 以C
为圆心，以 1 为半径在密切
k
平面上确定一个圆，这个圆称为曲线( C ) 在 P ( s )点的密切
பைடு நூலகம்
圆（曲率圆），曲率圆的中心称
为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。
空间曲线曲率挠率和Frenet公式
空间曲线曲率计算公式（自然参数）
s
| 1 s
|
|
MM s
，|
|
MM s
，
|
| |
M M
M M
，|
，
|
| （ s +
s ） - （ s ） | M M ， |
s
|
，
|MM |
lim | M s 0 | M
M M
，|
，
|
1 lim s 0
s
| | | r |，
这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基
s 本向量 ，， 关于弧长 的微商可以用
，， 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵
0 k(s) 0
k
(s
)
0
(s)
0 (s) 0
挠率的计算公式
(s)
(r,r,,r,)
2
r
(s) ,
(s ) ( ) ( , , ）
命题 曲线为平面曲线充要条件是（s） 0 . 证明 设的方程为r = r(s). 在某平面(rr0)n0
( r 0 为上的一个定点对应的向量, n为平面的单位法
向量). 对上式两边求导,
得 n 0 . 从而 kn 0 . 若k = 0, 则r 0. 于是（s） 0
若 k 0 ， n = 0 ， 又 n 0 n 0 , 0
22
2
k (s ) | r |, (r r )2 r r (r r )2 r
k ( s ) | r | | r r |
对于空间曲线，曲线不仅弯曲（曲线偏离切线程度由曲
率表示）而且还要扭转（偏离密切平面，否则为平面曲
线），所以类似相应有刻画曲线扭转程度的量－挠率。
（有大小又有方向）我们用副法向量的转动速度来刻画
反过来 0,0 c,(r)0 r(s)r0 (r(s)r0)0
所以曲线为平面曲线
命题： 空间曲线 :r r(t) 为平面曲线的
充要条件是 (r,,r,,,r,,,)0
证 由上例曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0
而
(s)
(r,r,,r,)
2
r
所以 （s） 0
等价于 (r,,r,,,r,,,)0
曲线的扭转程度。
现在设曲线 ( C ) 上一点 P 的自然参数为 s ,另一邻近点P 1
的自然参数为 s s
，在 P , P
两点作曲线
1
(
C
)
的副法向
量 ( s )和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为 lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转