2020年广西河池市中考数学试卷

2020年广西河池市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）
A.+20元
B.+10元
C.−10元
D.−20元
【答案】
C
【考点】
正数和负数的识别
【解析】
根据正负数的含义，可得：收入记作“+”，则支出记作“-”，据此求解即可．
【解答】
如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作−10元．
2. 如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）
A.同位角
B.内错角
C.同旁内角
D.邻补角
【答案】
A
【考点】
邻补角
同位角、内错角、同旁内角
对顶角
【解析】
根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【解答】
如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
3. 若y=√2x有意义，则x的取值范围是（）
A.x>0
B.x≥0
C.x>2
D.x≥2
【答案】
B
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据被开方数大于或等于0，列式计算即可得解．
【解答】
由题意得，2x≥0，
解得x≥0．
4. 下列运算，正确的是（）
A.a(−a)＝−a2
B.(a2)3＝a5
C.2a−a＝1
D.a2+a＝3a
【答案】
A
【考点】
合并同类项
单项式乘单项式
幂的乘方与积的乘方
【解析】
利用单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，合并同类项的运算法则分别计算后即可确定正确的选项．
【解答】
A、a(−a)＝−a2，原计算正确，故此选项符合题意；
B、(a2)3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a−a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
5. 下列立体图形中，主视图为矩形的是（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
简单几何体的三视图
【解析】
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【解答】
球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，
6. 不等式组{x+1>2
2x−4≤x
的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.
C. D.
【答案】
D
【考点】
解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】
{x+1>2
2x−4≤x
，
由①得：x>1，
由②得：x≤4，
不等式组的解集为：1<x≤4，
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）
A.5 12
B.12
5
C.5
13
D.12
13
【答案】
D
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】
如图所示：
∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，
∴AB=√52+122=13，
∴sin B=AC
AB =12
13
．
故选：D．
8. 某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）
A.85，85
B.85，88
C.88，85
D.88，88
【答案】
B
【考点】
中位数
众数
【解析】
将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．
【解答】
将数据85，90，89，85，98，88，80按照从小到大排列是：80，85，85，88，89，90，98，
故这组数据的众数是85，中位数是88，
9. 观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）
A. B.
C. D.
【答案】
B
【考点】
作图—基本作图
线段垂直平分线的性质
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD即可判断．
【解答】
作AB边的垂直平分线，
交AB于点D，
连接CD，
所以CD为△ABC的边AB上的中线．
10. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【解答】
设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
1
x(x−1)＝36，
2
化简，得x2−x−72＝0，
解得x1＝9，x2＝−8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
11. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）
A.5√2
B.6√2
C.4√5
D.5√5
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90∘，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90∘，根据勾股定理可求CE的长．
【解答】
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB // CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90∘，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90∘，
在Rt△EDC中，CE=√ED2+DC2=√42+82=4√5．
12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE
＝2，FC＝1，则AC的长是（）
A.5√2
2B.3√5
2
C.4√5
3
D.5√2
3
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
圆周角定理
勾股定理
【解析】
连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90∘，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90∘，
∴∠ACE+∠BCF＝90∘，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90∘，
∴∠CBF+∠BCF＝90∘，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90∘，
∴△ACE∽△CBF，
∴AC
BC =CE
BF
，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC=√CF2+BF2=√12+22=√5，
∴
√5=3
2
，
∴AC=3√5
2
，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）
计算3−(−2)＝________．
【答案】
5
【考点】
有理数的减法
【解析】
根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】
3−(−2)
＝3+2
＝5．
方程1
2x+1=1
x−2
的解是x＝________．
【答案】
−3
【考点】
解分式方程
【解析】
根据解分式方程的步骤解答即可．
【解答】
方程的两边同乘(2x+1)(x−2)，得：x−2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝−3，
经检验，x＝−3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝−3．
如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE // AB，则OE的长是________．
【答案】
2
【考点】
三角形中位线定理
直角三角形斜边上的中线
菱形的性质
【解析】
由菱形的性质得出AB＝4，由三角形中位线定理即可得出OE的长．
【解答】
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，
∵OE // AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=1
2
AB＝2，
不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是________．
【答案】
1
2
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率=2
4=1
2
．
如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55∘，则∠2＝________∘．
【答案】
35
【考点】
圆周角定理
【解析】
如图，连接AD．证明∠1+∠2＝90∘即可解决问题．
【解答】
如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90∘，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90∘，
∵∠1＝55∘，
∴∠2＝35∘，
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90∘，∠A＝30∘，AC＝8，点D在AB上，且BD=√3，点E 在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是
________√3
2
．
【答案】
√3
2
【考点】
翻折变换（折叠问题）
含30度角的直角三角形
【解析】
如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．则DB′+B′J≥DH，求出DH，DB′即可解决问题．
【解答】
如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．
在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90∘，AC＝8，∠A＝30∘，
∴AB＝AC⋅cos30∘＝4√3，
∵BD=√3，
∴AD＝AB−BD＝3√3，
∵∠AHD＝90∘，
∴DH=1
2AD=3√3
2
，
∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB=√3，
∴B′J≥DH−DB′，
∴B′J≥√3
2
，
∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为√3
2
，
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
计算：(−3)0+√8+(−3)2−4×√2
2
．
【答案】
原式＝1+2√2+9−2√2
＝10．
【考点】
零指数幂
二次根式的混合运算
【解析】
先根据零指数幂的意义计算，再进行乘方运算，然后化简后合并即可．
【解答】
原式＝1+2√2+9−2√2
＝10．
先化简，再计算：a2−a
a2−2a+1+1
a−1
，其中a＝2．
【答案】
原式=a(a−1)
(a−1)2+1
a−1
=
a
a−1
+
1
a−1
=a+1
a−1
，
当a＝2时，原式=2+1
2−1
=3．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先把分子分母因式分解，再约分得到同分母的加法运算，从而得到原式=a+1
a−1
，然后把a的值代入计算即可．
【解答】
原式=a(a−1)
(a−1)2+1
a−1
=
a
a−1
+
1
a−1
=a+1
a−1
，
当a＝2时，原式=2+1
2−1
=3．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1, 2)．
（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是________．
（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是________．
（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是________．
（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是________．
【答案】
(2, 3)
(1, −2)
6
y=
y＝−2x
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
坐标与图形变化-平移
反比例函数图象上点的坐标特征
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
关于原点对称的点的坐标
【解析】
（1）根据“上加下减，左减右加”法则判断即可确定出B的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征判断即可；
（3）设反比例函数解析式为y=k
，把B坐标代入确定出k，即可求出解析式；
x
（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A与C坐标代入求出m与n的值，即可求出解析式．
【解答】
将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是
(2, 3)；
点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标是(1, −2)； 设反比例函数解析式为y =k
x ，
把B(2, 3)代入得：k ＝6， ∴ 反比例函数解析式为y =6
x ； 设一次函数解析式为y ＝mx +n ，
把A(−1, 2)与C(1, −2)代入得：{−m +n =2
m +n =−2 ，
解得：{m =−2
n =0
，
则一次函数解析式为y ＝−2x ．
（1）如图(1)，已知CE 与AB 交于点E ，AC ＝BC ，∠1＝∠2．求证：△ACE ≅△BCE ．
（2）如图(2)，已知CD 的延长线与AB 交于点E ，AD ＝BC ，∠3＝∠4．探究AE 与BE 的数量关系，并说明理由． 【答案】
证明：在△ACE 和△BCE 中， ∵ {AC =BC ∠1=∠2CE =CE
，
∴ △ACE ≅△BCE(SAS)； AE ＝BE ． 理由如下：
在CE 上截取CF ＝DE ，
在△ADE 和△BCF 中， ∵ {AD =CB ∠3=∠4CF =DE
，
∴△ADE≅△BCF(SAS)，
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180∘，∠CFB+∠EFB＝180∘，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据SAS可得出答案；
（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≅△BCF(SAS)，可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．
【解答】
证明：在△ACE和△BCE中，
∵{AC=BC ∠1=∠2 CE=CE
，
∴△ACE≅△BCE(SAS)；AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，
在△ADE和△BCF中，
∵{AD=CB ∠3=∠4 CF=DE
，
∴△ADE≅△BCF(SAS)，
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180∘，∠CFB+∠EFB＝180∘，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．
频数分布表
正 正正
正正正正
正
（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；
（2）求扇形统计图中B 组所对应的圆心角的度数；
（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80<x ≤100的学生有多少人？ 【答案】
8，15，22，5；
扇形统计图中B 组所对应的圆心角的度数为108∘； 该校2000名学生中，成绩在80<x ≤100的有1080人 【考点】
频数（率）分布表 用样本估计总体 扇形统计图
【解析】
（1）用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格； （2）B 组人数占调查人数的15
50
，因此相应的圆心角度数为360∘的15
50
；
（3）样本中，成绩在80∼100的人数占调查人数的
22+550
，因此估计总体2000人的
22+550
是成绩在“80<x ≤100”人数． 【解答】
用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格；
故答案为：8，15，22，5； 360∘×15
50=108∘，
答：扇形统计图中B 组所对应的圆心角的度数为108∘； 2000×
22+550=1080（人），
答：该校2000名学生中，成绩在80<x≤100的有1080人．
某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．
（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；
（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．
【答案】
甲商店：y＝4x
乙商店：y={5x,(x≤6)
5×6+0.7×5(x−6),(x>6)．
当x<6时，
此时甲商店比较省钱，
当x≥6时，
令4x＝30+3.5(x−6)，
解得：x＝18，
此时甲乙商店的费用一样，
当x<18时，
此时甲商店比较省钱，
当x>18时，
此时乙商店比较省钱．
【考点】
一次函数的应用
一元一次不等式的实际应用
【解析】
（1）根据题意列出函数关系式即可求出答案．
（2）根据函数关系以及x的取值范围即可列出不等式进行判断．【解答】
甲商店：y＝4x
乙商店：y={5x,(x≤6)
5×6+0.7×5(x−6),(x>6)．
当x<6时，
此时甲商店比较省钱，
当x≥6时，
令4x＝30+3.5(x−6)，
解得：x＝18，
此时甲乙商店的费用一样，
当x<18时，
此时甲商店比较省钱，
当x>18时，
此时乙商店比较省钱．
如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是BD
̂
的中点，EF // BC，交OC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）CG // OD，交AB于点G，求CG的长．
【答案】
连接OE，交BD于H，
∵点E是BD̂的中点，OE是半径，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF // BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，
∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34，
∵S△OBC=1
2×OB×OC=1
2
×BC×OH，
∴OH=
√34=15√34
34
，
∵cos∠OBC=OB
BC =BH
OB
，
∴
34=BH
3
，
∴BH=9√34
34
，
∴BD＝2BH=9√34
17
，∵CG // OD，
∴OD
CG =BD
BC
，
∴3
CG =
9√34
17
√34
，
【考点】
垂径定理
圆周角定理
切线的判定与性质
【解析】
（1）由垂径定理可得OE⊥BD，BH＝DH，由平行线的性质可得OE⊥EF，可证EF是⊙O的切线；
（2）由勾股定理可求BC的长，由面积法可求OH的长，由锐角三角函数可求BH的长，由平行线分线段成比例可求解．
【解答】
连接OE，交BD于H，
∵点E是BD̂的中点，OE是半径，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF // BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，
∴OB＝3，
∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34，
∵S△OBC=1
2×OB×OC=1
2
×BC×OH，
∴OH=
√34=15√34
34
，
∵cos∠OBC=OB
BC =BH
OB
，
∴
34=BH
3
，
∴BH=9√34
34
，
∴BD＝2BH=9√34
17
，∵CG // OD，
∴OD
CG =BD
BC
，
∴3
CG =
9√34
17
√34
，
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于(p, 0)，(q, 0)，则该抛物线的解析式可以表示为：
y ＝a(x −p)(x −q)，
＝ax 2−a(p +q)x +apq ．
（1）若a ＝1，抛物线与x 轴交于(1, 0)，(5, 0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a ＝−1，如图(1)，A(−1, 0)，B(3, 0)，点M(m, 0)在线段AB 上，抛物线C 1与x 轴交于A ，M ，顶点为C ；抛物线C 2与x 轴交于B ，M ，顶点为D ．当A ，C ，D 三点在同一条直线上时，求m 的值；
（3）已知抛物线C 3与x 轴交于A(−1, 0)，B(3, 0)，线段EF 的端点E(0, 3)，F(4, 3)．若抛物线C 3与线段EF 有公共点，结合图象，在图(2)中探究a 的取值范
围．
【答案】
由题意抛物线的解析式为y ＝(x −1)(x −5)＝x 2−6x +5＝(x −3)2−4， ∴ y ＝x 2−6x +5，抛物线的顶点坐标为(3, −4)．
如图1中，过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．
由题意抛物线C 1为y ＝−(x +1)(x −m)＝−(x −m−12
)2
+
m 2+2m+1
4
，
∴ C(
m−12
, 
m 2+2m+14
)，
抛物线C 2为y ＝−(x −m)(x −3)＝−(x −3+m 2
)2
+
m 2−6m+9
4
，
∴ D(
3+m 2
, 
m 2−6m+94
)，
∵ A ，C ，D 共线，CE // DF ， ∴ CE AE
=
DF AF
， ∴
m 2+2m+1
4m−1
2
+1=
m 2−6m+9
43+m
2
+1，
解得m =1
3
，
经检验，m =1
3 是分式方程的解， ∴ m =1
3．
如图2−1，当a >0时，
设抛物线的解析式为y ＝a((x +1)(x −3)， 当抛物线经过F(4, 3)时，3＝a ×5×1， ∴ a =3
5，
观察图象可知当a ≥3
5时，满足条件．
如图2−2中，当a <0时，顶点在线段EF 上时，顶点为(1, 3)，
把(1, 3)代入y ＝a(x +1)(x −3)，可得a =−3
4， 观察图象可知当a ≤−3
4时，满足条件，
综上所述，满足条件的a 的范围为：a ≥3
5
或a ≤−3
4
．
【考点】
二次函数综合题 【解析】
（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．
（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A ，C ，D 三点在同一条直线上，构建方程求解即可．
（3）求出两种特殊情形a 的值，结合图象判断即可解决问题． 【解答】
由题意抛物线的解析式为y ＝(x −1)(x −5)＝x 2−6x +5＝(x −3)2−4， ∴ y ＝x 2−6x +5，抛物线的顶点坐标为(3, −4)．
如图1中，过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．
由题意抛物线C 1为y ＝−(x +1)(x −m)＝−(x −m−12
)2
+
m 2+2m+1
4
，
∴ C(
m−12
, 
m 2+2m+14
)，
抛物线C 2为y ＝−(x −m)(x −3)＝−(x −3+m 2
)
2
+
m 2−6m+9
4
，
∴ D(
3+m 2
, 
m 2−6m+94
)，
∵ A ，C ，D 共线，CE // DF ， ∴ CE AE =DF
AF ， ∴
m 2+2m+1
4m−1
2
+1=
m 2−6m+9
43+m
2
+1，
解得m =1
3，
经检验，m =1
3 是分式方程的解，
∴ m =1
3
．
如图2−1，当a >0时，
试卷第21页，总21页
设抛物线的解析式为y ＝a((x +1)(x −3)，
当抛物线经过F(4, 3)时，3＝a ×5×1，
∴ a =35，
观察图象可知当a ≥3
5时，满足条件． 如图2−2中，当a <0时，顶点在线段EF 上时，顶点为(1, 3)，
把(1, 3)代入y ＝a(x +1)(x −3)，可得a =−3
4， 观察图象可知当a ≤−3
4时，满足条件，
综上所述，满足条件的a 的范围为：a ≥35或a ≤−34．。