江苏省如皋中学2020学年高二数学上学期第二次月考试卷 理

江苏省如皋中学2020学年高二数学上学期第二次月考试卷 理
第 Ⅰ 卷 (共160分 时间：120分钟)
注意：答卷可能用到的公式．．．．．．．．．．．．：34π3V R =球；2
4πS R =球面；13V Sh =椎体；12S cl rl π==圆锥侧. 一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1.复数12i
z i
-=，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是 ▲ .
2.已知复数22a i bi +=-，其中a b ∈R ，，i 是虚数单位，则a bi += ▲ .
3.若椭圆2255kx y +=的一个焦点为(2,0)，则k = ▲ .
4.已知双曲线的渐近线方程为1
2y x =±，且过点，则此双曲线的方程 ▲ .
5.某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有 ▲ 种．(结果用数字作答)
6.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字，能组成 ▲ 个没有重复数字的四位数.(结果用数字作答)
7.已知a b c ，，是不重合的直线，αβ，是不重合的平面，以下结论正确的是 ▲ .(将正确的序号均填上)．
①若//a b b α⊂，，则//a α；②若a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，，，，则a α⊥； ③若a a αβ⊥⊂，，则αβ⊥； ④若////a b a b ββαα⊂⊂，，，，则//αβ.
8.若直线l 经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A B ，两点，且线段AB 中点的横坐标为
2，则线段AB 的长为 ▲ .
9.设P A B C ，，，是球O 表面上的四个点，且PA PB PC ，，两两垂直，若1PA =，2PB =，
3PC =，则球O 的表面积是 ▲ .
10.已知P 为椭圆22
182x y +=上一动点，点()1,0A ，则PA 的最小值为 ▲ .
11.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，11AA =，底面
ABC ∆是边长为2的正三角形，则三棱锥111A A B C -的体积为 ▲ .
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为椭圆22
14924x y +=上一点， 12F F ，是椭圆的左、右焦点，且
12PF F ∆的重心为点G ，若12:3:4PF PF =，则1GOF ∆的面积为 ▲ .
13.已知P 是椭圆22
143x y +
= 上的一动点，12F F ，是椭圆的左、右焦点，延长2F P 到Q 使得1F P PQ =，点M 为1F Q 中点，若直线:8l y kx k =-上存在点A ，使得30OAM ∠=︒，则实
数k 的取值范围为 ▲ .
14.椭圆22
1259
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于G ，则点G 的纵坐标的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤． 15. (本题满分14分)
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴的左、右端点分别是A B ，，右焦点F 的坐标
为(4,0)，离心率为
2
3
，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥. (1)求椭圆C 的方程； (2)求点P 的坐标.
16. (本题满分14分)
某养路处建造圆锥形仓库(仓库．．的底面利用地面．．．．．．．)用于存放食盐，用来供融化高速公路上的积雪.已建仓库的底面直径为12m ，高为4m .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐.现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4m (高度不变)，二是高度增加4m (底面直径不变).
(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积； (2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积； (3)哪一个方案更经济些？
17. (本题满分14分)
如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，且60ABC ∠=︒，又PAB ∆是等边三角形， E F ， 分别是AB PD ，的中点． (1)求证：AB ⊥平面PEC ；
(2)求证：//AF 平面PEC .
F
E
D
C
B
A
P
18. (本题满分16分)
如图，正方体1111ABCD A B C D -中，过顶点1A C ，的平面分别与棱11AB C D ，交于M N ，两点． (1)求证：四边形1A MCN 是平行四边形； (2)求证：平面1A MCN ⊥平面1C BD ．
19. (本题满分16分)
A
1A
B
C
D
1
B 1
C 1
D M
N
已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的
距离为2d ，且21
d d ．
(1)求动点P 所在曲线C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于不同两点A 、B ，求22FA FB +的最小值．
20. (本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，焦点到相应准线
的距离为1.动点M 在椭圆C 上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r
.设点Q 在直线4x =-上，且满足2OP PQ ⋅=u u u r u u u r
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 经过x 轴上的一个定点，并求出这个定点；
(3)设(2)中的定点为E ，当四边形OPQE M 的坐标.
2020学年度第一学期阶段练习
高二数学(理科)
第 Ⅱ 卷(附加题) (共40分 时间：30分钟)
21. (本题满分10分)
在极坐标系中，设圆C 经过点π36P （，），圆心是直线3πsin()3ρθ- 与极轴的交点． (1)求圆C 的半径； (2)求圆C 的极坐标方程．
22. (本题满分10分)
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 经过点(3,0)P ，倾斜角为
3
π
.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin ρθ=.若A 点在直线l 上，B 点在曲线C 上，求AB 的最小值．
23. (本题满分10分)
已知(12)n x +，*n ∈N ．
(1)若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．
24. (本题满分10分)
已知点F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点(,2)A m 在抛物线C 上，且2AF =． (1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点(10)G -，，过点F 的直线交抛物线于M N ，两点，求证：MGF NGF ∠=∠．
2020学年度第一学期阶段练习
高二数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷
1. 1
2-； 2. 22； 3. 1； 4. 22182x y -=； 5. 63； 6. 720； 7. ③； 8. 6；
9. 14π；
15；2； 12. 4； 13. 33
[； 14.3232[,0)(0,]1515-U .
15.解：(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为(4,0)，离心率为2
3知，
4c =，
2
3
c a =，所以6a =，22220b a c =-=， 所以，椭圆C 的方程为22
13620
x y +=. ---------------------6分
(2)设(,)P x y ，(0)y >，由(1) 知(6,0)A -，又(4,0)F ， 由PA PF ⊥得，1PA PF k k ⋅=-，故
164
y y x x ⋅=-+-，即2(6)(4)x x y +-=-，①---10分 又点(,)P x y 在椭圆上，所以22
13620x y +=，②
由①②得，229180x x +-=，故3
2
x =，或6x =-(舍去)， 由0y >得，53
y ， ----------------12分 所以，点P 的坐标为353
()2. ----------------------14分
16.解：由题意知，第一个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为8m ，高度为4m ，母线长为
228+445m ；第二个方案中所建仓库的圆锥的底面半径为6m ，高度为8m ，母线
226+810m =.--------4分
(1)按方案一所建仓库的体积223111196
ππ84π(m )333
V r h =⋅⋅=⨯⨯⨯=；
按方案二所建仓库的体积223211
ππ6896π(m )
33V r h =⋅⋅=⨯⨯⨯=.
--------------------------8分
(2)按方案一所建仓库的表面积21ππ845325π(m )S rl ==⨯⨯； 按
方
案
二
所
建
仓
库
的
表
面
积
22ππ61060π(m )
S rl ==⨯⨯=.
-----------------12分
(3)因为12
V V <，
12
S S >，所以第二个方案更经济些.
-------------------14分
注：(1)本题不写单位的扣2分；(2)母线长没有明确计算的扣2分. 17. (1) 证明：连结AC .
因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，且ABC ∆是等边三角形， 因为E 是AB 的中点，所以CE AB ⊥.
PAB ∆是等边三角形，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，
--------------------4分
因为PE CE E =I ，PE ⊂平面PEC ，CE ⊂平面PEC ，
所以AB ⊥平面PEC ， -------------------7分
(2) 证明：取PC 中点G ，连结FG EG ，.
在PCD ∆中，F G ，分别为PD PC ，的中点，所以//FG CD 且1
2FG CD =，
又ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，所以//AE CD 且1
2AE CD =，
从而//FG AE 且FG AE =，故四边形AEGF 是平行四边形，------------10
分
所以//AF EG ，又因为AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，
所以//AF 平面PEC . ---------------------14分 18.证明：(1) 正方体1111ABCD A B C D -中，
因为平面1111//A B C D 平面ABCD ，平面1A C I 平面11111A B C D A N =， 平面平1A C I 面ABCD CM =，所以，1//A N CM ， 同理可得1//A M CN 所
以
，
四
边
形
1A MCN
为平行四边形，
------------------------------6分 (2)连结1A C ，AC .
正方体1111ABCD A B C D -中，
因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，
A
1A
B
C
D
1
B 1
C 1
D M
N
G
F
E
D
C B
A
P
又因为1AA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以1AA BD ⊥， 而1AA AC A =I ，11AC AA A AC ⊂，平面
所以，1BD A AC ⊥平面， --------------------------9分 又11AC A AC ⊂平面，故1BD AC ⊥，
同理，1
1AC BC ⊥， ------------------------- 12分 因为1BC BD ⊥，且1BC BD B =I ，11BC BD BC D ⊂，平面，
所以，1
1AC BC D ⊥平面， -------------------14分 又因为1
1AC A MCN ⊂平面 所以，11C BD A MCN ⊥平面平面. ------------------------16分 19. 解：(1)设(,)P x y
，由12d d =，得212212d d =，即
222(1)1
(2)2
x y x ++=+， 化简得，2222x y +=，
所以，动点P 所在曲线C 的方程为2
212x y +=. --------------------6分
(2)①当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为(1)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y .
由22
(1),2 2.
y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(21)4220k x k x k +++-=， 故2122421k x x k -+=+，21222221
k x x k -=+，4222
1222844(21)k k x x k +++=+，-------------10分
又1AF =+
，2BF x ， (该步要有推导过程) 所以422222
121222
1126242()()42(21)k k AF BF x x x x k --++=++++=++，
设221t k =+(1)t ≥，则221k t =-， 所以22223
11AF BF t t
+=+
+>， ------------------------------- 14分 ②当直线AB
斜率不存在时，AF BF ==
，221AF BF +=， 所以22AF BF +的最小值为1. -----------------------16分
20.(1) 由椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
离心率为，焦点到相应准线的距离为1
，得：
2
2
22,21,,c a a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得，a =1b =，
所以，求椭圆C 的方程为2
212
x y +=. -----------------------4分
(2)设00(,)M x y ，(4,)Q m -. 因为点P
满足NP =u u u r u u u r
，所以00()P x ，
由2OP PQ ⋅=u u u r u u u r
得，0000()(4,)1x x m ⋅--=
，即22
00
00421x x y ---=， 又因为22
022x y +=
0044x =+，(*) ------------------------- 6分
过点P 且垂直于OQ 的直线l
的方程为：00()4()m y x x =-， ------------------8分 令0y =及(*)
，得0
004414
x x x x --+=+=-， 所以，直线l 经过x 轴上的一个定点，其坐标为(1,0)-. ----------------------------10分
(1) 由(2)知，(1,0)E -，根据四边形OPQE 知，00y ≠，0m ≠， 由(*)
得，m =，
所以2
OQ =
PE = --------------------12分
11
222OPQE S PE OQ =
⋅=⋅== 平方，得22
001(23)(2)2x x +=-，即20(34)0x +=，解得043
x =-， ------------------14分
将043x =-代入22
022x y +=得，013
y =±，
所以，所求点M的坐标为
41
(,)
33
-或
41
(,)
33
--. - ---------------------16
分
第Ⅱ卷 附加题
21. (1)令0θ=得1ρ=，所以圆心C 的坐标为(1,0)，在POC ∆中，
由余弦定理得圆C 的半径1r CP == ---- --------------5
(2)设圆C 上任意一点(,)M ρθ，如图所示，在Rt OMA ∆中，2cos ρθ=，
所以，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. --------------------10分
22. 解：因为0ρ=满足极坐标方程2sin ρθ=，所以两边同时乘以ρ得，22sin ρρθ=， 又因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=， 其圆心坐标为(0,1)，半径为1. ---------------------4分 直线l 的方程为3)y x =-0y --=. -------------------6分
圆心C 到直线l 的距离d = ----------------8分 所以，AB 1. ----------------------10分 23.解：(1) 因为展开式中奇数项的二项式系数和为：024
12128n n
n n C C C -+++==L ， 所
以8n =，
--------------------------2分
故展开式中二项式系数最大的项为5T ，其系数为44821120C ⨯=. --------------4
分
(2)由012
(1)
1372
n n n n n C C C n -++=++
=，得2720n n +-=，解得8n =，---------6分 设1k T +项的系数最大，则1188118
822,22,k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎪
⎨⨯≥⨯⎪⎩解得56k ≤≤， 因为k ∈N ，所以5k =或6k =.
---------------------------8分
从而，展开式中系数最大的项为67T T 和，
其中5
5568
(2)1792T C x x =⋅=，66678(2)1792T C x x =⋅=. ---------------10分
24.解：(1)点(,2)A m 在抛物线上，则2
m p
=
， O
根据抛物线定义可知，222
p
AF p =
+=，解得2p =， 所以，抛物线C 方程为24y x =． -------------------- 4分
(2)设M 点坐标为211(,)4y y ，N 点坐标为2
2
2(,)4
y y ，直线MN 的方程为1x my =+，
联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩
，可得2440y my --=，则121244y y m
y y +=⎧⎨⋅=-⎩，
直线MG 的斜率122
122
2
1224
444()
1414
y y y k y y y --===-+++， 直线NG 的斜率22
22
2
224414
y y k y y =
=
++，
因为
12
k k =-，所以
MGF NGF ∠=∠． ------------------------------10分。