2018年高考数学浙江专用一轮复习练习：第6章 不等式 第1讲不等关系与不等式 含答案

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第1讲不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；
(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ， a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；
(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)．
1．辨明两个易误点
(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；
(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． 2．不等式中的倒数性质
(1)a >b ，ab >0⇒1a <1
b ；
(2)a <0<b ⇒1a <1
b
；
(3)a >b >0，0<c <d ⇒a c >b
d
；
(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a .
1．设非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A.1a >1
b
B ．ab <b 2
C ．a ＋b >0
D ．a －b <0 答案：D
2．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.又当ab >0时，a 与b 同号，由a ＋b >0知a >0，且b >0. 3．(必修5 P74练习T3改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；
③a >b >0⇒3a >3
b ；
④a >b >0⇒1a 2>1
b
2.
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．①③ 解析：选D.对于①，因为a >b ，c <d ，所以－c >－d ， 所以a －c >b －d .
对于③，a >b >0，则3a >3
b >0.
4.
1
2－1
________
3＋1(填“>”或“<”)．
解析：
1
2－1
＝2＋1<3＋1.
答案：<
5．下列不等式中恒成立的是__________．
①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.
解析：m－3－m＋5＝
2＞0，故①恒成立；
5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；
5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；
5＋m－5＋m＝2
m，无法判断其符号，故④不恒成立．
答案：①②
考点一用不等式(组)表示不等关系[学生用书P110]
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解]设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋2y≤400，
2x＋y≤500，
x≥0，x∈N，
y≥0，y∈N.
用不等式(组)表示不等关系
(1)分析题中有哪些未知量．
(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x或x，y再用x或x，y来表示其他未知量．
(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．
[注意]在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．
1.某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧40x＋90y≤1 000，
x≥5，
y≥6，
x，y∈N*.
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧4x＋9y≤100，
x≥5，
y≥6，
x，y∈N*.
考点二 不等式的性质(高频考点)[学生用书P111]
不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大．
高考对不等式性质的考查有以下三个命题角度： (1)判断命题的真假；
(2)与充要条件相结合命题； (3)求代数式的取值范围．
(1)(2014·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
(2)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )
A ．ac >bc B.1a <1
b
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
(3)(2016·台州高三模拟)若α，β满足⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，
1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．
[解析] (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；
当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.
(2) A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；
B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1
b
，故不正确；
C 项，由a 2－b 2
＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；
D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣
⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由
a >
b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3
，故正确．
(3)设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β. 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.
所以α＋3β的取值范围是[1，7]． [答案] (1)C (2)D (3)[1，7]
(1)判断不等式命题真假的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假． (2)充要条件的判断方法
利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解.
2.(1)(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )
A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd
B ．若ac >bc ，则a >b
C ．若a c 2<b
c
2，则a <b
D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d (2)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 (3)(2016·丽水模拟)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：(1)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，
所以B 错误；C ：因为a c 2<b
c
2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b
＝d ＝1，可知D 错误，故选C. (2)(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件． (3)因为－4<β<2，所以0≤|β|<4. 所以－4<－|β|≤0. 所以－3<α－|β|<3.
答案：(1)C (2)A (3)(－3，3)
考点三 比较两个数(式)的大小[学生用书P111]
比较下列各组中两个代数式的大小． (1)3m 2
－m ＋1与2m 2＋m －3； (2)a 2b ＋b 2
a
与a ＋b (a ＞0，b ＞0)． [解] (1)因为(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3) ＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3＞0， 所以3m 2－m ＋1＞2m 2＋m －3.
(2)因为a 2b ＋b 2
a －(a ＋
b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab
＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab
＝（a －b ）2（a ＋b ）ab
.
又因为a ＞0，b ＞0，
所以（a －b ）2（a ＋b ）ab
≥0，
故a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b .
比较大小常用的方法
(1)作差法．其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法．其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法．构造函数，利用函数单调性比较大小． [注意] 含根号的式子作差时一般先乘方再作差.
3.已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5
a 5
的大小关系为
________．
解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5
a 5
；
当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1（1－q 3）a 1q 2（1－q ）－a 1（1－q 5）a 1q 4（1－q ）＝q 2（1－q 3）－（1－q 5
）q 4（1－q ）
＝
－q －1
q 4
<0，所以有S 3a 3<S 5
a 5.
综上可知S 3a 3<S 5
a 5.
答案：S 3a 3<S 5
a 5
,[学生用书P112])
方法思想——判断不等式(特值法)
(2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d D.a c <b d
[解析] 法一：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1
－c
>0.
又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <b
c .故选B.
法二：
⎭
⎪⎬⎪
⎫c <d <0⇒cd >0c <d <0
⇒c cd <d
cd <0⇒
⎭⎪
⎬⎪⎫1d <1
c <0⇒－1
d >－1c >0 a >b >0 ⇒－a d >－b c ⇒a d <b c . 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b
d ＝－1，排除选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23， 所以a d <b c
，
所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. [答案] B
本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易出错，
而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．
(2016·潍坊模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab
；②|a |＋b >0；③a －1
a >b
－1
b
；④ln a 2>ln b 2中，其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④
解析：选C.因为1a <1
b
<0，故可取a ＝－1，b ＝－2，显然②④不成立，排除A 、B 、D.
1．不等式“a －b >a 且a ＋b <b ”成立的充要条件为( ) A ．a >0且b >0 B ．a <0或b <0 C ．a <0且b <0 D ．a <0或b >0
解析：选C.由a －b >a 知b <0，由a ＋b <b 知a <0，它们之间的逻辑联结词为“且”，所以原不等式等价于“a <0且b <0”，即不等式“a －b >a 且a ＋b <b ”成立的充要条件为a <0且b <0. 2．(2016·台州高三第一次月考)如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )
A ．－1a ＜－1b
B ．ab ＜b 2
C ．－ab ＜－a 2
D ．|a |＜|b |
解析：选A.因为1b －1a ＝a －b ab ＜0，所以－1a ＜－1
b
，A 正确；因为ab －b 2＝b (a －b )＞0，所以
ab ＞b 2，B 错误；因为ab －a 2
＝a (b －a )＜0，所以－ab ＞－a 2，C 错误；a ＜b ＜0⇔|a |＞|b |，D 错误，故选A. 3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由a b
>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <0；由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b >0或⎩
⎪⎨⎪⎧a －1<0，b <0，又a >0且a ≠1，
所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要条件．
4．(2015·高考上海卷)下列不等式中，与不等式x ＋8
x 2＋2x ＋3
＜2解集相同的是( )
A ．(x ＋8)(x 2＋2x ＋3)＜2
B ．x ＋8＜2(x 2＋2x ＋3)
C.1x 2＋2x ＋3＜2x ＋8
D.x 2＋2x ＋3x ＋8
＞12
解析：选B.依题意，注意到x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2＞0，因此不等式x ＋8
x 2＋2x ＋3
＜2等价于
x ＋8＜2(x 2＋2x ＋3)，故选B. 5．(2016·北京西城区一模)已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( ) A ．2枝玫瑰的价格高 B ．3枝康乃馨的价格高 C ．价格相同 D ．不确定
解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x 元、y 元，则6x ＋3y >24，4x ＋4y <20⇒2x ＋y >8，x ＋y <5，因此2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )>5×8－8×5＝0，所以2x >3y ，因此2枝玫瑰的价格高，故选A. 6．(2016·浙江省名校联考)已知a ＜0，－1＜b ＜0，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab ＞a ＞ab 2 C ．ab ＞ab 2＞a D ．ab 2＞ab ＞a
解析：选C.由题意得ab －ab 2＝ab (1－b )＞0，所以ab ＞ab 2，ab 2－a ＝a (b ＋1)(b －1)＞0，所以ab 2＞a ，故选C.
7．(2016·杭州适应性测试)已知a ＞b ，ab ≠0，则下列不等式中：①a 2＞b 2；②1a ＜1
b
；③a 3
＞b 3；④a 2＋b 2
＞2ab .
恒成立的不等式的个数是____________．
解析：当a ＝1，b ＝－2时，显然①②不成立；对于③，当a ＞0＞b 时，显然有a 3＞0＞b 3，当a ，b 同号时，a 3－b 3＝(a －b )·(a 2＋ab ＋b 2)＞0，所以③恒成立；对于④，a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，所以a 2＋b 2＞2ab ，即④恒成立．综上所述，不等式恒成立的个数为2. 答案：2 8．(2016·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1
9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2
m ，即⎝⎛⎭⎫15－x
2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝
⎛⎭⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪
⎧0<x ≤18，x ⎝
⎛⎭⎫
15－x 2≥216 10．(2016·嘉兴一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．
解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
x －y ＝3，解得⎩
⎨⎧
x ＝52，y ＝－12
.
又因为－52<52(a ＋b )<15
2，
－2<－1
2(a －b )<－1，
所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.
即－92<2a ＋3b <132
.
答案：⎝⎛⎭
⎫－92，132 11．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e
（b －d ）2. 证明：因为c <d <0， 所以－c >－d >0，
又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0. 所以(a －c )2>(b －d )2>0.
所以0<1（a －c ）2<1
（b －d ）2
. 又因为e <0，所以e （a －c ）2>e
（b －d ）2
. 12．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a
b
的取值范围．
解：因为15<b <36， 所以－36<－b <－15. 又12<a <60，
所以12－36<a －b <60－15， 所以－24<a －b <45，
即a －b 的取值范围是(－24，45)．
因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，
所以13<a
b
<4，
即a
b
的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4.
1．(2016·北京平谷区月考)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d
b
>0；
②若ab >0，c a －d
b
>0，则bc －ad >0；
③若bc －ad >0，c a －d
b
>0，则ab >0.
其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D.因为ab >0，bc －ad >0，
所以c a －d b ＝bc －ad ab
>0，所以①正确；
因为ab >0，又c a －d
b >0，即b
c －a
d ab
>0，
所以bc －ad >0，所以②正确；
因为bc －ad >0，又c a －d
b >0，即b
c －a
d ab
>0，
所以ab >0，所以③正确．故选D.
2．已知1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2
y 的取值范围是________．
解析：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2
y
＝2lg
x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x
2
y
≤5.
答案：[－1，5] 3．(2016·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，
则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝4
5nx .
因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －4
5
nx
＝14x －120nx ＝1
4x ⎝⎛⎭
⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
4．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求b
a
的取值范围．
解：因为a >0，故两个不等式同时除以a ，
得⎩⎨⎧
1≤b a ＋c
a
≤2，b a ≤1＋c a ≤2b a ，
即⎩
⎨⎧1≤b a ＋c
a
≤2.①－2b a ≤－1－c a ≤－b
a
，②
①＋②，得1－2b a ≤b a －1≤2－b
a
，
解之得23≤b a ≤32.。