【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第3章 3.2.2 第二课时 对数函数的图象和性质的应用课

3．不等式log2(x－3)>1的解集为________． 解析：∵log2(x－3)>1， ∴log2(x－3)>log22. ∴x－3>2，x>5. 答案：{x|x>5}
4．解不等式：log3(4－x)>2＋log3x.
解：原不等式可化为 log3(4－x)>log3(9x)，
其等价于44－ －xx>>90x，，解得 x>0，
1．函数 f(x)＝log1(1－2x)的单调递增区间是________． 2 解析：由 1－2x>0 得 x<12，∵u＝1－2x 在(－∞，12)上单
调递减，y＝log1u 在(0，＋∞)上单调递减． 2
∴f(x)＝log1 2
(1－2x)在(－∞，12)上单调递增．
答案：(－∞，12)
2．判断函数 y＝f(x)＝loga(1－x)的单调性．
1．对于函数 y＝logaf(x)(a>0 且 a≠1)单调性的判断，首 先应求满足 f(x)>0 的 x 的范围，即函数的定义域．假设 f(x) 在定义域的子区间 I1 上单调递增，在区间 I2 上单调递减，则
(1)当 a>1 时，原函数与内层函数 f(x)的单调性相同，即 在 I1 上单调递增，在 I2 上单调递减．
解：由 1－x>0，得函数 f(x)＝loga(1－x)的定义域为(－∞，1)． 令 u＝1－x＝－x＋1，∴y＝logau. ∵u＝－x＋1 在(－∞，1)上是减函数， 当 a>1 时，y＝logau 在 u∈(0，＋∞)上是增函数； 当 0<a<1 时，y＝logau 在 u∈(0，＋∞)上是减函数； ∴当 a>1 时，f(x)＝loga(1－x)在(－∞，1)上是减函数； 当 0<a<1 时，f(x)＝loga(1－x)在(－∞，1)上是增函数．
0<x<25.
∴原不等式的解集为x|0<x<25

.

[例 3] 已知函数 f(x)＝logm(x＋1)－logm(1－x)(m>0 且 m≠1)，
(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性．
[思路点拨] (1)确定定义域是解 x＋1>0 且 1－x>0， 而不是1x－＋x1>0；(2)判断奇偶性可利用定义来判定．
(2)当 x>1 时，
原不等式化为
1 logx2>logxx.
∴x<12，这与 x>1 矛盾；
当 0<x<1 时，
原不等式可化为 logx12>logxx， ∴x>12. 结合 0<x<1，所以12<x<1. 故原不等式的解集为(12，1)．
[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含 条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对 数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式， 然后求交集即得原不等式的解集．
2
单调性来进行判断．
[精解详析] 由 6＋x＋2x2>0 得 2(x＋14)2＋487>0， 即函数定义域是 R 令 u(x)＝2x2＋x＋6， 则函数 u(x)＝2x2＋x＋6 的单调增区间为
(－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14)．
又∵y＝log1u 在(0，＋∞)上是减函数， 2
∴函数
(2)当 0<a<1 时，原函数与内层函数 f(x)的单调性不同， 即在 I1 上单调递减，在 I2 上单调递增．
2．关于对数函数性质的几点应用 (1)y＝logax 中定义域(0，＋∞)―可―延―伸―为→y＝logaf(x) 的定义域，需 f(x)>0. (2)y＝logax 过定点(1，0) ―可―延―伸―为→y＝logaf(x)过定 点，只需 f(x)＝1 即可．
第 3 章
3.2 3.2.2
第 二 课 时
把握热 点考向
应用创 新演练
考点一 考点二 考点三
3．2
对数函数
3．2.2 对数函数
第二课时 对数函数的图象和性质的应用
[例 1] 求函数 y＝log1(6＋x＋2x2)的单调区间． 2
[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域，把函数转化 为两个函数 y＝log1u，u＝6＋x＋2x2 构成，根据它们各自的
7．已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，求实
数a的取值范围．
解：∵a 是对数的底数，∴a>0 且 a≠1，∴函数 u＝2－ax 是减函数． ∵函数 y＝loga(2－ax)是减函数， ∴a>1.由 2－ax>0，解得 x<2a， ∴函数定义域是(－∞，2a)．
又∵函数在区间[0，1]上有意义， ∴[0，1] (－∞，2a)． ∴2a>1⇒a<2， ∴1<a<2.
∴y＝lg( x2＋1－x)是奇函数．
6．已知f(x)是定义在[－2，2]上的单调递增函数，且 f(x)的最大值为1，则满足f(log2x)<1的解集为 ________．
解析：函数 f(x)在[－2，2]上单调递增且 f(x)的最大值 为 1，∴f(2)＝1.∴f(log2x)<1 可化为 f(log2x)<f(2)，即 log2x<2，即 0<x<4. 又－2≤log2x≤2，∴14≤x≤4.故14≤x<4. 答案：[14，4)
(3)y＝logax 的单调性―可―延―伸―为→y＝logaf(x)的单调 性，利用 y＝logau 和 u＝f(x)的单调性判断．
(4)考查 y＝logaf(x)的奇偶性，定义域关于原点对称后 利用函数奇偶性的定义来判定较容易．
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y＝log1 2
(6＋x＋2x2)的单调增区间为(－∞，－14)，
单调减区间为(－14，＋∞)．
[一点通] (1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域； (2)对于形如y＝f(g(x))的函数的单调性，必须考虑u＝ g(x)与y＝f(u)的单调性，从而得出f(u)＝f(g(x))的单调性； (3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可 画出函数图象求解．
[精解详析] (1)由 x＋1>0 且 1－x>0 得 －1<x<ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. ∴f(x)的定义域是(－1，1)． (2)函数的定义域关于原点对称， 且 f(－x)＝logm(－x＋1)－logm(1＋x)＝ －[logm(1＋x)－logm(1－x)]＝－f(x)， ∴y＝f(x)是奇函数．
[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在： 对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握 对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、 单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．
5．已知函数 f(x)＝lg( x2＋1－x)，求定义域并判断函数
的奇偶性． 解：由题意 x2＋1－x>0，得 x∈R，即定义域为 R.
又 f(－x)＝lg[ （－x）2＋1－(－x)]
＝lg(
x2＋1＋x)＝lg
1 x2＋1－x
＝lg( x2＋1－x)－1
＝－lg( x2＋1－x)＝－f(x)，
[例 2] 解下列不等式： (1)log2(2x－1)<log2(－x＋5)；
1 (2)logx2>1.
[思路点拨] (1)利用y＝log2x的单调性求解；(2) 分类讨论，分x>1和0<x<1讨论．
[精解详析] 因为对数式中真数大于 0， 所以2－x－x＋15>>00，. 解得12<x<5. 又函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以原不等式化为 2x－1<－x＋5，解得 x<2. 所以原不等式的解集是{x|12<x<2}．