高一物理竞赛讲义第7讲.教师版

掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。

首先，因为运动分成平动和转动两种，所以平衡也分平动的平衡和转动的平衡两种。

平动的平衡就是我们说的受力平衡。

转动的平衡就是力矩平衡。

回忆一下初中我们如何处理平衡问题？
二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。

也可以用力的正交分解方法处理。

其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。

共点力平衡的正交分解方法：（请思考为什么三力平衡必共点） 运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。

①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画出受力图。

为了防止
漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。

②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。

③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。

④由平衡关系写出20
20
Fx Fy ==此即最后的静力学方程。

⑤根据此方程可解出所需要的问题。

正交分解处理受力平衡的技巧：
取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力
知识点睛
温馨寄语
第7讲 力的平衡
（一）
【例1】 均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若细线竖直，试分析棒
的受力情况。

【解析】注意这里棒不受摩擦力
【例2】 如图三根长度均为l 的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A 、B 两点，AB 两点相距2l ，
会在段链C 上悬挂一个质量为m 的重物，要使CD 杆保持水平，则在D 点上应施加的最小力为多少？
【解析1】受力分析：
解：①对C 点进行受力分析
.
②对D 点进行受力分析.
③对C 建立坐标系对力进行正交分析，求2T . 123
cos30mg mg T T ︒==⇒ 12sin30T T =︒=
④从D 点受力分析可以知道对D 点用力最小为2sin 60T F ︒= min 1mg 2
F =
【解析2】用力矩解（可以在板块二中讲解）
把ABCD 包括重物考虑成一个系统，一共受四个力A 点、B 点的墙对杆力，C 受一个重力，D 点一个外力，AC 杆、BD 杆力都沿杆，则必过一个交点E （如图）则对E 点只要C 点的重力，和所求的一个外力，要求力矩平衡并且F 最小，则F 的力臂应最长为DE ，则
例题精讲
mg sin30
F DE CE
=︒
mg
2
F=
【例3】两个质量为M，半径为R的相同圆球A和B，用两根长为l（2
l R
=）的绳悬挂于O点，在两球上另有一质量为m（m nM
=），半径为r（
2
R
r=）的圆球C，如图，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n的关系.
【解析】该图对称，可只考虑半边，对A球、C球分析。

①受力分析
A球：C球：
②建立直角坐标系，并受力分解，写出力平衡方程.
A球：cos cos Mg
T N
θα
=+
sin sin
T n
θα
=
C球：2N cos=mg=Mg
n
α
a和θ有关联：
sin3
2
3
sin
2
a R
R
θ
==⇒
2
443
sin
16(1)
n n
n
θ
+-
=
+
且
1
sin
3
θ≥即两球相交
∴
2
443110810
1.3
16(1)927
n n
n
n
+-+
≈
+
≥⇒≤
①若 1.3
n>，系统不能平衡.
② 1.3
n=系统平衡，且此时A、B无作用力
③ 1.3
n<，A：A、B球分开
2
443
arcsin
16(1)
n n
n
θ
+-
=
+
B：A、B接触，则
1
arcsin
3
θ=
【例4】一重为W的匀质球静止于倾角为
1
θ和
2
θ的两固定斜面之间，如图，设所有接触面都光滑，求斜面作用于球上的力。

【解析】①受力分析.
②建立坐标系，受力分解，写出力平衡方程.
1122
cos cos
N W N
θθ
=+
1122
sin sin
N N
θθ
=.
2
1
21112
sin
sin()cos sin cos
W W
N
θ
θθθθθ
==
--
1
2
21
sin
sin()
W
N
θ
θθ
=
-
【例5】 质量均为m 的两环A 、B 用长为a 的细线相连在水平杆上，在细线的中点拴有一质量为M 的物
块C ，如图，A 、B 环与杆间的静摩擦系数为μ，求平衡情况下的两环的最大距离x
.
【解析】①受力分析：
环： M ：
②建立坐标系，受力分解：
环：cos 2(1)sin N mg T m
tg f N T M θθμμθ=+⎫=+
⎬=+⎭⇒ M ：2cos T M θ=
∴22
22(1)2sin 21(1)m
a M x a m
M
μθμ+
==++
相互作用——力
我们的高中教材中提到了四种相互作用。

其中万有引力相互作用是很好理解的，质量本身的存在就产生了引力。

类似的只要有电荷，或者有电流，就有电磁相互作用。

存在相互作用，存在和距离有关的力，就必然有相应的势能。

同样的有了新的势能，就必然有新的对应的相互作用，或者力。

历史上，强弱两种相互作用就是这样发现的。

随着实验技术的进步，人们在研究基本粒子，放射性等涉及原子核，以及原子核的结构的实验的时候，发现了很多用引力和电磁力解释不了的现象。

人们发现了在β衰变中，仅仅用电磁力和引力，能量是不守恒的。

多余出来的能量，通过研究，发现它是一种新的势能，所以就由此定义了弱相互作用。

后来，费曼等等物理学家通过大量实验和复杂的数学，把电磁相互作用和弱相互作 用统一了起来，叫做电弱相互作用。

他们的理论可以简单理解为：电磁相互作用是
电弱相互作用在宏观的表现；弱相互作用是微观的表现。

而关于强相互作用， 因为作用距离很小，也就是它产生势能的范围很小，能量很高，很不稳定，研 究起来困难重重。

所以现在人们虽然定义了强相互作用，但是对于强相互作用 的理解，还有待于进一步的拓展。

板块二 力矩及刚体平衡
1．力矩 讲力矩 首先要规定矩心，就是对什么点的力矩，如图，取点O 为矩心（也就是转动的“中心”，其实是一个轴和平面的焦点），r 是从矩心到力的作用点的径矢，则力F 对0的力矩O 是r 跟F 的夹角。

通常还按右手螺旋法则规定力矩的方向，即垂直于r 和F 所在平面，且当右手螺旋从r 的方向转到F 的方向，其前进方向即M 的方向。

（关于力矩的大小和方向的以上规定常常也表示为矢量式M r F =×）
.
这里一定要注意，力矩和运动一样，一定要先选定参考点才可以去讨论力矩，同时力矩作为一个矢量，其加减也是对于同一个参考点下的力矩。

附录：矢量与矢量的乘积分均点乘和叉乘 点乘：||||cos a b a b θ=乘积结果为一个标量.
叉乘：||||sin a b a b θ=×叉乘结果的还是一个矢量，大小为前式的表达，该矢量的方向：垂直于a 和b 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向。

2．刚体平衡条件
①刚体：是指整体及其各部分的形状和大小均保持不变的物体，显然这也是对客观物体的一个抽象，但是质点的抽象更具体一些，因为给出了形状。

同时刚体也正因为有了形状，其运动方式要比质点更复杂，除了平动以外，还有刚体可以绕着任意一点做转动。

②刚体的平衡：单纯力给出物体的平动，而力矩可以使物体绕着某个点转动，因此，要让刚体平衡，必须满足两个条件. 20F =⇒合力为0.
20M =⇒相对于任意一点的合力矩为0.
注意：作用在同一刚体（或系统）但不同作用点的力可以平移到同一点进行合力，不同作用点的效果由力矩来体现. ③力偶与偶矩
对大小相等，方向相反但不共线的力，称为力偶.
对力偶的合力为0，但它们对任意一定点的力矩不为0.
12121121121r F r F r F r F r F ++=-=××××
二力平衡 对于一个受两个力的物体，这两个力必须方向相反，并在同一直线上才能使该物体平衡了。

三力平衡 如果一个刚体只受三个力作用，而且这三个力不平行，那么，由于合力为0，这三个力必
知识点睛。