重庆市巴蜀中学2018届高三适应性月考(九)数学(文)试题(解析版)

巴蜀中学2018届高考适应性月考卷（九）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：化简集合，利用交集的定义列不等式求解即可.
详解：，
若，则，
即实数的取值范围是，故选A.
点睛:本题主要考查交集的定义以及不等式的解法，属于简单题.
2.复数z满足z•i=|﹣i|，则在复数平面内复数z对应的点的坐标为（）
A. （1，0）
B. （0，1）
C. （﹣1，0）
D. （0，﹣1）
【答案】D
【解析】
分析：先求出复数的模，两边同除以，从而可得结果.
详解：，
，
在复数平面内复数对应的点的坐标为，故选D.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.函数的零点个数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：先判断函数的单调性，然后利用零点存在定理判断，即可得结果.
详解：递增，且递增，
递增，
，，
由两点存在定理可得，
的零点个数为，故选B.
点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法.
4.已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由与的等比中项为，可得，利用等比数列的性质结合基本不等式可得结果.
详解：与的等比中项为，，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，故选C.
点睛：本题主要考查利用等比数列的性质以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
5.在不等式的解集对应的区间上随机取一个实数，若事件“”发生的概率为，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：求出不等式的解集，化简不等式，利用几何概型概率公式列方程求解即可.
详解：由，得，
由，得，
事件“”发生的概率为，
，得，故选A.
点睛：本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
6.执行如图1所示的程序框图，若输出的值为，则图中判断框内①处应填（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到到输出的值为，即可得输出条件.
详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，时，应退出循环，
故图中判断框内①处应填，故选C.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；
(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
7.将函数的图象左移，得到函数的图象，则在上对应的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：利用两角和与差的余弦公式、诱导公式以及二倍角的正弦公式与辅助角公式化简函数解析式为，根据相位变换法则可得，利用正弦函数的单调性可得结果.
详解：化简
，图象向在平移，
可得，
，
令，得，
在上对应的单调递增区间是，故选D.
点睛：本题主要考查两角和与差的余弦公式、诱导公式以及二倍角的正弦公式，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
8.已知直线是圆的一条对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：利用直线是圆的一条对称轴，求得，根据两点间距离公式以及勾股定理可得结果.
详解：直线是圆的一条对称轴，
过圆心，，得，
直线方程为，点坐标为，
，由勾股定理可得，
，，故选B.
点睛：本题主要考查圆的标准方程以及圆的切线长的求法，意在考查数形结合思想与灵活运用所学知识解决问题的能
力，属于中档题.
9.实数满足约束条件且目标函数的最小值是，最大值是，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：
详解：
，即有最小值，又有最大值，
表示的可行域为封闭区域，
画出可行域，如图，由图可知，
可得在分别求得最小值与最大值，
由，得，
最小值，①
由，得最大值时，
由在上，
得，②
由①②得，故选B.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10.在直三棱柱中，，是直线上一动点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：将二面角展成，则四点共面，最小值就是平面内的长，利用余弦定理即可的结果.
详解：将二面角展成，
则四点共面，
最小值就是平面内的长，
在中，，
，
由余弦定理可得
，故选C.
点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，利用点到线的距离、点到面的距离、多面体展开图中两点间的距离等等，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
11.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：构造函数，利用函数的奇偶性与单调性可得，，从而可得结果.
详解：构造函数，
则是奇函数，且在上递增，
由题知，，
，可得，
，，
可得，故选D.
点睛：本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及等差数列的性质与求和公式，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，
注意数列中相关限制条件的转化.
12.已知抛物线的焦点为是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且
同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：设，利用都在以同一个以为圆心的圆上，求得，
利用导数的几何意义求得，利用两点式、化简可得直线的方程为，从而可得结果.
详解：，设，
都在以同一个以为圆心的圆上，
，
解得，
，得，
从而得，的方程为，
化为，过点，故答案为.
点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量满足，且，则向量与的夹角是__________．
【答案】
【解析】
分析：由，且，利用数量积的运算法则以及平面向量数量积公式可得，从而可得结果. 详解：由
，
得，，故答案为.
点睛：本题主要考查向量的模与夹角，平面向量数量积公式及其运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.
14.设则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
分析：对分两种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果
详解：，，得或，得，
解集为，故答案为.
点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
15.观察如下规律：，则该数列的前项和等于__________．
【答案】150
【解析】
分析：由，发现该数列各项的共同规律，分组求和即可.
详解：由，发现该数列，
由个，个，个，个组成，
，该数列前项，
由个，个，个，个组成，
即
，故答案为.
点睛：本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】
【解析】
分析：存在唯一的整数，使得，等价于，存在唯一的整数，使，利用导数研究函数的单调性，由于一定成立，且，只需，解不等式可得结果.
详解：
存在唯一的整数，使得，等价于，
存在唯一的整数，使，
，在上递减，在上递增，
，一定成立，
又，只需，
即，
又，
即实数的取值范围是,故答案为.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用
这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，且满足，求的最大值.
【答案】（1）；（2）4
【解析】
分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2）令由结合
可得由得，利用余弦定理结合均值不等式可得结果.
详解：（1）．
（2）令则
．
当且仅当时取“”，所以.
点睛：以三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
18.社会在对全日制高中的教学水平进行评价时，常常将被清华北大录取的学生人数作为衡量的标准之一．重庆市教委调研了某中学近五年（2013年-2017年）高考被清华北大录取的学生人数，制作了如下所示的表格（设2013年为第一年）．
年份（第年）
人数（
（1）试求人数关于年份的回归直线方程；
（2）在满足（1）的前提之下，估计2018年该中学被清华北大录取的人数（精确到个位）；
（3）教委准备在这五年的数据中任意选取两年作进一步研究，求被选取的两年恰好不相邻的概率．
参考公式：，．
【答案】（1）；（2）59；（3）0.6
【解析】
分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，进而求可得公式中
所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，而可得关于的回归方程；（2）2018年对应的，代入（Ⅰ）(人); （3）利用列举法，所有的基本事件共个，恰好不相邻的基本事件共6个，利用古典概型概率公式可得结果.
详解：（1）．
（2）2018年对应的，代入（Ⅰ）(人)．
（3）所有的基本事件共10个：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，
恰好不相邻的基本事件共6个，则．
点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19.如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，试求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
分析：（1）由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）取AD的中点O，则平面，由，从而利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：（1）证明：
．
（2）解：取AD的中点O，则，
，则．
又易知，
所以，解出．
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
20.已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为.求证：
为定值，并求出这个定值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
分析：（1）由短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，可得椭圆的方程为，将
代入解出，从而可得结果；（2）设为，代入，求出
的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，消去参数即可的结果.
详解：（1）椭圆的方程为，
将代入解出，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：由已知得，
若斜率不存在，则；
（ii）若斜率存在，设为，
代入，
，
又，
所以
．
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21.已知函数.
（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；
（2）若函数图象与轴有且仅有一个交点，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，对任意的，均有成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
分析：（1）求出由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线
在点处的切线方程；（2）令令
，利用导数研究函数的单调性，可得，结合图象可得；（3）因为，所以
令，分三种情况讨论，可筛选出符合题意的实数的取值范围.
详解：（1）时，，
，
所以切线方程为，即．
（2）令
令
易知在；在，
，结合图象可得．
（3）因为，所以
令，
由．
（i）当时，，
有；恒成立，
得所以；
（ii）当时，
则；，
所以，则，
综上所述，．
点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）
求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中采取相同的单位长度.曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设点，若直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】(1)；.
(2) .
【解析】
分析：第一问利用极坐标与平面直角坐标之间的关系，将其极坐标方程转化为平面直角坐标方程，将参数方程消参，将其转化为普通方程；第二问将直线的参数方程代入曲线方程中，化简，结合直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求得结果.
详解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为，
直线的普通方程为．
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，
得，，异号，
．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标方程与平面直角坐标方程的转换关系以及参数方程向普通方程的转化，再者就是需要明确直线的参数方程中参数的几何意义，将直线的参数方程代入曲线的方程中，结合韦达定理求得结果.
23.已知函数（且）.
（1）当时，解不等式；
（2）若的最大值为，且正实数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
分析：第一问首先利用零点分段法，将绝对值符号去掉，将其转化为三个不等式组，将不等式组的解集取并集，求得结果；第二问利用三角不等式求得其最小值，可以转化为，得到之后将式子变形，利用基本不等式求得结果.
详解：（Ⅰ）①当时，；
②当时，；
③当时，
综上所述，不等式的解集为．
（Ⅱ）由三角不等式可得
的最小值为2，
当且仅当时取等号．
点睛：该题考查的是有关不等式的问题，在求解的过程中，需要明确绝对值不等式的解法，再者就是利用三角不等式求得其最值，之后借助于基本不等式求得其最值，在解题的过程中，一定要注意相关的条件.。