第06讲 向量法求空间角(含探索性问题) (讲)-1(含答案解析)

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）(讲）
-1
第06讲向量法求空间角（含探索性问题）(精讲）
知识点一：异面直线所成角
设异面直线1l 和2l 所成角为θ，其方向向量分别为u r ，v
；则异面直线所成角向量求法：
①cos ,||||u v
u v u v ⋅<>=
②cos |cos ,|
u v θ=<>
知识点二：直线和平面所成角
设直线l 的方向向量为a
，平面α的一个法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则①cos ,||||a n
a n a n ⋅<>=
；
②sin |cos ,|a n θ=<>
．
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，AB ，CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=<>
．
（2）如图②③，1n u r ，2n u u r
分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角
的大小θ满足：
①12
1212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>=
；②12cos cos ,n n θ=±<>
若二面角为锐二面角（取正），则12cos |cos ,|n n θ=<>；
若二面角为顿二面角（取负），则12cos |cos ,|n n θ=-<>；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角．
）
（2022·广西南宁·一模（理））
1．在正方体1111ABCD A B C D -中O 为面11AA B B 的中心，1O 为面1111D C B A 的中心.若E 为
CD 中点，则异面直线AE 与1OO 所成角的余弦值为（
）
A
B
C
D
（2022·全国·高三专题练习）
2．
在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，1AB AC ==，2PA =，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（
）
A
．
5
B
．
5
C
D
（2022·全国·高二）
3．点A ，B 分别在空间直角坐标系O-xyz 的x ，y 正半轴上，点C （0，0，2），平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =
，设二面角C—AB—O 的大小为θ，则cos θ的值为（）
A
．B
C ．23
-
D ．
23
（2022·全国·高三专题练习）
4．在三棱锥-P ABC 中，2AB BC ==
，AC =PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别为AC ，PB
的中点，MN =Q 为线段AB 上的点（不包括端点A ，B ），若使异面直线PM 与CQ
所成角的余弦值为34
，则BQ BA =
（）
A ．
14
或4B ．1
2
C ．
13
D ．
14
（2022·全国·高二）
5．
在三棱锥-P ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（
）
A ．
1111
B ．
21111
C ．
31111
D ．
41111
题型一：异面直线所成的角典型例题
（2022·江苏泰州·高二期末）
6．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，14AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，则1BC 与1CA 所成角的正弦值为（
）A ．
2142
B 342
C ．
2114
D 5714
（2022·安徽·高二期末）
7．直角梯形ABCD 中，,4,2,22,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120 ，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（）
A ．
14
B 154
C 7
4
D ．
34
（2022·广西·高三阶段练习（文））
8．某圆锥的正视图如图所示，S 为该圆锥的顶点，,A B 分别是圆锥底面和侧面上两定点，P 为其底面上动点.,,,S A B P 四点在其正视图中分别对应点,,,S A B P ''''.若S P A P ''''⊥，
2π
3
A S
B '''∠=
，2A S ''=，则异面直线AB 与SP 所成角最大时，SP 的长为（）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．1
2
（2022·吉林长春·模拟预测（理））
9．现有四棱锥P ABCD -（如图）
，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，
3AD =，点E ，F 分别在棱AB ，BC 上.当空间四边形PEFD 的周长最小时，异面直线
PE 与DF 所成角的余弦值为___________.
题型归类练
（2022·河南安阳·高一阶段练习）
10．已知在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .若12AA =，1AB =，E 是线段1DD 的中点，1111A C B D O = ，则异面直线CE 与BO 所成角的余弦值为（）
A ．
35
B ．
56
C ．
23
D ．
34
（2022·辽宁丹东·模拟预测）
11．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，ABC 是正三角形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，则直线MN ，PB 所成角的余弦值为（）
A B ．
4
C ．
2
D ．
34
（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）
12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()
A B ．
3
C D ．
2
（2022·重庆八中模拟预测）
13．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱11A B 、
11B C 的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，3
a
AP =
，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则异面直线1B Q 与1AC 所成角的余弦值为___________．
（2022·陕西·长安一中高二期末（理））
14．空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠= ，
60OAB ∠= ，则OA 与BC 所成角的余弦值等于___________．（2022·山西太原·一模（理））
15．已知在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，若三棱锥
的外接球体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为__________.题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）典型例题
（2022·江苏·南京师大附中高二期末）
16．已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为4，M 在棱11A B 上，且13A M MB =1，则直线BM 与平面11A B CD 所成角的正弦值为___________．（2022·全国·高三专题练习）
17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11A B ，BC 的中点，则EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为___________.
（2022·江苏省阜宁中学高二期中）
18．已知AB 是圆柱底面圆的一条直径，OP 是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，
且//AC OB ，OP AB ==，则直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为________．
（2022·全国·高三专题练习）
19．在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________.题型归类练
（2022·全国·高三专题练习）
20．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是对角线BD 1上的点，且BE ∶ED 1=1∶3，则AE 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值是___________.（2022·全国·高二单元测试）
21．在菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，将ABD △沿BD 折叠，使平面ABD ⊥平面BCD ，则AD 与平面ABC 所成角的正弦值为___________.（2022·海南·模拟预测）
22．
在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,0)A ，(0,3,2)B ，(2,0,3)C ，若平面//y α轴，且BC α⊂，则直线AC 与平面α所成的角的正弦值为___________.（2022·全国·高三专题练习）
23．如图，ADC △和DBC △所在平面垂直，且AD BD CD ==，120ADC BDC ∠=∠= ，则直线AB 与平面ADC 所成角的正弦值为___________.
参考答案：
1．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线AE 与1OO 所成角的余弦值.【详解】设正方体的边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，
()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O ，()()12,1,0,1,0,1
AE OO =-=- ，设异面直线AE 与1OO 所成角为θ，
则11
cos AE OO AE OO θ⋅=⋅
故选：
B
2．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.【详解】因为90BAC ∠=︒，所以BA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，,BA AC ⊂平面ABC ，所以,PA AC PA AB ⊥⊥，以A 为空间直角坐标系的原点，以AB AC AP ，，所在的直线为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()11110,0,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12222A P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
(0,0,2)PA = ，
1(0,,0)2DE = ，11,,122DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面DEF 的法向量为(,,)m x y z =
，所以有()1
0022,0,11100
2
2y m DE
m DE m m DF
m DF x y z ⎧=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⇒
⇒⇒=⎨⎨⎨⊥⋅=⎩⎩⎪-++=⎪⎩
，设直线PA 与平面DEF 所成角为θ，
所以sin cos ,5PA m PA m PA m θ⋅=〈〉==⋅
，
故选：
B
3．D
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设平面ABO 的法向量为(,,)m x y z =
，设(,0,0)(0),(0,,0)(0)A a a B b b >>，
则(,0,0),(0,,0)OA a OB b == ，于是有：00(0,0,1)0
0ax OA m m by OB m ⎧=⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎩
，
因此2
cos 3
m n m n θ⋅==
=⋅ ，故选：D 4．D
【分析】先证明出BA BC ⊥，以B 为原点,,,BA BC BP
为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐
标系，用向量法求解.
【详解】如图,在三棱锥-P ABC 中,2AB BC ==
,AC =,∴BA BC ⊥.
∵PB ⊥平面ABC ,以B 为原点,,,BA BC BP
为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.
可知()0,0,0B ,()()0,2,0,1,1,0C M .
因为BM MN ==
2BN ==,所以PB =4,则P (0，
0，4).设BQ
BA λ=,且0<λ<1,则()2,0,0Q l ,可知()1,1,4PM =- ，()2,2,0CQ λ=-
所以()()12124022PM CQ λλ=⨯+⨯-+-⨯=-
,
PM = ，
CQ =
因为异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为
34
,
所以
34
PM CQ PM CQ ⨯ 解得：1
4
λ=
或4λ=（舍去）.所以14
BQ BA =
.故选：D 5．C
【解析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥ ，且PA AC A = ，
AB ∴⊥平面PAC ，
易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，
3tan AB ADB AD AD
∠=
=，当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC ∆中，
当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，
则(0,1,1)AD = ，(0,2,2)PC =- ，(3,2,0)
BC =-
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0n PC n BC ⋅=⋅=
，
即220320y z x y -=⎧⎨
-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =
.
因为
cos ,
n AD 〈〉= AD 与平面PBC .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.6．D
【分析】先利用基底表示向量11,BC CA
，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：11111,BC AD AA CA AA AC AA AD AB =+=-=--
，则()()
1111BC CA AD AA AA AD AB ⋅=+⋅-- ，
2211116AD AA AD AD AB AA AD AA AB AA =⋅--⋅+-⋅-⋅= ，
1BC =
21CA =
2=
111111cos ,BC CA BC CA BC CA ⋅==⋅ ，
所以11sin ,14BC CA = ，故选：D
7．
D 【分析】建立空间直角坐标系求解即可
【详解】建如图所示空间直角坐标系，得)
11,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E
C ，所以()
()1,0,2,2A D EC ==
，所以1113cos ,4A D EC A D EC A D EC ⋅==
.故选：D
8．B
【分析】根据题意还原圆锥，建立空间直角坐标系解题即可.
【详解】根据题意还原圆锥，建立如下图所示空间直角坐标系，
点P 在x 轴正半轴原点O 与底面圆周的交点之间运动，因为圆锥母线为2，
且在正视图中S P A P ''''⊥，2π3
A S
B '''∠=，2A S ''=
，所以底面圆直径为
OP a ⎡=∈⎣.
所以()
0,A ，(),0,0P a
，12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1S ，
所以10,,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，(),0,1SP a =- ，
设异面直线AB 与SP 所成角为θ，所以12cos AB SP AB SP θ⋅== AB 与SP 所成角最大，即12cos AB SP AB SP θ⋅==
故当a =时，12cos AB SP AB SP θ⋅== 取最小值，
所成角最大，此时2SP == .
故选：B.
9．15
##0.2【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】将PAB 沿AB 旋转到平面ABCD
内，如下图所示，
设点D 关于CB 对称的点为1D ，线段1PD 与,AB BC 的交点为,E F ，
此时空间四边形PEFD 的周长最小，
因为1//AE DD ，所以111242
AE PA AE AE DD PD =⇒=⇒=，同理可得：11
12113BE BF BF BF CD CF
BF -=⇒==-，
因为底面ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥，
又因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，
所以,PA AB PA AD ⊥⊥，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(0,0,1),(0,3,0),(1,1,0),(,0,0)2
A P D F E ，1(,0,1),(1,2,0)2
PE DF =-=- ，异面直线PE 与DF 所成角的余弦值为：
2222111251()(1)1(2)2PE DF PE DF
⨯⋅==⋅+-⨯+- ，故答案为：1
5
【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键.
10．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
11(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(,,2)22
C B E O ，11(0,1,1),(,,2)22
CE BO =-=-- ，所以异面直线CE 与BO 所成角的余弦值为12526112444
CE BO CE BO +⋅=⋅⨯++ ，故选：B
11．D 【分析】利用空间向量处理，根据异面直线夹角的处理cos cos ,m n m n m n
θ== 代入计算．【详解】如图，以AC 的中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设4
PA =则(
))(
)()0,0,2,1,0,0,2,4,N M
P B -
-
)()
1,2,2,4NM PB =--=- 3cos ,4MN PB MN PB MN PB == ，则直线MN ，PB 所成角的余弦值为34
故选：D
．
12．A
【分析】将三棱锥A BCD -放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM 与CD 夹角的余弦值．
【详解】如图，正方体内三棱锥A -BCD 即为满足题意的鳖臑A BCD -，
以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()0,1,0C ，()1,1,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则111,,222BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1,0,0CD =
，12cos ,BM CD BM CD BM CD ⋅=⋅ 则异面直线BM 与CD
夹角的余弦值
3
．故选：A ．
13
．57
【分析】以点1D 为坐标原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分析可知//MN PQ ，可求得点Q 的坐标，再利用空间向量法可求得结果.
【详解】以点1D 为坐标原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系，
则(),0,A a a 、()1,,0B a a 、()10,,0C a 、,,02a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,0,3a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面PMN 平面ABCD PQ =，平面PMN 平面1111A B C D MN =，所以，//MN PQ ，
设点()0,,Q t a ，,,022a a MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，2,,03a PQ t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，因为//MN PQ ，所以，23a t =，即点20,,3a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3a B Q a a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ ，()1,,AC a a a =-- ，
所以，211111113cos ,a B Q AC B Q AC B Q AC -⋅<>==-⋅ .因此，异面直线1B Q 与1AC
14
．35-【分析】计算出OA BC ⋅ 的值，利用空间向量的数量积可得出cos ,OA BC <> 的值，即可得解.
【详解】()
2cos12040OA OB OA OA AB OA OA AB ⋅=⋅+=+⋅= ，(
)
2cos13564OA OC OA OA AC OA OA AC ⋅=⋅+=+⋅=- 所以，(
)(
644024OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅=--=- 所以，24162322cos ,855OA BC OA BC OA BC
⋅--<>===⨯⋅ .所以，OA 与BC
所成角的余弦值为
35-.
故答案为：
35-.15．12##0.5
【分析】根据给定条件，确定出三棱锥外接球球心并求出球半径，再借助空间向量计算作答.
【详解】在三棱锥-P ABC 中，因PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，则PA AC ⊥，PA BC ⊥，而AB BC ⊥，
PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，因此，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，则BC PB ⊥，
取PC 中点O ，连接BO ，AO ，如图，于是得OB OC OP OA ===，即有O 是三棱锥-P ABC
的外接球球心，
由343V OA π=
⋅=
得：OA
PC =，而2PA AB ==，
则有45AC BAC =∠= ，
而PB =PB AB AP =- ，则()PB AC AB AP AC AB AC AP AC ⋅=-⋅=⋅-⋅
2454=⨯= ，
从而有1cos ,2
||||PB AC PB AC PB AC ⋅〈〉== ，所以异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为1
2.故答案为：12
16
【分析】作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面11A B CD 的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.
【详解】如图所示，以D 为原点，DA 方向为x 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，
所以有，()0,0,0D ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，(),,B 440，()4,1,4M ，
则()14,0,4DA = ，()0,4,0DC = ，()0,3,4MB =- ，
设平面1A DC 的法向量(),,n x y z = ，则由
140440n DC y n DA x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，令1x =，得()1,0,1n =- ，设直线BM 与平面11A B CD 所成角为θ
，则
sin cos ,n MB n MB n MB
θ⋅=<>== ，
故答案为：
5.17
．3
【分析】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.求出平面11A BC 的一个法向量，由向量法求解线面角.
【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则(2,1,2),(1,2,0)E F ，11(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2)B A C .
所以11(2,2,0)AC =- ，1
(0,2,2)BA =- ，(1,1,2)FE =- ，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则111.0.0
n A C n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即220220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1y =，则(1,1,1)n = ，设EF 与平面11A BC 所成角为α，
则||sin |cos ,|3||||n FE n FE n FE α⋅=〈〉==⋅ .
故答案为：
3
18
．10
【分析】先证明OABCB 是正方形，然后以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，写出各点坐标，用空间向量法求线面角．
【详解】AB 是底面圆直径，则AO BO ⊥，又OP 是圆柱母线，则OP ⊥平面OABC ，以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =
，则AB OP =
，所以1OB ==，
//AC OB ，所以90OAC ∠=︒，而90ACB ∠=︒，所以四边形OACB
是正方形，
P ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C
，
(1,1,PC =uu u r ，(1,1,0)AB =-
，(AP =- ，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
则00n AB x y n PA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取1z =
得x y ==
n = ，设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，
所以sin cos ,10
n PC n PC n PC θ⋅=<>== ，
故答案为：10．19．2
【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出CD 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式
可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.
【详解】因为OC OA OB 、、两两垂直，所以以O 为原点，OA OB OC 、、分别为x y z 、、轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，
所以()3,0,0A ，()0,4,0B ，()0,0,5C ，3,2,02
D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2,52CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO 是底面OAB 的法向量，且()0,0,5CO =- ，设CD 与平面OAB 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝
⎭，
所以sin cos ,CO CD CO CD CO CD
θ⋅===⋅
所以cos θ=sin tan 2cos θθθ
==.即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.
20
．11
【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答.
【详解】分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，如图，令正方体棱长为4，则(4,0,0)A ，(4,4,0)B ，1(0,0,4)D ，依题意，11(1,1,1)4BE BD ==-- ，(0,4,0)(1,1,1)(1,3,1)AE AB BE =+=+--=- ，平面BCC 1B 1的一个法向量为AB =(0，4，0)，
设AE 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则有
||sin |cos ,|||||AE AB AE AB AE AB θ⋅=〈〉=⋅
11=，所以AE 与平面BCC 1B 1
所成的角的正弦值是
11
.
故答案为：11
21
．5
【分析】根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理及题意，可证AO OC ⊥，AO OD ⊥，
CO BD ⊥，如图建系，求得各点坐标，进而可得,,AB AC AD 坐标，即可求得平面ABC 的法
向量n ，根据线面角的向量求法，即可得答案.
【详解】取BD 中点O ，连接AO 、CO ，
因为60BAD ∠= ，所以ABD △、CBD △为等边三角形，
因为O 为BD 中点，
所以AO BD ⊥，CO BD
⊥因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BCD=BD ，AO ⊂平面ABD ，
所以AO ⊥平面BCD ，
又,OC OD ⊂平面BCD ，
所以AO OC ⊥，AO OD ⊥，
以O 为原点，OC 、OD 、OA 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，
设菱形ABCD 的边长为2，
则(0,1,0),(0,1,0)
A B C D -
所以(0,1,(0,1,AB AC AD =-== ，
设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =
，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即00
y ⎧--=⎪=，令1x =
，则1y z ==
，即(1,n = ，
设AD 与平面ABC 所成角为θ，
则sin cos ,5
n AD n AD n AD θ⋅=<>==⋅ ，所以AD 与平面ABC
所成角的正弦值为
5.
故答案为：5
22
．11
【分析】根据题意设平面α的法向量为(,0,)n x z = ，进而根据n BC ⊥ 得(1,0,2)n =- ，再根
据向量方法计算AC 与平面α所成的角的正弦值.
【详解】解：(2,3,1)BC =- ，(1,1,3)AC =- ，
由平面α平行于y 轴，可设平面α的法向量为(,0,)n x z =
，
因为BC α⊂，
所以n BC ⊥ ，即20x z +=，所以可取(1,0,2)n =- ，
所以cos ,11||||n AC n AC n AC ⋅〈〉==- ，所以直线AC 与平面α
故答案为：
1123
．2
【分析】设2AD BD CD ===，在平面ADC 、平面BDC 内分别作直线CD 的垂线DE 、DF 分别交AC 、BC 于点E 、F ，证明出DF ⊥平面ADC ，以点D 为坐标原点，DE 、DC 、DF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AB 与平面ADC 所成角的正弦值.
【详解】设2AD BD CD ===，在平面ADC 、平面BDC 内分别作直线CD 的垂线DE 、DF 分别交AC 、BC 于点E 、F ，如下图所示：
因为平面ADC ⊥平面BDC ，平面ADC 平面BDC CD =，DF ⊂平面BDC ，DF CD ⊥，DF ⊥∴平面ADC ，
因为DE CD ⊥，DE ⊂平面ADC ，
以点D 为坐标原点，DE 、DC 、DF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如上图所示的空间直角坐标系，
则)1,0A -
、(0,B -
，(AB = ，易知平面ADC 的一个法向量为()0,0,1n =
，则cos ,2AB n AB n AB n
⋅<>==⋅ ，因此，直线AB 与平面ADC
所成角的正弦值为
2.
.。