《推荐》试题君之大题精做君2016-2017学年高二数学人教A版必修5(第02-03章)Word版含解析

第二章 数 列
大题精做4 2.4等比数列
1．已知等比数列{}n a 中，310=3384=a a ，，求该数列的通项.n a
2．若,a b 是任意两个实数，则与一定有等差中项和等比中项吗？
3．等比数列{}n a 中2766a a +=，36128a a =，求等比数列的通项公式.n a
4．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1236a a =+，344a a =+，求1234,,,a a a a 的值.
5．已知等比数列{}n a 满足32152,027a a a a a ==-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若3log 33+=n n a b ，求证：{}n b 是等差数列.
6．（2015-2016学年湖南省衡阳一中高二下学业水平模拟数学试卷（1））已知数列{}n a 的通项公式
22n a n =+*()n ∈N
（1）求25,a a ；
（2）若25,a a 恰好是等比数列{}n b 的第2项和第3项，求数列{}n b 的通项公式．
7．已知递增的等比数列{}n a 满足：21234,14a a a a =++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：数列{}n a 中任意三项不能构成等差数列.
8．数列{}n a 中，112n n a a a cn +==+，（是常数，1,2,3,n =⋯），且123,,a a a 成公比不为1的等比数列． （1）求的值；
（2）求{}n a 的通项公式．
9．汉诺塔问题是根据一个传说形成的：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上： ①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面.
如图所示，将杆A 上所有碟片移到C 杆上，B 杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆移动到另一个杆为移动一次，记将A 杆上的个碟片移动到C 杆上最少需要移动n a 次. （1）写出123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.
10．（2016·新课标III 理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （5）若531
32
S = ，求λ．
11．（2016·新课标III 理）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2
11(21)20n
n n n a a a a ++---=. （1）求23,a a ； （2）求{}n a 的通项公式.
12．（2015·北京）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
13．（2015·广东）设数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a 的值；
（2 （3）求数列{}n a 的通项公式．
14．（2014·福建）在等比数列{}n a 中，2
53,81a a ==.
（1）求n a ； （2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前项和n S .
15．（2014·陕西）ABC △的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.
（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.
1．3
32n n a -=⨯
【解析】由题意，知2
319
1013,384,a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩①
② ②÷①，得7
1282q q =∴=，
. ∴134a =
，∴113
132324
n n n n a a q ---==⨯=⨯. 2．详见解析
【解析】a 与b 一定有等差中项A ，且2
a b
A +=
，但不一定有等比中项.当0ab ≤时，a 与b 没有等比中项.当0ab >时，a 与b 有等比中项G
，且G =
3．18*
22.n n n n a a n --==∈N 或，
【解析】设等比数列的首项为a 1，公比为q ，由题意，知
272722773627
66,66,2,64,
64 2.128128a a a a a a a a a a a a +=+===⎧⎧⎧⎧⇒⇒⎨
⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或 ∴5
5722a q a =
=或511
222
q ⇒=或. ∴2
128
12==2
n n n n a a q
---或
.
∴数列的通项公式为18*
22.n n n n a a n --==∈N 或，
【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，除了直接把题意翻译成数列之外，如果能合理地利用等比数列的性质，往往可以更简单地得到答案．
4．2,6,18,544321====a a a a 或1,3,9,274321-==-==a a a a 【解析】由题意，易知1≠q ，
由题意，得()()123
1136,
4a q a q q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
时，2,6,18,544321====a a a a . 时，1,3,9,274321-==-==a a a a .
5．（1）3n
n a =;（2）证明详见解析
【解析】（1） 设数列{}n a 的公比为,由已知得422
111127,a q a q a q a q ==,
解得13,3a q ==;
所以*3,n n a n =∈N ;
（2）由3log 33+=n n a b 得33log 3333n
n b n =+=+.
又()1313333n n b b n n +-=++--=, 所以数列{}n b 是首项为,公差为的等差数列.
6．（1）26a =，512a = ；（2）1
32n n b -=⨯
【解析】（1）∵22n a n =+，
∴22226a =⨯+=，525212a =⨯+=． （2）设等比数列{}n b 的公比为， ∵2235612b a b a ====，． ∴3212
26
b q b =
==． ∴2
2126232n n n n b b q
---==⨯=⨯． 【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（1）2n
n a =；（2）见解析.
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为， 由14321=++a a a ，得
又42=a 且{}n a 是递增的等比数列，∴2=q .
∴数列{}n a 的通项公式为2n
n a =；
（2）证明：假设数列{}n a 中三项m a ，n a ，p a 成等差数列，且p n m <<.
∴p m n a a a +=2，∴1
2
22
n m p
+=+.
∴m p m n -+-+=212
1
……()*.
p n m <<，∴1,2≥-≥-m n m p ，
∴()*式左边是偶数，右边是奇数，矛盾. ∴数列{}n a 中任意三项不能构成等差数列.
8．（1）2c =；（2）2
2(12n a n n n +=-=，
，) 【解析】（1）1232223a a c a c ==+=+，，，
因为123,,a a a 成等比数列，所以2
2223c c +=+（）（），
解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．
（2）当2n ≥时，由于213212(1)n n a a c a a c a a n c ===----﹣，，， 所以1(1)
[12(1)].2
n n n a a n c c --=++
+-=
又122a c ==，，故2
2(1)2(2,3,)n a n n n n n -=+-=+=⋯．
当1n =时，上式也成立，
所以2
2(1,2,)n a n n n +=-=⋯.
9．（1）123137a a a ===，，；（2）21n
n a =-
【解析】（1）123137a a a ===，，； （2）依题意，得121n n a a +=+，
设()12n n a a λλ++=+，即12n n a a λ+=+. 对比得1λ=，又11112a +=+=，
所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.
∴12n n a +=，∴21n
n a =-.
10．（1）1
)1
(11---=
n n a λλλ；（2）1λ=-．
【解析】（1）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ
-=
11
1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，
所以
1
1-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为
λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1
)1
(11---=n n a λλλ. （2）由（1）得n n S )1(1--=λλ
.由32315=S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1
(λλ321. 解得1λ=-.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n n
a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列
来求解． 11．（1）41,2132==
a a ；
（2）12
1
-=n n a ． 【解析】（1）由题意，得4
1
,2132==
a a . （2）由02)12(112
=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .
因为{}n a 的各项都为正数，所以2
1
1=+n n a a . 故{}n a 是首项为，公比为
21的等比数列，因此12
1
-=n n a . 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n n
a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来
求解．
12．（1）22n a n =+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.
所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =.
（2）设等比数列{}n b 的公比为.
因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.
所以61
642128b -=⨯=.
由12822n =+，得63n =. 所以6b
与数列{}n a 的第63项相等.
13．（
1（2）证明见解析；（3
【解析】（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即
（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），
2144n n n a a
a +++=，因为
（3）由（2）知：数
首项，公比等比数列，所以所以数是为首项，公差为的等差数列，所以所以数列{}n a 的通项公
14．（1） 1
3
n n a -=.（
2【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得
141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113
a q =⎧⎨
=⎩，因此，1
3n n a -=. （2）因为3log 1n n b a n ==-，
所以数列{}n b 的前
n 15．（1）证明见解析；
（2【解析】（1）
c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=.由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=
sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，()sin sin 2sin A C A C ∴+=+.
（2）
c
b a ，，成等比数列，2b a
c ∴=.
2c a =，
大题精做5 2.5等比数列的前n 项和
1．求数列2,
3
1
,(1,3,57,21)n a a a n a -⋯-的前项和．
2．等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知132,S S S ,成等差数列．
（1）求{}n a 的公比； （2）若133a a -=，求n S . .
3．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知2136,630a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求该数列的前项和n S .
4．已知数列}{n a 满足121-+=+n a a n n ，且11=a . （1）求证：}{n a n +为等比数列； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .
5．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若11a =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n b =，求数列{}n n a b +的前项和n S .
6．已知公比0q >的等比数列{}n a 的前项和为n S ，且131,13a S ==，数列{}n b 中，131,3b b ==．
（1）若数列{}n n a b +是等差数列，求,n a n b ； （2）在（1）的条件下，求数列{}n b 的前项和n T ．
7．已知数列{}n a 的前项和为n S ，若2n n S a n =+，且1 n n b n a =-(). （1）求证：{}1n a -为等比数列； （2）求数列{}n b 的前项和n T ．
8．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前项和n T ．
9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =， 2210b S +=，5232a b a -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令2
,,n n n
n S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数，设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．
10．（2016·上海）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =n a ，*n ∈N }，B ={x |x =n b ，*n ∈N }，若同
时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B =∅且*A B =N ，则称{n a }与{n b }是无穷互补
数列.
（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n
且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；
（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }的通项公式.
11．（2016·山东理）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
12．（2016·浙江）设数列{n a }的前项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （1）求通项公式n a ；
（2）求数列{|2n a n --|}的前项和.
13．（2016·天津）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为(
)n S n *
∈N
，且61
2
3
11
2
,63S a a
a -=
=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若对任意的,n n b *
∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列()
{}
21n
n b -的前2n 项和.
14．（2016·江苏）记{}1,2,
100U =,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若
{}12,,k T t t t =,，定义1
2
k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366
+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；
（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D
D S S S +≥.
1．2
1(21)2()
1(1)
n n
n n a a a S a a ---=
+-- 【解析】当1a =时，数列变为1,3,5,7,,1(2)n ⋯-， 则2[1(21)]
2
n n n S n +-=
=，
当1a ≠时，有
231(13521),7n n S a a a n a -+++++-=⋯① 23435721()n n aS a a a a n a =+++++-⋯，②
①－②得：
2311222221()n n n n S aS a a a a n a --=++++
+--，
234111212()()()n n n a S n a a a a a a ----⋯=++++++
1(1)
1212)1(n n
a a n a a
--=--+⋅-
2()
(1211)n n
a a n a a
-=--+-.
又10a -≠，
所以2
1(21)2()
1(1)
n n n n a a a S a a ---=+--. 2．（1）12q =-
；（2）81[1()]32
n n S =--. 【解析】（1）∵132,S S S ,成等差数列，3122S S S =+，∴1q =不满足题意． ∴321112(1)(1)
11a q a q a q q
--=+--.
解得1
2
q =-
. （2）由（1）知12q =-
，又2
1311134
3a a a a q a -=-==，∴14a =. ∴1
4[1()]
812[1()]13212
n n n S --=
=--+. 3．（1）当13,2a q ==时，132n n a -=⋅；当12,3a q ==时，1
23n n a -=⋅. （2）当13,2a q ==时，323n n S =⋅-；当12,3a q ==时，31n
n S =-.
【解析】（1）由题意知：12
11
6630a q a a q =⎧⎨+=⎩，解得132a q =⎧⎨=⎩或12
3a q =⎧⎨=⎩， 当13,2a q ==时，132n n a -=⋅；当12,3a q ==时，1
23n n a -=⋅.
（2
当13,2a q ==时，323n n S =⋅-；当12,3a q ==时，31n
n S =-.
【名师点睛】等比数列的基本问题，是1,,,,,n n a q a q n S 等元素的互求.本题从已知出发，通过列1,a q 的方程组，逐步求得通项公式及前项和.易错点是解方程组漏解.
4．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1
∴}{n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，122-⨯=+n n n a ，n a n n -⨯=-1
22，
【易错点睛】本题主要考查了等比数列的定义；数列求和．分组转化求和通法：若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．分组求和求数列的前n 和是数列求和中常见的题型，难度不大，属于简单题．
5．（1）21n a n =-；（2）n S 2122n n +=+-. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d . ∵11a =，且125,,a a a 成等比数列，
∴2
215a a a =，即2
(1)1(14)d d +=⨯+，
∴22d d =.
∵0d ≠，∴2d =，∴21n a n =-.
（2）212n
n n a b n +=-+，
23(12)(32)(52)(212)n n S n =++++++
+-+
23(13521)(2222)n n =+++
+-+++++
2122n n +=+-.
6．（1）1
3
n n a -=，()1
533
n n b n -=--；（2）2531
2
n n n n T --+=.
【解析】（1）由题意得2
3113S q q =++=，所以4q =-或3q =，
因为0q >，所以3q =，所以1
3n n a -=．
所以11332,12a b a b +=+=，所以数列{}n n a b +的公差5d =，所以53n n a b n +=-． 所以()1
53533n n n b n a n -=--=--．
（2）由（1）得()1
533
n n b n -=--，
所以()()()
()0121
2373123533n n T n -⎡⎤=-+-+-+
+--⎣⎦
()()012
12712533333n n -=+++
+--++++⎡⎤⎣⎦
2531
2
n n n --+=．
7．（1）证明过程详见解析；（2）()1
12
2n n T n +=-⋅+．
【解析】（1）由2n n S a n =+，得1121n n S a n ++=++，111211a a a =+=-即.
∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=-，
∴()1121n n a a +-=-，
∴{}1n a -是以2-为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）得11222n n n a --=-⨯=-，即21n n a =-+.
∴2n n b n =⋅.
∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①
231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ②
①-②
∴()1122n n n T +=-⋅+.
8．（1）21n a n =+；（2）2
2
4.n n T n +=+-
【解析】（1解得13,2.a d =⎧⎨=⎩
因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+. （2）依题意，121221
2+=+⨯==+n n
n n a b ．
12n n T b b b =++
+231(21)(21)(21)n +=++++
++
=2
3122...2n n +++++
22 4.n n +=+-
9．（1）12+=n a n
，1
2-=n n b ，（2【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,
34232,
q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解
得2,2,
d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． （2）由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，
则12,(2)2,n n n n n c n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数即11
1,2
2,n n n c n n n -⎧-
⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数
21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++
+11111
[(1)()(
)]335
2121
n n =-+-+
+--+3(22++ 212)n
-+
+
10．（1）{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列，理由见解析；（2）180；（3）24n a n =+，,5
25,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩
．
【解析】（1）因为4A ∉，4B ∉，所以4A B ∉，
从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．
数列{}n b 的前16项的和为：()()
23412202222++⋅⋅⋅+-+++
()5120
20221802
+⨯--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈Ν，则1611536a a d =+=． 由136151a d =-≥，得1d =或．
若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；
若2d =，则16a =，24n a n =+，,
525, 5.n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩
，
综上，24n a n =+，,
525, 5.
n n n b n n ≤⎧=⎨
->⎩，
【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对新定义的理解能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查学生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 11．（1）13+=n b n ；（2）223+⋅=n n n T .
【解析】（1）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ， 所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ， 由⎩⎨
⎧+=+=3
22211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d
b 321721111，可解得3,41==d b ，
所以13+=n b n .
（2）由（1）知1
(66)6(1)2(33)
n n n n
n c n n ++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，
得236[223242(1)2]n
n T n =⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯①，
234126[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯②，
①-②，得
23416[22+2222(1)2]n n n T n +-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯
114(21)
6[4(1)2]21
n n n -+-=⨯+-+⨯-
232n n +=-⋅
所以223+⋅=n n n T
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
12．（1）13n n a n -=∈*
,N ；（2）2*
2,1,3511,2,2
n n n T n n n n =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪
⎩.N . 【解析】（1）由题意得1221421a a a a +=⎧⎨
=+⎩，则12
13.a a =⎧⎨
=⎩，
又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=.
所以，数列{}n a 的通项公式为13n n a n -=∈*
,N . （2）设1
|32|n n b n -=--，*n ∈N ，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故1
32,3n n b n n -=--≥.
设数列{}n b 的前项和为n T ，则122,3T T ==.
当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=
-， 所以，2*
2,1,
3511,2,2
n n n T n n n n =⎧⎪
=⎨--+≥∈⎪
⎩.N 【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n n a b 的求和，其中{}n a 是等差数列，
{}n b 是等比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或
⎧⎫的求和，
其中()f n ，()g n 是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
13．（1）1
2-=n n a ；（2）22n .
【解析】（1）解：设数列}{n a 的公比为，由已知，有
2
1112
11q a q a a =-，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q -=⋅=-，知1-≠q ，所以61126312
a -⋅=-，得11=a ，所以1
2-=n n a .
（2）解：由题意，得2
1
)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即}{n b 是首项为
2
1，公差为的等差数列.设数列})1{(2
n n b -的前项和为n T ，则2212212221224232221222
)
(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=
+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-.
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：
（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． （2）通项公式为,,n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，
为偶数
的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组
求和法求和．
14．（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析
【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .
于是当{2,4}T =时，2411132730T S a a a a a =+=+=.又30T S =，故13030a =，即11a =.
所以数列{}n a 的通项公式为1*
3,n n a n -=∈N .
（2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，
所以11211
133(31)32
k k k T k k S a a a a -+≤+++=++
+=-<=.
因此，1T k S a +<.
（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C
D
C D D D D S S S S S S S +=+≥+=.
②若C 是D 的子集，则22C C
D
C C C
D S S S S S S +=+=≥.
① 若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E C
D =ð，U F D C =ð，则
E ≠∅，
F ≠∅，E
F =∅.
于是C E C D S S S =+，
D F C
D S S S =+，进而由
C D S S ≥，得E F S S ≥.
设为E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1
133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.
又k l ≠，故1l k ≤-， 从而11
12113131133
2222
l k l k E F l a S S a a a ------≤++
+=++
+=≤=≤，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C D
D C
D
S S S S -≥-+，
即21C C
D
D S S S +≥+.综合①②③得，2C C D
D S S S +≥.
第三章 不等式
大题精做1 3.1不等关系与不等式
1．已知下列三个不等式：①0ab >；②；③bc ad >，以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可组成几个正确命题？
2．已知0,0a b >>，试比较
3．设,a b c d ,,均为正数，且a b c d +=+，证明： （1）若ab cd >，则 （2，则||||a b c d -<-．
4，求y x +9的取值范围.
5.
6．已知p ∈R ，0>>b a 比较下列各题中两个代数式值的大小： （1）())3(12-+p p 与10)3)(6(++-p p ；
（2
7．已知,x y 为正实数，满足()1lg 2,3lg 4x
xy y
≤≤≤≤，求42lg()x y 的取值范围．
8．已知{,}a b c ∈,正实数，且2
2
2
a b c +=，当,2n n ∈>N 时比较n
c 与n
n
a b +的大小．
9．某人上午7时乘摩托艇以v 海里/时（4≤v ≤20）的速度从A 港匀速出发，向距A 港50海里的B 港驶去，到达B 港后马上乘汽车以w 千米/时（30≤w ≤100）的速度从B 港匀速出发，向距离B 港300千米的C 市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C 市，则汽车、摩托艇所需时间应满足怎样的不等关系？
1．可组成3个正确命题
,∴①③⇒②. （2（3）若0bc ad ab
>>，,则0ab >,∴②③⇒①.
综上所述，可组成3个正确命题. 2．M N >
【解析】又0,0M N >>，
∴M N >． 3．（1），（2）详见解析
【解析】（1
由题设,a b c d ab cd +=+>得
（2
因为a b c d +=+，所以ab cd >，
于是2
2
2
2
()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-， 因此||||a b c d -<-.
4
（1）， （2）
（1）×（－1）+（2） 得 11≤≤-x ，故 999≤≤-x ，
（1）×3+（2）×（－2以上两不等式相加，得 正解1：设 y x y x b y x a +=+++9)3()2(，比较两边系数得1,932=+=+b a b a . 以上两式联立解得 6-=a ，7=b .
正解2（2）
（1）×（－1）+（2） 得 11≤≤-x ，故 666≤≤-x ……（3），
（2）+（3） 得 【名师点睛】利用不等式的可加性来求解不等式的取值范围，属于基础题.
5
【解析】
02απ<<
2β
π-<
6．（1）()()3
1
2-
+p
p>10
)3
)(
6
(+
+
-
p
p；（2
【解析】（1）因为()()3
1
2-
+p
p()()
[6310]
p p
--++=5
2
2+
-p
p ()4
12+
-
=p>0，所以()()3
1
2-
+p
p>10
)3
)(
6
(+
+
-p
p.
（2
>
>b
a
，∴20
ab>，0
>
-b
a
，0
2
2>
+b
a，0
>
+b
a
7．6,10]
【解析】设lg,lg
a x
b y
==，则()
lg xy a b
=+，
42
(g42
)
lg l
x
a b x y a b
y
=
=-+
，，
设()(
42)
a b m a b n a b
+=+-
+，
∴
4,
2
m n
m n
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解得
3,
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
又∵336,3(4)a b a b ≤+≤≤-≤. ∴64210.a b ≤+≤
即4
2
lg()x y 的取值范围为6,10]． 8．n
n
n
a b c +<
【解析】∵{,}a b c ∈,正实数，∴,,0n
n
n
a b c >
n
n
. ∵2
2
2
a b c +=，则2
2
()(1)a b
c
+= ，∴
∵,2n
n ∈>N n
<
2，
n <，
n n 1，∴n n n
a b c +<. 9．【解析】设汽车用x 小时，摩托艇用y
小时，由题意，得9143105
25.22
x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪
⎨≤≤⎪
⎪
≤≤⎪⎩，
，，
大题精做2 3.2一元二次不等式及其解法
1．（1）解不等式：2560x x -+≤；
（2
2
3．已知0a <，解关于的不等式2
(1)10ax a x +-->．
4
（1）当1a =时，解该不等式； （2）当为任意实数时，解该不等式．
5．已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉.
（1）求实数a 的取值范围； （2）求集合A .
6．已知关于的不等式2
5(0)()ax x a --<的解集为M . （1）当4a =时，求集合M ；
（2）当3M ∈，且5M ∉时，求实数的取值范围．
7．若关于的不等式2
310ax x +->的解集是11
{|}2
x x <<， （1）求a 的值；
（2）求不等式22
310ax x a ++>-的解集．
8．设函数2
()f x x ax b =++，已知不等式()0f x <的解集为{|13}x x <<.
（1）若不等式()f x m ≥的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）若()f x mx ≥对任意的实数2x ≥都成立，求实数m 的取值范围.
9（1）若()f x m >的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式 （2）若存在3,x >使得()1f x >成立，求的取值范围.
1．（1）{}|23x x ≤≤；（2）1{|}123x x x x <-<<>或或． 【解析】（1）由2
560x x -+≤，得()()320x x --≤，
从而得不等式2
560x x -+≤的解集为{}|23x x ≤≤.
（2
即
由图可得所求不等式解集为1{|}123x x x x <-<<>或或．
2
【解析】原不等式组可化为(2)(4)0,
50,1
x x x x -->⎧⎪
-⎨<⎪-⎩解得421 5.x x x ><⎧⎨<<⎩，或，
即12x <<，或45x <<．
3．当01<<-a 时，解集
当时1-=a ，解集为∅；当1-<a 时，解集
为
【解析】①当01<<-a 时，
② 当1-=a 时，，且原不等式可化为0)1(2
<-x ，其解集为∅； ③当1-<a 时，
综上所述：当01<<-a 时，解集为当1-=a 时，解集为∅； 当1-<a 时，解集为 【方法点晴】解二次不等式，首先观察能不能因式分解，本题中的二次不等式可进行因式分解
0)1)(1(>-+x ax ，再看二次项系数，注意审题，题干中有0<a 的条件，审题不认真的话此处可能会
弄的比较繁琐；当0<a ，左右两边同时除以，不等式要改变方向，得
. 4．（1）{}2|1x x <<；（2）详见解析．
【解析】（1）当1a = ∴12x <<，所以不等式
(1)3
11
a x x +-<-的解集为{}2|1x x <<.
（2）当0a >时，由
(1)3
11
a x x +-<- ()(20)1ax x --<，方程()(20)1ax x --=的两根12
x a
=
，21x =.
1即2a =
即02a <<
即2a >
当0a =
当0a <5．（1）{}|1a a ≤；（2）详见解析.
【解析】（1）∵3A ∉，∴当3x =时，有(1)(2)2ax x --≤，即312a -≤. ∴1a ≤，即a 的取值范围是{}|1a a ≤.
（2）2
(1)(2)2(1)(2)20(21)0ax x ax x ax a x -->⇔--->⇔-+>. 当0a =时，集合{}|0A x x =<；
A 为空集；
当01a <≤时，集合 6．（1）5224{|}M x x x =<-<<，或
；
（2）(][)5
1,9,25.3
【解析】（1）当4a =时，2
5
()()()()(4
50220)ax x a x x x <⇔+---<-，由数轴标根法得
2,x <-或
5
24
x <<. 故M ={|2,x <-，或
5
24
x <<}． （2）3M ∈，且5M ∉.
⇔()()()()359055250a a a a --<⎧⎪⎨--≥⎪⎩⇔⇔5,9
3
125a a a ⎧
<>⎪⎨⎪≤≤⎩
或 ⇔513a ≤<，或925.a <≤ 故实数的取值范围是5[1,)(9,25]3
．
7．（1）2a =-;（2）5
{|}2
1x x -
<<． 【解析】（1）依题意，可知方程2
310ax x +-=的两个实数根为1
2
和1， ∴
1312a +=-且 11
12a
⨯=-，解得2a =-， ∴的值为2-；
（2）由（1）可知，不等式为2
2350x x --+>，即2
2350x x +-<，
∵方程2
2350x x +-=的两根为125
1,2x x ==-
， ∴不等式22
310ax x a ++>-的解集为5{|}2
1x x -<<．
8．（1）1m ≤-；（2
【解析】由题意，知()0f x =的解为1,3，则1313a b +=-⎧⎨
⨯=⎩ 4
3
a b =-⎧⇒⎨=⎩
（1）22
()43(2)1f x x x x =-+=--，所以min ()1m f x ≤=-，即1m ≤-.
（2
[2,)+∞上恒成立， 在[2,)+∞单调递增， 最小值在2x =时取到，最小值为
【方法点睛】在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答． 9．（1
（2）(12,)+∞． 【解析】（1）
0k >∴ 不等式230mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->
-或， ∴3,2--是方程230mx kx km -+=的根，且0m <，
）()1f x >
令()()2
3,3,g x x kx k x =-+∈+∞，
存在03,x >使得()01f x >成立，即存在()00g x <成立，即()min 0g x <成立，
当06k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x <；
当6k >时，()g x 在
由2120k k -+<可得12k > ， 综上，()12,k
∈+∞.
大题精做3
3.3二元一次不等式（组）与简单的线
性规划问题
1．画出不等式组20,30,132x y x y x ⎧--≤⎪
++≤⎨⎪≤+≤⎩
表示的平面区域，并求其面积．
2．在ABC △中，各顶点坐标分别为(31)(11)(13)A B C --，
、，、，，写出ABC △区域所表示的二元一次不等式组.
3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示出来
.
4．已知实数,x y 满足20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
求：（1）=24z x y +-的最大值； （2）2
2
=1025z x y y +-+的最小值； （3
6．某工厂造A B 、型桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A B 、型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A B 、型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A B 、型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产
A B 、型桌子各多少张，才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
1．平面区域见解析，面积为10
【解析】20x y --≤不等式组表示直线20x y --=左上方的点和该直线，30x y ++≤表示直线
30x y ++=左下方的点和该直线，由2030x y x y --=⎧⎨
++=⎩，，
132x ≤+≤可得
21x -≤≤-或54x -≤≤-，则不等式组表示的区域如图阴影部分
.
由1,30,x x y =-⎧⎨
++=⎩得点(1,2)--．由1,
20,
x x y =-⎧⎨--=⎩得(1,3)--．同样的可以求出直线20x y --=，
30x y ++=与2x =-的交点为
()()
2,4,2,1----,所以小梯形的面积为
()()()()112314122
S =---+---⨯=⎡⎤⎣⎦,同理可以求出大梯形的面积28S =，所以不等式组围成的平面区域的面积为122810.S S S =+=+= 2．详解解析
【解析】如图所示.可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为210x y +-=，20x y -+=，250x y +-=. 由于ABC △区域在直线AB 右上方，∴210x y +-≥； 在直线BC 右下方，∴20x y -+≥； 在直线AC 左下方，∴250x y +-≤，
∴ABC △区域可表示为21020250.x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，
，
3．详解见解析
【解析】（1）三条直线的方程分别为2,3260,1y x y x =--+==,结合直线的虚实,所以不等式组为
232601.y x y x >-⎧⎪
-+>⎨⎪≤⎩
，，
（2）三条直线的方程分别为4,20,3260,y x y x y =-+=++=结合原点的位置及直线的虚实,所以不
等式组为4203260y x y x y ≤⎧⎪
-+<⎨⎪++≥⎩
.
4．（1）21;（2
（3
【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．
（1）易知可行域内各点均在直线240x y +-＝的上方，故240x y +->，将点79C （，）代入得的最大值为21．
（2）2222
=1025=5z x y y x y +-++-（）表示可行域内任一点()x y ，到定点05M （，）
的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是2
9
2
MN
=
． （3
（x ，y ）
与定点Q
6．每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润，最大利润为13千元 【解析】设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，获得的利润为z 千元，
则28,
39,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
23z x y =+
，作出可行域如图：
把直线：230x y +=向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时23z x y =+取得最大
值， 解方程组28,39,x y x y +=⎧⎨
+=⎩得2,
3,x y =⎧⎨=⎩
即M 的坐标为（2，3），此时最大利润223313z =⨯+⨯=千元.
答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润，最大利润为13千元.
大题精做4 3.4
2
a b +≤
1．已知正数y x ,满足12=+y x ,
∵12=+y x 且0,0>>y x .∴
判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法.
2．求解下列问题： （1）若0>x ，求
（2，求函数)31(x x y -=的最大值．
3．设1x >-，求.
4．设b a 、为正实数，且
（1）求22b a +的最小值；
（2）若3
2
)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.
5．已知,,a b c 均为正实数,且1a b c ++=,求证：11111()()1)8(a b c
---≥．
6．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲广场,它的主体造型的平
面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积为200 m 2
的十字形区域.现计划在正方形MNPQ 上建一个花坛,造价为4 200元/m 2,在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪,造价为210元/m 2
,再在四个空角上铺草坪,造价为 80元/m 2
.
（1）设总造价为S 元,AD 的边长为x m,试建立S 关于x 的函数关系式; （2）计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区?
7．（1）已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围；
（2）已知0x >，求证：
1．以上解法是错误的，正确解法详见解析 【解析】以上解法是错误的，
x y =时取到等号，
2x y =时取到等号，以上两个不等式不能同时取到等号，
因此min 1
1
+
)(=x y
不成立，
2．（1）4；（2【解析】（1）∵0x >，
，即2=x 时取等号．故()min 4f x =． （2，031>-∴x ，
当且仅当x x 313-=，即
3
【解析】
1x >-，10x ∴+>，设10x t +=>，则1x t =-，于是有
，即2t =时取等号，此时1x =．∴当1x =时，函数取得最大值 4．（1）；（2）.
【解析】（1
. 故1222≥≥+ab b a ，当. 所以22b a +的最小值是，当且仅当. （2）由3
2
)(4)(ab b a ≥-得
. 所以
1=ab .
5．证明见解析．
【解析】因,
,a b c 均为正实数,且1a b c ++=, = ××a b c a a b c b a b
c c a b c ++-++-++-
（当且仅当13a b c ===时，取等号）
6．（1）2
2
400000
38 000 4 0000(S x x x =++
<<； （2）计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲广场.
【解析】（1） DQ y x =≠,则2
2
2004200,4x x xy y x
-+==
. 22
14 20021048042
S x xy y =+⨯+⨯⨯
22
400000
38 0(00 4 0000.x x x =++
<<
（2）2
2
40000038 000 4 00038 000118 000S x x
=++≥+=.
当且仅当2
2
4000004 000x x
=,即x =时, min 118 000S =, 即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲广场.
7．（1）xy 的取值范围是[9,)+∞，x y +的取值范围是[6,)+∞；（2）详见解析. 【解析】（1）由0,0x y >>，则
当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞.
当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞.
（22≥t .),[+∞2是增函数，所以
0x >。