高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点一两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案tan(α＋β)＝α＋β
α＋β
＝
sinαcosβ＋cosαsinβ
cosαcosβ－sinαsinβ
，
分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
梳理
知识点二两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tanαtanβ＝1－tanα＋tanβ
α＋β
.
(2)T(α－β)的变形：
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．
tanαtanβ＝tanα－tanβ
α－β
－1.
1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β .( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π
2
，k ∈Z .
2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π
2(k ∈Z )即可．( × )
提示 还应使α±β≠k π＋π
2，k ∈Z .
3．若α，β，α＋β≠k π＋π
2
，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )
4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α
＝1－tan α1＋tan α.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 7
5
解析 方法一 ∵tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan
π
41＋tan αtan
π4
＝
tan α－11＋tan α＝1
6
.
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝7
5
.
方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝7
5.
(2)设tan α，tan β是方程x 2
－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A
解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝3
1－2
＝－3.
反思与感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．
(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．
跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为________．
考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
α＋β－tan α
1＋α＋βα
＝
17－－
1＋17－
＝3.
类型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1＋tan15°
1－tan15°＝________.
考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案
3 解析 原式＝tan45°＋tan15°
1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)
＝tan60°＝ 3.。