高三数学-5.总体分布的估计 精品

5．总体分布的估计
学习指导
本节主要学习总体分布的估计，频率分布及总体特征数的估计．本节要求： 1．了解总体的分布、总体分布的估计———样本频率分布的概念及意义． 2．能根据样本数据画出频率分布表与频率分布直方图，并据此估计总体分布。

3．会计算样本均值与样本方差（标准差），并用它们分别估计总体期望与方差（标准差）． 一、例题
1．（1）某厂生产的产品可分为一等品、二等品、等外品三类．设
ξ
=1产品是一等品2产品是二等品3产品是等外品
⎧⎪⎨⎪⎩
，
抽查检验的记录为一等品96个，二等品195个，等外品9个、估计产品中的一等品率、二等品率、等外品率，并画出频率分布条形图．
（2）如果已知产品的一等品率、二等品率、等外品率分别是32％，65％，3％．设η的定义与ξ相同，求η的概率分布及其条形图，将这个图形与频率分布条形图进行比较。

解：（1）一等品率的估计
196ˆ(1)32%
300
p
P ξ====；二等品率的估计
2195ˆ(2)65%
300
p
P ξ====；等外品率的估计39ˆ(3)3%
300
p
P ξ===
=；频率分布
条形图如右。

（2）η的分布列为：
η的概率分布条形图与（1）中的图形相同。

2．为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100
名 3岁女童的身高（cm ），已按数据的大小排列如下：
84.4 84.5 85.2 85.7 86.2 86.4 86.9 87.1 87.3 87.6 87.9 88.2 88.4 88.4 88.5 88.7 89.0 89.0 89.1 89.2 89.3 89.3 89.4 89.8 90.0 90.l 90.2 90.3 90.4 90.6 90.7 90.8 91.1 91.1 91.1 91.4 91.7 91.7 91.7 91.8 91.9 92.1 92.5 92.5 92.7 92.7 92.8 92.8 92.9 92.9 93.0 93.1 93.2 93.2 93.4 93.5 93.6 93.6 93.6 93.8 93.9 94.0 94.3 94.3 94.4 94.4 94.4 94.5 94.6 94.7 94.8 94.9 95.0 95.1 95.1 95.1 95.5 95.6 95.6 96.0 96.2 96.3 96.4 96.5 96.8 97.0 97.2 97.3 97.3 97.9 98.3 98.4 98.7 99.2 99.3 99.4 99.5 100.7 100.9 101.5
（l ）列出样本数据的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）利用频率直方图，估计身高在第4第5两个组的概率；（4）估计身高不小于90cm
%x
65
332
1
的概率；（5）利用频率分布表估计身高的平均值．
解：（1）样本数据的极差（最大值与最小值之差）为R=101.5－84.4=17.1，将组距定为2，第1小组起点取为84，则组数为8，样本的频率分布表为
（2）频率分布直方图见上图． （3）身高在第4第5两个小组内的概率的估计为其频率为0.17＋0.20=0.37． （4）身高不小于90cm 的频率为第3至第9组内的频率之和0.76，即身高不小于 90cm 概率的估计值为0.76． （5）身高的均值的估计为1(8548771013)
100
x
=
⨯+⨯+
+⨯=92.86．
3．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔 1小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下： 甲车间：118，101，99，98，118、98，99 乙车间：110，118，94，95，118，89，98
问：（1）这种抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间包装重量的均值与方差，并说哪个均值的代表性好？哪个车间包装重量较稳定？ 解：（1）根据系统抽样方法的定义可知这是系统抽样方法． （2）先计算甲
1(10210199)100
7
x =
++
+=，乙
1(11010598)100
7
x =
+++=；
2
2
2
甲1[(102100)(99100)] 3.42867s =-++-=，
22
2
2
甲
乙1[(110100)(98100)]56
7
s s =
-+
+-=
这说明甲车间包装重量比乙车间稳定，甲车间的均值100的代表强． 二、练习题
1．在频率分布直方围中，各个小长方形的面积表示（B ）
（A ）落在相应各组的数据的频数 （B ）相应各组的频率 （C ）该样本所分成的组数 （D ）该样本的样本容量 提示：由直方图的概念知应选（B ）． 2．可用于总体数学期望μ的估计是（A ） （A ）样本均值11n
i
i x x n
==
∑
（B ）样本极差R=max (x 1，…，x n )－min (x 1，…，x n )
（C ）样本方差2
2
1
()
n
i i s
x x ==
-∑
（D ）样本平均差1
1||n
i i A D
x x n
==
-∑
提示：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体数学期望的估计． 3．以下可以描述总体稳定性的统计量是（C ）
（A ）样本均值x （B ）样本中位数（C ）样本方差s 2（D ）样本最大值S (n ) 提示：选项（A ），（B ）从不同角度描述了数据的集中位置，（D ）不能表示样本的波动程度．
4．在已分组的数据中，每组的频数是指 落入该组的数据的个数 ，每组的频率是 指落入该组数据个数与数据总数的比值 。

5．某电视栏目收视情况的调查结果为：抽查100户，有30户收看此栏目，则此栏目的收视率的估计是 30％ 。

提示：收视情况的总体服从参数为p (收视率)的0—1分布，数学期望为p ，用样本均值x 估计它．
6
x = 0.5(分钟) ，病人等待时间标准差的估计值s = 5.34（分钟） 。

提示：x =1(2.547.5822.51)
20
⨯+⨯+
+⨯=9.5（分钟）；
s 2=
2
2
2
1[(2.59.5)4(7.59.5)8(22.59.5)]28.5
20
-⨯+-⨯++-=, ∴ s =5.34
（分钟）．
7．假定下述数据是甲、乙百个供货商的交货天数。

甲：10，9，10，10，11，11，9，11，10，10；乙：8，10，14，7，10，11，10，8，15，12．估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．
解：甲
110
x =
(10+9+……+10)=10.1，乙
110
x =
(8+10+……+12)=10.5，
2
甲110
s =
(118+92+……+118)－10.12=0.49，
2
乙110
s =
(82+118+……+122)－
10.52=6.18
从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此是较具一致性与可靠性的厂商．
8．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数
分布估计该校毕业生起始月薪低于2000元的概率；（4）估计起始月薪的数学期望．
解（1）样本的频率分布表为
（2）频率分布直方图如右图： （3）起始月薪低于2000元频率为 0.18＋0.11＋……＋0.18=0.94，故起始月薪低于 2000元的概率的估计是0.94． （4）起始月新的数学期望的估计是1(13.5714.51120.56)
100
x
=
⨯+⨯+
+⨯=
16.48(百元)． 三、思考题
试证：（1）(x 1－x )+(x 2－x )+……+(x n －x )=0； （2） 对于任意实数c ，s 2≤s c 2，这里s 2
=2
1
1
()
n
i i x x n
=-∑
, s c 2
=2
1
1
()
n
i i x c n
=-∑
证（1）(x 1－x )+(x 2－x )+……+(x n －x )=(x 1+x 2+……+x n )－n x =0
（2）s c 2
=2
1
1
()
n
i i x c n
=-∑
=2
22
111
1
()[()2()()()]
n
n
i i
i i x x x c x x x x x c x c n
n
==-+-=
-+--+-∑
∑
=
2
2
1
1
1[()2()()()]n
n i i i i x x x c x x n x c n
==-+--+-∑∑
=s 2
+0+(x －c )2≥s 2
. 四、备用题
1．设一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差是（D ）
（A ） 0.1s 2 （B ）s 2 （C ）10s 2 （D ）100s 2 提示：设原数据组为x 1，x 2，……，x n ，方差为S 2
=2
1
1
()
n
i i x c n
=-∑
,
x
=1
1
n
i
i x n
=∑
,
新数据组为10x 1，10x 2，……，10x n ，
方差2
2
11(10)
n
i i s x a ==-∑
，其中a =1
1
1010n
i
i x x
n
==∑.
故2
2
2
2
1
1
1
1
1
(1010)100()100n
n
i i
i i s x x x
x s
n
n
===
-=
-=∑∑.
2．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验
升水中平均含有大肠杆菌 1 个／升，估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为 1 个．
3．将n 个数x 1，x 2，……，x n 分成两组，第1组数为x 1，x 2，……，x k ，第2组数为x k +1，x k +2，……，x n ，两组数据的均值与方差分别记为x 1，x 2与s 12，s 22．试用x 1，x 2与s 12，s 22表示n 个数据的均值x 与方差s 2.
解：x =121[()]k x n k x n
+-，
s 2=2
2
2
121211[()()()]
k x n k s k n k x x n
n
+-+
--.。