例析含三角函数导数问题的解答策略

近 几 年 来 ，高 考 题 和 高 考 模 拟 题 的 命 题 者 为 了 创 设 新 的 问 题 情 境 ，开 始 尝 试 命 制 含 三 角 函 数 的 导 数 压 轴 题 。 由 于 对 含 三 角 函 数 的 函 数 无 论 求 几 阶 导 ，导函 数 中 仍 会 含 有 三 角 函 数 ，因此导函数的 表 达 式 往 往 比 较 复 杂 ，从 而 给 判 断 导 函 数 的 符 号 、求 极 值 及 零 点 个 数 等 后 续 问 题 带 来 困 难 。下 面 笔 者 通 过 对 含 三 角 函 数 的 导 数 压 轴 题 进 行 深 人 、系 统 的 分 析 ，总 结 此 类 题 型 的 几 种 解 题 策 略 ，以 繪 读 者 。
丄 卞 *2：
一 个 增 函 数 f 和 一 个 减 函 数 + ，以 及 一 个 不 单 调
的 函 数 一 a + sin x 相 加 而 成 ，较 为 复 杂 ，不 容 易 直 接 说 明 当 ^ < 1 时 ，/(工 )>〇 。因 此 ，我 们 考 虑 对 其 进 行 放 缩 。 由 常 见 函 数 型 不 等 式 # > 1 + 1 ，故 / 〇 ) >
士：T( _ + < X < 0 ) 。 于 是 便 得 到 如 下 关 于 “左 负 ，，的
另外两种简便证法。
证法 1:当 (—
时 ，/ ’（1 ) = # + ^ ^ —
2 + sin
+
^1 一:r+ 吾;r2 ) — 2 + 音 =
2_r2+ f < 0 。
1
_ 1 _ 1 0 0 丄 1 — 67
1 + X + 1+JC — a + sin 工。 而 1 + x + 1~\~x
2 ^ / (1+:) •^ ^ ^ = 2,故 / ’( : ) > 2 - a + sin j:。再根
据 正 弦 函 数 的 有 界 性 （一 l<sin :c< 1 ) ，有 /'(:c) > l_ a 。 因 此 ，当 时 ，/ ( x ) 彡 0 , 故 / U ) 是增
+ —2 + sin:r 在 ；c= 0 的 两 侧 “左 负 右 正 ”，困难在
“左 负 ”。 因 此 ，我 们 希 望 在 •！= 0 左 边 的 某 个 区 间 (一A 0)(其 中 5>〇 )内 ，对 / U ) 的 表 达 式 适 当 放 大 ， 证 明 /'(x ) < 0 在 这 个 区 间 内 成 立 。从泰勒展式人手
缩 ，得 /'(>r ) > l+ :r + Y^ ^ ；—2 + sin x > s in a:。当
( 0，tt)时 ，s i n :c〉0,进 而 得 / \ j:)〉0 。 而“左 负 ”不 易 说 明 。注 意 到 /'(〇)=〇,故只需
/'U )在:r = 0 附 近 是 增 函 数 。但 如 第 （1 ) 问 中 的 分 析 ，/'U )的 表 达 式 较 为 复 杂 ，不 容 易 看 出 其 单 调 性 ，
不 等 式 的 方 向 与 我 们 希 望 的 相 反 ，需 调 整 系 数 （正的 项 的 系 数 调 大 ，负 的 项 的 系 数 调 小 ）使 不 等 号 反 过 来 。
例 如 ，当一 士 < X < 0 时 ，
JT+ 音 X2 成 立 。
另 外 ，不 等 式 sin
|b ( 工 < 0 ) 可 加 强 为 sin x <
数 次 项 是 负 的 ，偶 数 次 项 是 正 的 ，且 当 x 充 分 小 时 ，低 次 项 的 绝 对 值 远 大 于 高 次 项 的 绝 对 值 ，故 应 有 # <
l+_r + ^i.- ，71^~7r-x 〉 l—x + x2 ,sin :r < j — 6 其 中 ，第 一 个不等式当:c< 0 时 恒 成 立 ，但第二个
运 算 上 的 方 便 ，降 低 原 问 题 的 难 度 。这种分离参数的 方 法 技 巧 性 较 强 ，思 维 方 法 灵 活 ，且 参 数 系 数 项 的 正 负要容易确定。
3 结束语
已 知 不 等 式 恒 成 立 （或 存 在 成 立 ）求 参 数 范 围 （或 最 值 )是 导 数 题 型 中 比 较 难 的 问 题 ，特 别 是 当 所 给 的 不 等 式 中 含 有 指 数 、对 数 型 函 数 时 ，其 化 简 、转 化 、求 导 、探 求 极 值 点 等 过 程 运 算 较 复 杂 ，技 巧 性 较 强 ，多数 学 生 无 法 找 到 解 题 思 维 切 人 点 ，运 算 时 不 会 适 当 变
形 、化 简 ，从 而 导 致 解 题 失 败 。根 据 不 等 式 求 解 所 含 参 数 取 值 范 围 的 常 用 思 维 方 法 有 两 种 ：一•是把不等式 移 项 变 形 为 一 边 为 〇的 结 构 形 式 ，然 后 构 造 函 数 ，利 用 导 数 探 求 函 数 极 值 （或 最 值 ）大 于 （或 小 ）〇时参数 的 取 值 情 况 ，进 而 确 定 待 求 参 数 范 围 ；二 是 先 把 所 给 不 等 式 化 简 变 形 ，然 后 分 离 参 数 （或 所 含 参 数 的 多 项 式 ），将 不 等 式 变 形 为 型 结 构 ，进而由 F (_r)的 极 值 （或 最 值 ）确 定 参 数 的 范 围 。运 用 以 上 思 维 方 式 求 解 此 类 问 题 ，可 以 帮 助 学 生 学 会 分 析 ，寻求 合 适 的 方 法 解 决 问 题 ，提 升 解 题 思 维 能 力 。
1 解题策略
1 . 1 利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性，比如一 l< sin:c< l, _ l<
cos x< l,可 以 化 “变 ”为 “常 ”，将 复 杂 的 、超越的表达 式转化为较简单的有理式。
例 1 ( 2 0 1 9 年 佛 山 二 模 理 科 第 2 1 题 ）已知函数 / ( j：) = 6 ^ + ln( 1 + x ) — a x —cos j:，其中 £z 6 R 。
〇
\L x =
当 2 — <] :r<C 0 时 ，i2 — 4*r — 1 <C 0 ，所以
/ ’U ) < 0 o 因 此 ，存 在 实 数 u =
使 x = 0 是 /(x )的极小
值点。
\
2021年第6期
中 学 数 学 教 学 参 考 （下 旬 >
1 . 3 利用三角函数的泰勒展开式 sin x ，cos z 的泰勒展开式如下:
故 考 虑 再 一 次 求 导 ，/'(：!：) = ei — (丄_^)2 十 cos x 。
注 意 到 /(〇 ) = 1 > 〇 , 根 据 极 限 的 保 号 性 ，/'(：r ) 在 •r= 0 附 近 是 正 的 ，/ ( J：)在 x = 0 附 近 确 实 是 增 函 数 。 但 我 们 希 望 只 用 高 中 知 识 来 说 明 ，可 以 逐 项 分 析 如
早想

2021年第6期 中 学 数 学 教 学 参 考 （下 旬 >
例析含三角函数导数问题的解答策略
李 维 ，吴统胜（广 东 省 佛 山 市 第 一 中 学 ) 杨 灵 娥 （佛山科学技术学院数学与大数据学院)
摘 要 ：对 学 生 来 说 ，解 含 三 角 函 数 的 导 数 压 轴 题 往 往 具 有 一 定 的 难 度 ，教 师 在 对 这 类 问 题 实 施 解 题 教 学 时 ，可 以 引 导 学 生 抓 住 问 题 的 本 质 及 内 部 规 律 ，总 结 解 题 策 略 ，从 而 提 高 学 生 解 决 问 题 的 能 力 。 关 键 词 ：三 角 函 数 ；导 数 压 轴 题 ；解题策略 文 章 编 号 ：1002-2171(2021)6-0031-04
2021年第6期 中 学 数 学 教 学 参 考 （下 旬 ）
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想方法1
函数。 (2) x = 0 是 / ( ：r ) 的 极 小 值 点 的 必 要 条 件 是
/ ( 0 ) = 2 - a = 0 , 即 a = 2 。若 能 说 明 /'(i )在 •！= 0 的两 侧 “左 负 右 正 ”，则 a = 2 就 是 要 求 的 实 数 。“右 正 ”较 易 说 明 ，可 同 第 （1 ) 问 ，利 用 # > 1 + 1 进行 放
ex<Leabharlann ^1一—X
。又
sin
j：( —l<
jr< 0 ) 可 结 合 割 线 或 泰 勒
展 式放缩为 sin
( —l< : c< 0 ) ，所以 / ’（x ) =
eJ+ tl ~tr~x — 2 + sin x <C ^1——x + 71十x _ 2
(—jt)(x 2~ 4 jt— 1)
2 ( l—x2 )
(1) 当 时 ，求 证 :/(:c)是 增 函 数 ；
(2)
是 否 存 在 实 数 a ,使 得 :r= 0 是 / ( z ) 的极小值
点 ？说 明理由。 解 析 ：（1 ) 函 数 / U )的 定 义 域 为 （_ l，+ cx〇。 由
于
+
—a + sin jr是 一 个 超 越 函 数 ，由
利 用 三 角 函 数 的 有 界 性 ，虽 然 可 以 化 “变 ”为 “常 ”，但 有 时 候 会 放 缩 过 度 ，从 而 导 致 解 题 失 败 。除 了 利 用 三 角 函 数 放 缩 ，还 可 以 考 虑 尝 试 更 精 细 的 放 缩— 切割线放缩或多项式放缩。
如 例 1 的 第 （2 ) 问 ，我 们 需 要 验 证 /'(_r) = y +
例 2 (武 汉 市 2019届高中毕业生五月月考第
21 题 ）（1)求 证 ：当 x > 0 时 ，cos :c>l —-|-xz；
(2)当 a> l 时 ，对 V x 6 [ 〇 ，+ m ) ，证 明 不 等 式 •re^+xcos x + l X l + sin x )2 恒 成 立 。
解 析 ：（1 ) 直 接 作 差 构 造 函 数 / ( I ) = c o s x +
考 虑 ，&1= 1 + 了 + 专 + 专 + ."，^ | ^ = 1—x + x2—x3+
因 为 # = 1 + 去1! :c+ 占2! x2 + … + 丰n\ X”+ … U G R ),又 因 为 一 1 < 了 < 〇 , 所 以 e i = ^e = l _ ^■X + ^ yjr2 + ." + ^ y ( - ■!)" + •..> 1 — X 〉 0 , 所以
(— D ^ x 2^ S (2n - l )\
6 (— 〇〇,+ 〇〇),
2
(2n)\ -，x 6 (― ° ° ，+ °°)。因 此 ，当
工 > 0 时 ，有 sin :r< : c，sin x 〉:r— ,sin x < i x — -
•T5
^ X*1
X2 {
面 ，. " ， C 0 S J ： > 1 — T ，C〇S x < l — T + 汉 ， .
下 ：定 义 域 内 ，K 和 一^j q ^ y i 都 是 增 函 数 ， cos ：c 在
(一 1，〇)内是增函数，所 以 /'(x )在 （一 1 ，0)内 是 增 函
数 。经 尝 试 ，找到
…，sin =
---。所 以 在 ：1：= 0 的 一 个 邻 域 内 ，
有 /'(J：)= j + 吾工2—:r3H 。而 当 〇:*<0时 ，x 的奇
祕 ― 1/
cos( 1〇)> 10 "§T + T — 硕 〉 0 ,故
•r< 0 时 ，/ ( 1 ) > 0 , 进 而 /(_r)在 ( 一 士 ，0)内 单 调 递
因 此 ，存 在 实 数 a = 2 , 使 _r= 0 是 /(;c) 的极小 值点。
证 法 2:利 用 f 的 泰 勒 （Taylor)展开式的放缩变
P —1 ，证 明 当 时 / U )的 最 小 值 不 小 于 0 。求
增 。又 /'(〇)=〇,故 当 时 一 & < • ! < 0 时 ，/ ( : t ) <
式 eJ< i^_i (:c< l)及 sin
— 1 < j: < 0 )证 明 。
/(0)=0〇 因 此 ，存 在 实 数 a = 2 , 使 x = 0 是 / ( x ) 的极小
值点。 1 . 2 利用切割线放缩或多项式放缩