2021年高三上学期第一次模拟数学试卷(理科)含解析

2021年高三上学期第一次模拟数学试卷（理科）含解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}
2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）
D．f（x）=sinx
A．f（x）=x2B．f（x）=2|x|C．f（x）=log
2
3．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．由曲线y=，直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（）A．B．C．D．1
5．已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为（）
A．B．C．D．
6．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）
8．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=
9．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分．
11．已知cos（﹣θ）=，则sin（+θ）的值是．
12．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．
13．已知f（x）=，若f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．
14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．
15．对于函数f（x）=，有下列5个结论：
①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；
②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N
），对一切x∈[0，+∞）恒成立；
+
④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；
⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．
则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．
17．已知函数f（x）=ax2+blnx（x＞0）在x=1处有极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求出函数y=f（x）的单调区间．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：
①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．
19．已知函数f（x）=x3﹣ax2+10，
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．20．设函数f（x）=a﹣lnx（a＞0）．
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：
①x0=；
②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
xx学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）
A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4}D．{x|x≥﹣2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，
解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，
由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），
则M∩N=[1，4]，
故选：C．
2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2|x|C．f（x）=log2D．f（x）=sinx
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．
B．f（x）=2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．
C．f（x）=﹣log2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．
D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．
故选：C．
3．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分、必要条件性质判断即可．
【解答】解：若φ=，则有f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，为奇函数，充分条件；
若f（x）=cos（2x+φ）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），即cos（﹣2x+φ）=﹣cos（2x+φ），不一定φ=，不必要条件，
则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的充分不必要条件，
故选：A．
4．由曲线y=，直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（）
A． B． C． D．1
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】联立方程组求出定积分的上下限，再根据定积分的几何意义即可求出．
【解答】解：联立方程组得到或，
故由曲线y=，直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（﹣x）dx=（﹣）|==，
故选：A．
5．已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为（）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】先求出sin2α，再求出cos2α，即可求出的值．
【解答】解：∵sinα+cosα=，
∴1+2sinαcosα=，
∴sin2α=﹣，
∵﹣＜α＜0，sinα+cosα=，
∴﹣π＜2α＜0，|sinα|＜|cosα|，
∴cos2α=，
∴==，
故选：C．
6．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B．
7．己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．
【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，“
∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+”为假命题
∴“为真命题
即恒成立
∴
解得﹣1＜a＜3
故选B
8．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x= B．x= C．x= D．x﹣=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，
所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），
当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，
故选：C．
9．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，
∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；
再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；
由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．
【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，
∴f′（x）=3f（x）+3；
可设f（x）=ae bx+c，
由f（0）=1，∴a+c=1；
又3f（x）=f′（x）﹣3，
∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，
即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，
∴，
解得b=3，c=﹣1，a=2；
∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；
又4f（x）＞f′（x），
∴8e3x﹣4＞6e3x，
即e3x＞2，
解得x＞，
所求不等式的解集为（，+∞）．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分．
11．已知cos（﹣θ）=，则sin（+θ）的值是．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：cos（﹣θ）=，则sin（+θ）=cos（﹣﹣θ）=cos（﹣θ）=．
故答案为：．
12．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．
【考点】基本不等式．
【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．
【解答】解：∵a+b=2，
∴=1
∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）
则的最小值是
故答案为：．
13．已知f（x）=，若f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．
【考点】对数的运算性质；函数的值；分段函数的应用．
【分析】分类讨论满足f（a）=﹣3的a值，进而可得f（6﹣a）的值．
【解答】解：当a≤1时，f（a）=2a﹣1﹣2=﹣3无解，
当a＞1时，解f（a）=﹣log2（a+1）=﹣3得：a=7，
∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣2﹣2=，
故答案为：
14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．
【考点】函数的零点．
【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围
【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，
故答案为：0＜b＜2
15．对于函数f（x）=，有下列5个结论：
①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；
②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N
），对一切x∈[0，+∞）恒成立；
+
④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；
⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．
则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）
【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．
【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．
【解答】解：f（x）=的图象如图所示：
①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；
②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；
③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，
④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，
⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，
则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）
=
=
=
=
所以，f（x）的最小正周期=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，
由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，
∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，
当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，
所以，所求的最大值为，最小值为．
17．已知函数f（x）=ax2+blnx（x＞0）在x=1处有极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求出函数y=f（x）的单调区间．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值，得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b 即可；
（2）找到函数的定义域，求出导函数，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以．…
又函数f（x）在x=1处有极值，
所以即…
可得，b=﹣1．…
经检验，此时f'（x）在x=1的左右符号相异，所以，b=﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其定义域是（0，+∞），
且．…
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0，1）1 （1，
+∞）
f′（x）﹣0 +
f（x）单调递减极小值单调递增
所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．…
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：
①周期T=π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈（0，），f（α﹣）=﹣，f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；
又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，
变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，
由题意，g（x）的图象关于y轴对称，
∴2×+φ=+kπ，k∈Z；
又|φ|＜，∴φ=，
∴函数f（x）=Asin（2x+）；
又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，
∴函数f（x）=2sin（2x+）；
（Ⅱ）由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，
得2sin（2α﹣+）=﹣，
2sin（2β++）=，
∴cos2α=，cos2β=；
又α、β∈（0，），
∴2α、2β∈（0，），
∴sin2α=，sin2β=，
∴cos（2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β
=×+×=．
19．已知函数f（x）=x3﹣ax2+10，
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（I）求出导函数，求出f′（2）即切线的斜率，求出f（2），利用点斜式写出切线的方程．
（II）分离出参数a，构造函数g（x），求出g（x）的导函数，判断出g（x）在区间[1，2]内的单调性，求出g（x）的最小值，求出a的范围．
【解答】解：（I）当a=1时，f′（x）=3x2﹣2x，f（2）=14，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k=f′（2）=8，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为8x﹣y﹣2=0．
（II）．有已知得：，
设，，
∵1≤x≤2∴g′（x）＜0
所以g（x）在[1，2]上是减函数．
∴，
所以．
20．设函数f（x）=a﹣lnx（a＞0）．
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导函数，根据f（x）在[1，+∞）上递增，可得在[1，+∞）上，恒成立，由此可求a的取值范围；
（2）由，x∈[1，4]，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求f（x）在[1，4]上的最小值．
【解答】解：（1）求导函数，可得
∵f（x）在[1，+∞）上递增，
∴在[1，+∞）上，恒成立
∴在[1，+∞）上，
∴a≥2
∴a的取值范围为[2，+∞）；
（2）由，x∈[1，4]
①当a≥2时，在x∈[1，4]上，f'（x）≥0，∴f min（x）=f（1）=a
②当0≤a≤1时，在x∈[1，4]上，f'（x）≤0，∴f min（x）=f（4）=2a﹣2ln2
③当1＜a＜2时，在上f'（x）≤0，在上f'（x）≥0
此时
综上所述：
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：
①x0=；
②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…
由已知得，．…
（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…
（2）当a＜0时，
①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…
②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…
③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…
综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，
则，．
=
=…
曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…
依题意得：=．
化简可得：=，
即==．…
设（t＞1），上式化为：，
即．…
令，=．
因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…
xx年1月8日31694 7BCE 篎O39924 9BF4 鯴36967 9067 遧22764 58EC 壬25889 6521 攡38669 970D 霍21424 53B0 厰=!C p"。