6分类讨论思想在解题中的应用

第6讲 分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析
例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -=
C. x y x y +-=-=70250或
D. x y y x ++=-=70250或
分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=2
5
250，即； 当a ≠0时，设直线方程为
x a y
a
a +==17，则求得，方程为x y +-=70。

例2．∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos =
=125
13
分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。

但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。

对角A 进行分类。

解：
051322<=<cos B B ABC ，且为的一个内角∆∴<<=459012
13
B B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===12303
2
若为钝角，由，得，此时A A A A B sin =
=+>1
2
150180
这与三角形的内角和为180°相矛盾。

可见A ≠150 []∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π
[]=-⋅-⋅cos cos sin sin A B A B =-⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=
-325131212131253
26 例3.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。

分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k ，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在… 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2
例4.解关于的不等式：x log ()a x
11
1->
分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。

而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同，故需对a 进行分类讨论。

解：若，则原不等式等价于a >1111
10-
>⇒-<<x a a x 若，则原不等式等价于01110
11111<<->-<⎧⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪⇒<<-a x
x
a x a 综上所述，当时，原不等式的解集为；a x a x >-<<⎧⎨⎩⎫
⎬⎭1110
当时，原不等式的解集为01111<<<<-⎧
⎨⎩⎫⎬⎭
a x x a
例5.解不等式542--≥x x x
分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x 分类。

解：原不等式等价于或x x x x x x x x x ≥--≥--≥⎧⎨⎪⎩
⎪<--≥⎧⎨⎩0
5405405402
222
⇒≥-≤≤--≤≤-+⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪<-≤≤⎧⎨⎩x x x x x 05111421142051或 ⇒≤≤-+
-≤<0114250x x 或 ⇒-≤≤-+5114
2
x ∴-≤≤-+⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪原不等式的解集为x x 51142
例6.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()
分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两
根之外，还是在两根之间。

而确定这一点之后，又会遇到1与1
a
谁大谁小的问题，因
而又需作一次分类讨论。

故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>
（）当时，原不等式化为2011
0a a x x a ≠--<()()
①若，则原不等式化为a x x a
<-->011
0()()
1011a
a <∴
< ∴<>不等式解为或x a
x 1
1 ②若，则原不等式化为a x x a
>--<011
0()()
（）当时，，不等式解为i a a a x ><<<1111
1
()ii a a x 当时，，不等式解为==∈∅11
1
()iii a a x a
当时，
，不等式解为011111<<><< 综上所述，得原不等式的解集为
当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫
⎬⎭011；{}当时，解集为a x x =>01|；
当时，解集为0111<<<<
⎧
⎨⎩
⎫
⎬⎭
a x x a ；当时，解集为a =∅1；
当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
111。

例7.已知等比数列的前n 项之和为n S ，前n+1项之和为1n S +，公比q>0，令
T S S n T n n
n n =
→∞+1
，求lim 。

分析：对于等比数列的前n 项和S n 的计算，需根据q 是否为1分为两种情形：
当时，；当时，q =1S na q S a q q
n n n =≠=--11111()
另外，由于当时，，而已知条件中||lim q n q q n <→∞=>100
故还需对q 再次分类讨论。

解：当时，，q S na S n a n n ===++11111() ∴→∞=→∞+=lim lim n T n n
n n 1
1
当时，，q S a q q S a q q n n n n ≠=--=--++111111111()() ∴==--++T S S q q
n n n n
n 11
11 01lim 1n q T n <<=→∞
当时，； 1111lim lim
1
n
n n q
q T n n q q q
->==→∞→∞-当时， 综上所述，知，，lim ()()n T q q
q n →∞=<≤>⎧⎨⎪
⎩
⎪10111
例8.设，问方程表示什么曲线？k R k x k y k k ∈-+-=--()()()()848422
分析：容易想到把方程变形为
，但这种变形需要，且x k y k
k 22
4814-+-=≠ k k k k ≠--∈-∞+∞848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，，，，，，，，又注意到k k k k k ∈-∞=∈=∈+∞()()()444888k k k k k k -=->-≠-->->480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，，，，，，k =-∞644466()()（，），，（，）6888+∞
解：（1）当k=4时，方程变为4x 2=0，即x=0，表示直线； （2）当k=8时，方程变为4y 2=0，即y=0，表示直线；
（）当且时，原方程变为
34848122
k k x k y k
≠≠-+-= （i ）当k<4时，方程表示双曲线；（ii ）当4<k<6时，方程表示椭圆；
（iii ）当k=6时，方程表示圆；（iv ）当6<k<8时，方程表示椭圆； （v ）当k>8时，方程表示双曲线。

例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C 63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。

同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。

因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。

解：C C C C C C C C C C C C C C C C P 4
3334331324231333231433241333242
32⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ +++⋅⋅+⋅⋅=C C C C C C C 3343324132323142
309
或：C C C C C C C C C C 33733132633231533343
309⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=
三、总结提炼
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。

但可以在解题时不断地总结经验。

如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。

这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。

常见的“个别”情形略举以下几例：
（1）“方程20ax bx c ++=有实数解”转化为240b ac ∆=-≥“”时忽略了了个别情
形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；
（2）等比数列{}
1
1n a q
-的前n 项和公式1(1)
1n n a q S q
-=-中有个别情形：1q =时，公
式不再成立，而是S n =na 1。

(3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直
时，直线无斜率，应另行考虑。

(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1x y
a a +=，，但有个别情形：a=0
时，再不能如此设，应另行考虑。

四、强化练习：见优化设计。

【模拟试题】 一. 选择题：
1. 若a a p a a q a a p q a a >≠=++=++011132，且，，，则、log ()log ()的大小关系为（ ） A. p q = B. p q <
C. p q >
D. a p q >>1时，；01<<<a p q 时，
2. 若{}
A x x p x x R =+++=∈|()2210，，且A R +=∅，则实数中的取值范围是（ ） A. p ≥-2 B. p ≤-2 C. p >2
D. p >-4
3. 设A={}{}x x a B x ax A B B a ||-==-==010，，且，则实数的值为 （ ） A. 1
B. -1
C. 11或-
D. 110，或-
4. 设ωωωωω是的次方根，则…171+++++236的值为（ ） A. 1
B. 0
C. 7
D. 0或7
5. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -=
C. x y x y +-=-=70250或
D. x y y x ++=-=70250或
6. 若sin cos sin cos ()x x x x n N n n +=+∈1，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 11或- D. 不能确定
7. 已知圆锥的母线为l ，轴截面顶角为θ，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值
为（ ）
A. 1
2
2l ⋅sin θ
B. 12
2l
C. l 2sin θ
D. 以上均不对
8. 函数f x mx m x ()()=+-+231的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为（ ） A. [)0，+∞ B. (]-∞，1 C. (]01，
D. （，）01
二. 填空题
9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。

10. 若log a
2
3
1<，则a 的取值范围为________________。

11. 与圆x y 2221+-=()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。

12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答）
13. 不等式322101log log ()a a x x a a -<->≠且的解集为_____________。

三. 解答题：
14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为23，另一双曲线与此椭圆
有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。

15. 设a>0且a ≠1，试求使方程log ()log ()a a x ak x a -=-222有解的k 的取值范围。

【试题答案】 一. 选择题 1. C 2. D
3. D
4. D
5. C
6. A
7. D
8. B
提示：1. 欲比较p 、q 的大小，只需先比较a a a a 3211++++与的大小，再利用对数函数的单调性。

而决定a a a a 3211++++与的大小的a 值的分界点为使
()a a 31++-
()()a a a a 22110++=-=的a 值：a=1，
当a>1时，a a a a 3211++>++，此时log ()log ()a a a a a a 3211++>++，
即p q >.
当0111113232<<++<++++>++a a a a a a a a a a a 时，，此时log ()log ()即
p q >。

可见，不论a>1还是0<a<1，都有p>q 。

2. 若A =∅，即∆=+-<-<<=∅+()p p A R 240402，时，；
若A p p A R ≠∅≥-+<⎧⎨⎪
⎩⎪⇒≥=∅+，则时，∆02200
可见当-<<≥400p p 或时，都有A R +=∅，故选（D ） 3. 若B A B B a =∅==，则，此时 0
若B ≠∅，则a ≠0，∴=⎧⎨⎩⎫
⎬⎭
=⊆B a A B B B A 1，由知
∴
∈∴-==-=-11
011011a A a
a a a ，，解得或，故，或 4. 由ω是1的7次方根，可得ω71=；显然，1是1的7次方根，故可能ω=1；
若ωωωωωω
ω≠++++=
--==1111012
6
7
，则…，若，则 11111726++++=++++=ωωω…… 故选（D ）
5. 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=2
5
250，即； 当a ≠0时，设直线方程为
x a y
a
a +==17，则求得，方程为x y +-=70 6. 由sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x +=+=⋅=1102，得，即
当时，；当时，，sin cos cos sin x x x x ====0101 于是总有sin cos n n x x +=1，故选（A ）
7. 当θ≤90 时，最大截面就是轴截面，其面积为1
2
2l sin θ；
当θ>90 时，最大截面是两母线夹角为90 的截面，其面积为1
2
2l
可见，最大截面积为121
222l l 或sin θ，故选（D ）
8. 当m =0时，f x x x ()=-+311
3
0，其图象与轴交点为（，）满足题意
当时，再分，两种情形，由题意得m m m ≠><000
m m m m x x m m m >≥-->⎧
⎨⎪⎪⎩⎪⎪<=<⎧⎨⎪⎩
⎪<≤<0032001
001012∆或解得或 综上可知，m m m =<<≤0001或或，m ≤1 故选（B ）
二. 填空题 9.
8
4
π
π
或
（提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则V 柱=(⋅=πππ
228
2)；若
长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V 柱=(⋅=πππ
1442)）
10. 02
3
1<<
>a a 或 （提示：对a 分：011<<>a a 与两种情况讨论）
11. y x y x x y x y ==-+-+=+--=33220220或或或()() （提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形） 12. 4186种
（提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件
次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：C C C C 4346244461
⋅+⋅=4140+46
=4186）
13. 若a >1，则解集为x a x a x a 2334≤<>⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭
⎪或 若01<<a ，则解集为x a x a x a 34230<≤<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭
⎪或 （提示：设log a x t t t =-<-，则原不等式可简化为3221
解之得233412334
1≤<>≤<>t t x x a a 或，即或log log 对a 分类：a >1时，a x a x a 2
334≤<>或； 0102334
<<≥><<a a x a x a 时，或）
三. 解答题
14. 解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x 轴上，可设它们方程分别为 x a y b a b x a y b a b 2222222
210100+=>>-=>>（），，''('')，依题意 c c a b c a c b a a c a
c a a b a b x y x y ===+=-+==⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⇒====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴+=-=''''
'''''13
2823776324936194
12222222222
：：两曲线方程分别为， （2）若焦点在y 轴上，则可设椭圆方程为y a x b
a b 222
210-=>>() 双曲线方程为y a x b a b 222
2100''
('')-=>>，，依题意有 c c c a b c a b a a c a
c a a b a b ===-=++==⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⇒====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪'''''''13
282377632222222：：
∴+=-=椭圆方程为，双曲线方程为y x y x 2222
4936194
1 15. 解：原方程可化为log ()log a a x ak x a x ak x a -=-⇒-=-222
2 令f x x ak g x x a x ak x a ()()()=-=-->->，且222200
则对原方程的解的研究，可转化为对函数f x g x ()()、图象的交点的研究 下图画出了g x ()的图象，由图象可看出
x
（1）当直线f x x ak A a A a ()()()=--过点，，，1200时，与双曲线无交点，此时k =±1即当k =±1时，原方程无解；
（2）当直线f x x ak O f x ()()=-过原点（，）时，00图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解；
（3）当直线f x x ak ()=-的纵截距满足-<-<->a ak ak a 0或，即01<<k 或k <-31时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。

综上所述，当k ∈-∞-()，（，）时，原方程有解。

101。