2022-2023学年山东省潍坊市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．
（ ）AB BC CA +-= A ．B ．C ．D ．2CA
AC 0 2AC
D
【分析】利用向量的运算法则求解.
【详解】解：，
AB BC CA +- ，AC CA =-
，AC AC =+ ，
2AC = 故选：D 2．点
到直线的距离为1，则
（ ）()
00,P x y 1x =0x =A ．0或2B ．1或2
C ．0
D ．2
A
【分析】由点到直线的距离求解.【详解】解：因为点到直线的距离为1，
()
00,P x y 1x =所以
，
-=011
x 解得 或00x =0
2x =故选：A 3．已知向量与
平行，则（ ）
()
,2,6a x =-
()
1,,3b y =-
x y +=A ．1B ．C ．3
D ．1
-3
-B
【分析】根据向量平行列方程，求得进而求得.,x y x y +【详解】由于向量与
平行，
(),2,6a x =-
()
1,,3b y =-
注意到
，
()()
632=-⨯-
所以，故.()()1222x y ⎧=⨯-⎪⎨
-=⨯-⎪⎩2,1,1x y x y =-=+=-故选：B
4．直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）
1l 2l 210x mx --=A ．
B ．
12
//l l 12
l l ⊥C ．与相交但不垂直D ．与的位置关系不确定
1l 2l 1l 2l B
【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.【详解】设直线的斜率分别是，
12,l l 12,k k 依题意
，所以.
1212,1k k m k k +=⋅=-12l l ⊥故选：B
5
点
；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那
()3,3()2,1()7,0么这位同学是（ ）A ．甲B ．乙
C ．丙
D ．丁
D
【分析】通过假设的方法判断出错误的同学.【详解】设
.
()()()
3,3,2,1,,7,0A B C 假设甲错误，乙丙丁正确，
==，矛盾，所以甲正确.
AB BC
≠假设乙错误，甲丙丁正确，
由甲、丙正确可知圆的方程为
，
()()22
215
x y -+-=不满足上式，矛盾，所以乙正确.
()
7,0C 假设丙错误，甲乙丁正确.
.
5=>假设丁错误，甲乙丙正确，
则由甲丙可知圆的方程为
，
()()22
215
x y -+-=满足上式，符合题意.
()
3,3A 综上所述，结论错误的同学是丁.故选：D 6．已知直线
经过定点P ，直线经过点P ，且的方向向量，
()()1:210
m x m l y m ++++=l 'l '()2,1a =
则直线的方程为（ ）l 'A ．B ．230x y --=230x y -+=C ．D ．230x y -+=230
x y --=B
【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量
，求出
P l '(,)A m n A P l '()
2,1a =
，进而利用两点式，求出直线方程.
A 【详解】对化简得，，得，解得，点，l :(21)0l m x y x y ++++=210
0x y x y ++=⎧⎨
+=⎩11x y =-⎧⎨=⎩(1,1)P -又直线经过点P ，且的方向向量
，可设上一点为，其中与不重合，
l 'l '()
2,1a =
l '(,)A m n A P 则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：1211m n +=⎧⎨-=⎩12m n =⎧⎨=⎩l '.
230x y -+=故选：B 7．正四棱柱
的底面边长为2，点E ，F 分别为，的中点，且已知与
1111ABCD A B C D -1CC 1DD 1A E BF 所成角的大小为60°，则直线
与平面BCF 之间的距离为（ ）
1A E A ．B
C
D
C
【分析】由
，可得，结合题干条件在中求解可得，由
1//A E HC 60BOC ∠= Rt HBC AH =可得直线与平面BCF 之间的距离即为点与平面BCF 之间的距离，1//A E HC 1A E E 作可证明为点与平面BCF 之间的距离，求解即可.
EG FC ⊥EG E
【详解】取为
中点，连接不妨令相交于，
H 1AA ,,,HB HF FC ,HC FB O 由于点E 为的中点，故，
1CC 11,//A H CE A H CE =即四边形
为平行四边形，故，故与BF 所成角的大小与与所成角的大
1A HCE 1//A E HC 1A E HC BF 小相等，即，
60BOC ∠=
不妨设，故AH x =2,BH BC CH ==由平面
，平面，故，点为中点，
BC ⊥11ABB A BH ⊂11ABB A 90CBH ∠= O CH
故，又，故为等边三角形，即
，
OB OC =60BOC ∠=
BOC 2OC BC ===
解得x =1AA =连接，作于，,EF EB EG FC ⊥G 由于
，平面BCF ，平面BCF ，故 平面BCF ，
1//A E HC 1A E ⊄HC ⊂1//A E 则直线
与平面BCF 之间的距离即为点与平面BCF 之间的距离，
1A E E 由平面，平面
，故，又平面BCF ，
BC ⊥11CDD C EG ⊂11ABB A EG BC ⊥,,FC BC C FC BC ⋂=⊂故平面BCF ，即为点与平面BCF 之间的距离，EG ⊥EG E
2,EC EF CD FC =====
故与平面BCF .EC EF EG FC ⨯===1A E 故选：C
8．已知直线，点是圆内一点，若过点A 的圆的最短弦所在
2:0++=l ax by r (),A a b 222:C x y r +=直线为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．l 与圆C 相交，且B ．l 与圆C 相切，且l m
⊥//l m
C ．l 与圆C 相离，且
D ．l 与圆C 相离，且l m ⊥//l m
D
【分析】由题可得，利用圆的性质可得过点
2
2
2
a b r +<r
>A 的圆的最短弦与垂直，进而即得.CA 【详解】因为点
是圆内一点，
()
,A a b 222
:C x y r +=所以，
222
a b r +<
所以圆心
到直线
，
()
0,0C 2
:0++=l ax by r r >所以直线l 与圆C 相离，
由圆的性质可知当时，过点A 的圆的弦最短，此时，
CA m ⊥m a k b =-
所以.//l m 故选：D.
二、多选题
9．已知a ，b 为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）αβA ．，，B ．，，//αβa α⊂//b a b β⊂⇒a α⊥b β⊂//a b
αβ⇒⊥C ．，，D ．，，，//αβ//a b a b αβ⊥⇒⊥αβ⊥a α⊂b β⊂a b a β
⊥⇒⊥BC
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，若，，，则可能异面，A 选项错误.
//αβa α⊂b β⊂,a b B 选项，由于，，所以，由于，所以，B 选项正确.
a α⊥//αβa β⊥
b β⊂a b ⊥
C 选项，由于，，所以，由于，所以，C 选项正确.
a α⊥//αβa β⊥//a
b b β⊥D 选项，若，，，，则可能，D 选项错误.
αβ⊥a α⊂b β⊂a b ⊥
a αβ⋂=故选：BC
10．关于直线，以下说法正确的是（ ）:0l ax y a ++=A ．直线l 过定点
B ．时，直线l 过第二，三，四象限
()
1,0-0a >
C ．时，直线l 不过第一象限
D ．原点到直线l 的距离的最大值为1
0a <ABD
【分析】由确定定点坐标，根据a 的符号判断直线所过的象限，根据时原:(1)0l a x y ++=OM l ⊥点到直线l 的距离的最大求最大距离.
O 【详解】由过定点，A 正确；
:(1)0l a x y ++=(1,0)M -当，过定点，斜率为负，故过第二、三、四象限，B 正确；0a >(1)y ax a a x =--=-+(1,0)M -当，过定点，且斜率为正，过一、二、三象限，故C 错误；a<0=--y ax a (1,0)M -要使原点到直线l 的距离的最大，只需，即距离等于，D 正确.O OM l ⊥||1OM =故选：ABD 11．过点
的直线l 与圆相交于不同的两点A ，B ，弦AB 的中点为P ，曲线D 为
()
1,1C 22
:4O x y +=点P 组成的集合，则下列各选项正确的是（ ）A ．
的最小值为2
B ．可能为等腰直角三角形
AB
AOB C ．曲线D 的方程为D ．曲线D 与圆O 没有公共点
2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭BCD
【分析】由题意求的轨迹方程，再由圆的性质，圆与圆的位置关系对选项逐一判断，
P 【详解】由题意得，设，则，
0PC PO ⋅=
(,)P x y (1)(1)0x x y y -+-=即曲线D 的方程为，故C 正确，2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
对于A ，时，取得最小值，故A 错误，
||OC OC AB ⊥AB
=
对于B ，当时，，为等腰直角三角形，故B 正确，
OC AB ⊥AB =AOB
对于D ，曲线D 的圆心，则，两圆无公共点，故D 正确，11
(,22D ||2OD =<故选：BCD
12．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，
P ABCD -ABCD //AB CD ，．在四棱锥中，以下结论正2222AB BC CD BE ====90ABC ABH CBE ∠=∠=∠=︒P ABCD -确的是（ ）
A ．平面平面PAD ⊥PBD B
．PA =C ．三棱锥的外接球表面积为-P ABC 4π
D ．平面与平面
PAD PBC ABD
【分析】由平面图还原立体图，由面面的垂直的判定定理判断选项A ，根据勾股定理计算判断PA 选项B ，先计算底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理计算外接球半径，代入球的面积公ABC 式计算即可判断选项C ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量夹角计算公式求解判断选项D.【详解】由四棱锥的平面展开图还原立体图，P ABCD -可得平面，，，PB ⊥ABCD BC CD ⊥2222AB BC CD PB ====又平面，所以，，
,AB AD ⊂ABCD PB AD ⊥PB AB ⊥
在直角梯形中，
，
ABCD AD BD =2AB =所以，即，又因为平面，
222
AB AD BD =+AD BD ⊥,PB BD ⊂PBD ，所以平面，又平面，
PB BD B ⋂=AD ⊥PBD AD ⊂PAD 所以平面平面，故A 正确；PAD ⊥PBD 因为，，
PB AB ⊥2
2AB PB ==所以
B 正确；
PA =
=由题意，的外接圆半径为
，
ABC
12r AC =
=
=所以三棱锥的外接球半径为
-P ABC
，
R ===所以三棱锥外接球的表面积为
-P ABC
，故C
错误；2
4π6π
S ==由题意，建立如图所示空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
()
2,1,0A -()
0,1,0B ()
0,0,0C ()
1,0,0D -()
0,1,1P 因为，，，
PB AB ⊥BC AB ⊥PB BC B ⋂=平面，所以平面，
,PB BC ⊂PBC AB ⊥PBC 所以平面的法向量为，PBC ()
2,0,0AB =
又，，()1,1,0AD =- ()1,1,1PD =---
设平面的法向量为，PAD ()
,,n x y z =
则，得，00
00AD n x y x y z PD n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨---=⋅=⎩⎪⎩
()1,1,2n =- 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为PAD PBC ，故D 正确
.cos ,AB n AB n AB n ⋅<>==
= 故选：
ABD
三、填空题
13．直线的横截距与纵截距的和为______．
210x y +-=##1.5
3
2【分析】根据直线方程直接求解横纵截距，即可得横截距与纵截距的和.【详解】解：直线得，当时，；当时，
210x y +-=0x =1y =0y =1
2
x =
则横截距与纵截距的和为.1312
2+=
故答案为.3
2
14．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的
π
3距离为______．
【分析】首先根据题意，画出示意图，结合直角三角形即可求解.
【详解】如下图，依据题意，设内有一点C ，过C 作棱的垂线，垂足B ，与的夹角即为二面
ααβ角，即
.又因为，在中，
，则有
，解得
3ABC π
∠=
2BC =ABC 2CAB π
∠=
cos cos
6
AC
ACB BC π
∠==
AC =
15．点P 在圆
上运动，直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，
()2
222
x y -+=20x y ++=面积的最大值为______．
ABP 6
【分析】先求出两点的坐标进而结合两点间的距离公式求出
的长度，再根据圆
,A B AB
上点到直线的距离的最大值为圆心
到直线的距离加半
()
2
222
x y -+=20x y ++=()2,020x y ++=径来求出点到直线的距离最大，即可求出结果.P 20x y ++=
【详解】由题意可知,
()()
2,0,0,2A B --=由于
长度为定值，故面积的最大值时即为点到直线的距离最大，
AB
ABP P 20x y ++=而圆
上点到直线的距离的最大值为圆心
到直线的距离
()2
222
x y -+=20x y ++=()2,020x y ++=加半径，
又因为圆心
到直线，
()2,020x y ++=
所以点到直线的距离最大值为P 20x y ++==
因此面积的最大值为，ABP 6
21
⨯=故6.
四、双空题16．已知正方体
的棱长为2，点M 是棱BC 的中点，点N 是棱上的一个动点，
1111ABCD A B C D -1CC 设点A ，M ，N 确定的平面为，当点N 为的中点时，平面截正方体的截面的面积为α1CC α______．点
到平面的距离的最小值为______．
1A α
##92 4.5【分析】当是的中点时，画出截面，根据梯形面积公式求得截面面积.当是棱上任意一N 1CC N 1CC 点时，建立空间直角坐标系，利用向量法求得到平面的距离的表达式，结合二次函数的性质求
1A α得其最小值.
【详解】（1）当是的中点时，N 1CC 连接，由于，
11,AD BC 11////MN BC AD 所以
四点共面，所以平面即平面，
1,,,A M N D α1AMND 根据正方体的性质可知，四边形
是等腰梯形，
1AMND
11MN AD D N AM ====
所以等腰梯形
1AMND =
.9
2=
（2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
N 1CC ，
()()()2,0,0,1,2,0,1,2,0A M AM =-
设，，
()0,2,,02N t t ≤≤()1,0,MN t =-
设平面的法向量为，
α(),,n x y z =
则，故可设，200n AM x y n MN x tz ⎧⋅=-+=⎪
⎨⋅=-+=⎪⎩
()2,,2n t t = ，
()10,0,2AA =
所以到平面
，
1A α，
2204,45424t t ≤≤≤+≤所以当，时，到平面
2t =25424t +=1A
α===故92五、解答题17．已知向量，
，且
()
1,1,0a =
()
1,0,b c =-
a + (1)求c 的值；
(2)若与互相垂直，求实数k 的值．
ka b + 2a b - (1)2c =±(2)7
5
k =
【分析】（1）求出
，根据向量模长公式列出方程，求出；
()
0,1,b a c +=
2c =±（2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.2c =2c =-【详解】（1），
()()()
01,0,1,1,0,1,b c a c =-++=
所以
；
a + 2c =±（2）当时，
2c =，
()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+
，
()()()
2202,21,0,2,,23,a b -=-=--
因为与互相垂直，
ka b + 2a b - 所以
，解得：
，
()2
31220
k k -+-=75k =
当时，
，
2c =-()()()
210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---=
()()()
2202,21,0,2,,23,a b -=-=--
因为与互相垂直，
ka b +
2a b - 所以
，解得：
，
()2
31220
k k -+-=75k =
综上.
75
k =
18．已知直线过点，且倾斜角是直线
倾斜角的倍．
l (2P :l y '=1
2
(1)求直线的方程；
l (2)设直线与直线的交点为Q ，点
R 在直线上，若三角形PQR
R 的坐标．l l 'l '
y -=(2)
，或3,2⎛ ⎝
R 12R ⎛- ⎝【分析】（
1）求出直线的斜率、倾斜角可得，直线的倾斜角、斜率，再由直线的点斜式方程可l 'l 得答案；
（2）求出点坐标，设
可得，再求出，点到直线的距离利用三角形
Q ()
,R a b b =PQ
(),R a b l
的面积为
可得答案.
PQR 1
2
=
d
PQ
a
【详解】（1）因为直线的斜率为
，
:l y '=
k=
2π
3
所以直线
的倾斜角为的方程为，l
π
3
l)2
y x
=-
；
y
-=
（2）由解得，设，所以
，
y
y
⎧=
⎪
-=
1
,
2
⎛
⎝
Q
(),
R a
b b=
，
3
==
PQ
点到直线的距离为
(),
R a b
l
d
所以三角形的面积为
PQR
1
2
=
d PQ
解得或
，
3
2
a=
1
2
a=-
当时，，此时，
3
2
a==
b
3
,
2
⎛
⎝
R
当时，，
1
2
a=
-b=
1
2
R
⎛
-
⎝
即点，或.
3
,
2
⎛
⎝
R
1
2
R
⎛
-
⎝
19．已知圆，圆C过点且与圆O相切于点．
22
:2
O x y
+=()
5,3
M()
1,1
N
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形
PAOB面积的最大值．
(1)
22
8850
339
x y
⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【分析】（1）设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，再由圆C 与圆O 相切，切点为，得
()
1,1N 到切点
在直线上，求出直线方程，得到
代入，得到方程，从而求出圆心和半
()
1,1N OC OC ()
1,1N 径，得到圆C 的标准方程；
（2）通过分析得到当最长时，直角边AP 的长度最长，此时四边形PAOB 面积取得最大值，作
OP 出辅助线，求出
最大值，求出四边形PAOB 面积的最大值.OP AP 【详解】（1）设圆C 的圆心为，
(),
a b ，化简得，
=
28a b +=因为圆C 与圆O 相切，切点为，
()
1,1N 所以切点
在直线上，直线为
，
()
1,1N OC OC b
y x a =
将代入中，得，
()1,1N b y x a =a b =联立与可得：
，圆心为，
28a b +=a b =8
3a b ==
88,33⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
故圆C 的标准方程为
；2
2
8850339x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）四边形PAOB 面积可看作两个全等的直角三角形PAO 面积与POB
面积之和，直角三角形PAO 中直角边AO AP 的长度最长即可，由勾股定理可知只需最长即可，
OP 显然连接并延长，交圆C 于点，此时最长，
OC P OP
为
max OP ==
此时最长，为
AP max
AP ==四边形PAOB 面积的最大值为
122⨯=20．在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC ，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋-P ABC ABC PA ⊥转至PAD 位置（如图），且二面角的大小为90°．
D PA B -
-(1)证明：A ，B ，C ，D 四点共面，且；
AD PB ⊥(2)若，设G 为PC 的中点，求PB 与平面ABG 所成角的正弦值．4PA AB ==(1)证明见解析；
【分析】（1）利用反证法，假设四点不共面，进而证明假设不成立；再通过证明平面ABCD AD ⊥，可通过线面垂直证明得到线线垂直.
PAB
（2）利用向量法，直接计算线面角的正弦值即可.
【详解】（1）证明：平面，且平面，平面，PA ⊥ ABC AD ⊂ABC AC ⊂ABC ，，，
PA AC ∴⊥PA AD ⊥AC AD ACD ⊂，平面
又，平面，假设四点不共面，AC AD A = PA ∴⊥ACD ABCD 平面，平面，平面平面，
PA ⊥ ABC PA ⊥ACD ∴ABC ∥ACD 与平面平面矛盾，故四点共面；
ABC ⋂ACD AC =ABCD 又因为，所以为二面角的平面角，，即，
,AB PA AD PA ⊥⊥BAD ∠D PA B --90BAD ∴∠=
AD AB ⊥又，且，平面，
PA AD ⊥PA AB A PA AB PAB ⋂=⊂，，平面AD ∴⊥PAB 又平面，PB ⊂PAB AD PB
∴⊥（2）
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ,,AB AD AP ,,x y z ；
A xyz -，得
，(0,0,0),(4,0,0),(2,(0,0,4)A B C
P 2)G ，设平面的法向量为
，
2),(4,0,0)AG AB == ABG (,,)n x y z =
则，即，令，得，
00
AB n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
20
x z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩2y
=(0,2,n =
，(4,0,4)PB =-
sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====
〈〉∣21．在边长为a 的正方体
上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点
1111ABCD A B C D -组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体．
Ω
(1)请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；
(2)设的中心为O ，关于点O 的对称的四面体记为，求与的公共部分的体积．（注：到ΩΩ'ΩΩ'Ω各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）(1)画图见解析式，证明详见解析（答案不唯一）
(2)316
a 【分析】（1）根据正四面体、正方体的知识画图图象，并进行证明.（2）画出与的公共部分，根据锥体体积公式求得正确答案.Ω'Ω
【详解】（1）正方体的边长为，a 每个面都是等边三角形的四面体是正四面体，
如图所示四面体，每个面都是等边三角形，
11B ACD -即四面体
是正四面体.
11B ACD -
（2）依题意可知是正方体的中心，O 由（1）得对应正四面体
，则对应正四面体，
Ω11B ACD -'Ω11D A BC -与的公共部分是正方体六个面的中心为顶点所得的正八面体Ω'Ω123456,,,,,O O O O O O ，123456O O O O O O --
其棱长为，
12=
所以体积为
.
3 111
2
326
a a
⎛⎫
⨯⨯=
⎪
⎪
⎝
⎭
22．已知曲线C是到两个定点，
()
2,0
A-()
2,0
B
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？
(),0
Q t QM QN
⋅
若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
(1)
()22
35
x y
-+=
(2)存在定点，使得为定值
()
2,0
Q QM QN
⋅
4-
【分析】（1）设点
(),
C x y
（2）设直线l方程为，点，联立曲线C的方程，利用韦达定理可以
()2
y k x
=-()
11
,
M x y()
22
,
N x y
求出，由于为定值可知，可求出参数t的值，即可得定点坐标和2
2
42
4
1
t
QM QN t t
k
-
⋅=-+
+
420
t
-=
定值，当斜率不存在时，也符合题意.
【详解】（1）设点，由题意可知
，整理得
(),
C x y
AC
AB
==
，故曲线C的方程为.
()22
35
x y
-+=()22
35
x y
-+=
（2）
设直线l 方程为
，点
，
，
()
2y k x =-()
11,M x y ()
22,N x y 联立，得，
()()2235
2x y y k x ⎧-+=⎪⎨
=-⎪⎩()()()2222146410k x k x k +-+++=所以
，
()()()22
1221212121212
46
222414k x x y y k x k x k x x x x k x x ⎧++=⎪⎡⎤⇒=-⋅-=⋅-+++⎨⎣⎦
⎪⋅=⎩因此
()()()(
)(
)
()21122121212
22
2
2
2212122
2
,,4644212411QM QN x t y x t y x x t x x t y y k t t t
k x x k t x x t t t t k k ⋅=-⋅-=-+++--+-=+-+⋅++=+=-+++
若，即时，
，所以定值为，420t -=2t =2
2424QM QN ⋅=-⨯=- 4-当斜率不存在时，直线l 为，
2x =联立
可求得
，
，
()2
235
x y -+=()
2,2M ()
2,2N -所以
，符合题意.
()()()2
2,22,22442
QM QN t t t t ⋅=-⋅--=--=-⇒= 故存在定点
，使得
为定值.()
2,0Q QM QN ⋅ 4-。