北师大版数学高一(北师大)必修4学案 2.5从力做的功到向量的数量积

2.5 从力做的功到向量的数量积
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几
何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养
学生逻辑思维能力.
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联
系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有
助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
二.教学重、难点
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.
难点: 运算律的理解
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）
思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对Array一般的向量a和b，如何定义这种运算？
1.力做的功：W = |F|•|s|cos
是F与s的夹角
2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cos，
并规定0与任何向量的数量积为0。

3.
[展示投影]
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。

②两个向量的数量积称为内积，写成a•b ；今后要学到两个向量的外积a×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

③在实数中，若a 0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a•b=0，不能推
出b=0。

因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a 、b 、c(b 0)，则ab=bc a=c.但是a•b = b•c
a = c 如右图：a•
b = |a||b|cos = |b||OA| b•
c = |b||c|cos = |b||OA|
a•b=b•c 但a c
⑤在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c a(b•c)
显然，这是因为左端是与c
共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.
[展示投影]思考与交流：
思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.
定义：|b|cos 叫做向量b 在a 方向上的射影。

C
θ = 0︒
θ = 180︒
O A
A B A
1
B
1
1
注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当 为锐角时射影为正值； 当 为钝角时射影为负值； 当 为直角时射影为0； 当 = 0 时射影为 |b|； 当 = 180 时射影为 |b|.
思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.
几何意义：数量积a•b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积。

性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。

①e•a = a•e =|a|cos ②a b a•b = 0
③当a 与b 同向时，a•b = |a||b|；当a 与b 反向时，a•b = |a||b|。

特别的a•a = |a|2或a a a ⋅=
||
④cos =
|
|||b a b
a •（|a||b|≠0）
⑤ |a b|≤|a||b|
【巩固深化，发展思维】 判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b ，有a•b = 0. ( √ ) ②若a 0，则对任一非零向量b ，有a•b 0. ( × ) ③若a 0，a•b = 0，则b = 0. ( × ) ④若a•b = 0，则a 、b 至少有一个为零. ( × ) ⑤ 若a 0，a•b = a•c ，则b = c. ( × ) ⑥若a•b = a•c ，则b = c 当且仅当a 0时成立. ( × ) ⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a•b) •c a• (b•c). ( × ) ⑧对任意向量a ，有a2 = |a|2. ( √ )
思考与交流：
思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是
否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
1.交换律：a•b = b•a
证：设a，b夹角为，则a•b = |a||b|cos，b•a = |b||a|cos
∴a•b = b•a
2.数乘结合律：(λa) •b =λ(a•b) = a• (λb)
证：若λ= 0，此式显然成立.
若λ> 0，(λa) •b =λ|a||b|cos ，
λ(a•b) =λ|a||b|cos ，
a• (λb) =λ|a||b|cos ，
所以(λa) •b =λ(a•b) = a• (λb).
若λ< 0，(λa) •b =|λa||b|cos( ) = λ|a||b|( cos ) =λ|a||b|cos ，λ(a•b) =λ|a||b|cos ，
a• (λb) =|a||λb|cos( ) = λ|a||b|( cos ) =λ|a||b|cos 。

所以(λa) •b =λ(a•b) = a• (λb).
综上可知(λa) •b =λ(a•b) = a• (λb)成立.
3.分配律：(a + b) •c = a•c + b•c
证：在平面内取一点O，作
−→
−
OA= a,
−→
−
AB= b，
−→
−
OC= c，
∵a + b （即
−→
−
OB）在c方向上的投影
等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2
∴c• (a + b) = c•a + c•b 即：(a + b) •c = a•c + b•c.
例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.
2
.(
)1(
,
120
,3
22
2
0+
-
=
=求
与
A B C
例2.已知b a 、
都是非零向量，且b a b a 573-+与垂直，
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

变式迁移1①在ΔABC 中，设边BC ，CA ，AB 的长度分别为a ，b ，c ，用向量方法证明：A bc c b a cos 22
2
2
-+=
②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

[学习小结]
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积. ②向量数量积的几何意义和物理意义. ③向量数量积的五条性质. ④向量数量积的运算律.
课堂练习
1. 判断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b ，有a•b = 0. ( ) ②若a 0，则对任一非零向量b ，有a•b 0. ( ) ③若a 0，a•b = 0，则b = 0. ( ) ④若a•b = 0，则a 、b 至少有一个为零. ( ) ⑤ 若a 0，a•b = a•c ，则b = c. ( ) ⑥若a•b = a•c ，则b = c 当且仅当a 0时成立. ( ) ⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a•b) •c a• (b•c). ( ) ⑧对任意向量a ，有a2 = |a|2. ( ) 2.
2.()1(,120,322
20b a b a +-==求的夹角为与
3.已知都是非零向量，且573-+与垂直，274--与垂直，求的夹角。

4.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

C
A
5. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

参考答案
例1.2
.(
)1(
,
120
,3
22
2
0+
-
=
=求
与
解：（1）5
9
4
2
2
-
=
-
=
-
=
-
（27
=
=
=
=
+
例2.已知b
a、都是非零向量，且b
a
b
a5
7
3-
+与垂直，
b
a
b
a2
7
4-
-与垂直，求b
a、的夹角。

解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a•b 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a•b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2a b = b2 代入①或②得：a2 = b2设a、b
则cos =
2
1
|
|2
|
||
|2
2
=
=
•
b
b
b
a
b
a
∴ = 60
例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

证：设
−→
−
AB=
−→
−
DC= a ,
−→
−
AD=
−→
−
BC= b
∵ABCD为菱形∴|a| = |b|
A B
D C
C
A
∴AC •BD = (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0 ∴−→−AC −→
−BD
即菱形对角线互相垂直。

变式迁移1①在ΔABC 中，设边BC ，CA ，AB 的长度分别为a ，b ，c ，用向量方法证明：A bc c b a cos 22
2
2
-+=
②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

中：−→−−→−=DC AB ，−→−−→−=BC AD ，−→−AC =−→−AB +−→
−AD ∴|−→−AC |2=|−→−AB +−→−AD |2=−→−AB 2+−→−AD 2+2−→−AB •−→
−AD 而−→
−BD =−→
−AB -−→
−AD
∴|−→
−BD |2=|−→
−AB -−→
−AD |2=−→
−AB 2+−→
−AD 2-2−→
−AB •−→
−AD
∴|−→−AC |2 + |−→−BD |2 = 2−→−AB 2+2−→−AD 2= |−→−AB |2+|−→−AD |2+|−→−BC |2+|−→
−DC |2
同步练习
1. ①√ ②× ③× ④× ⑤× ⑥× ⑦× ⑧√
2. 解：（1）
5
9422-=-==-b a
（27
==
==+
3. 解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a•b 15b2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a•b + 8b2 = 0 ②
两式相减：2a b = b2 代入①或②得：a2 = b2设a 、b 的夹角为 ，
则cos =
21
||2||||2
2==•b b b a b a ∴ = 60 4. 证：设−→−AB =−→−DC = a , −→−AD =−→
−BC = b ∵ABCD 为菱形 ∴|a| = |b|
∴−→
−AC •−→
−BD = (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0
A B
D C
∴AC BD即菱形对角线互相垂直。

5. 中：
−→
−
−→
−
=DC
AB，
−→
−
−→
−
=BC
AD，
−→
−
AC=−→
−
AB+
−→
−
AD
∴|
−→
−
AC|2=|−→
−
AB+
−→
−
AD|2=
−→
−
AB2+
−→
−
AD2+2
−→
−
AB•
−→
−
AD
而
−→
−
BD=
−→
−
AB-
−→
−
AD
∴|
−→
−
BD|2=|
−→
−
AB-
−→
−
AD|2=
−→
−
AB2+
−→
−
AD2-2
−→
−
AB•
−→
−
AD
∴|
−→
−
AC|2 + |−→
−
BD|2 = 2
−→
−
AB2+2
−→
−
AD2= |
−→
−
AB|2+|
−→
−
AD|2+|
−→
−
BC|2+|
−→
−
DC|2。