第八章 向量与复数

第八章 向量与复数
向量最初被应用于物理学,很多物理量如力、速 度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量 。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标 平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义 的复数运算来定义向量的运算,把坐标平面上的点
用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几 何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会 了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这 样平静地进入了数学。
实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算,λ称为向量a的 系数。数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩 短。
由数乘向量的定义知,向量a与向量λa共线。 数乘向量满足的运算律(μ,λ为实数): (1) 结合律 λ(μa)=μ(λa)=(μλ)a; (2) 分配律 (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb。
=a+b 由作向量差的方法,知
= - =a-b
三、 数乘向量
定义 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的 长度|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反。 当λ=0时,|λa|=0,即λa为零向量; 当λ=1时, 有1a=a;当λ=-1时, 有(-1)a=-a。
加减运算,下面我们先学习向量的加法。
例1 一辆汽车从A地向正东方向行驶100km到达B地,然后再 从B地沿北偏东45°方向行驶30km到达C地,如图8-5所示。问 汽车两次行驶的总效果如何?
解 总效果是汽车从A地出发到达C处。 由上例很容易看出,位移 刚好是位移 与 的和。 求两个向量和的运算叫做向量的加法。
图 8-1
为了方便起见,向量通常用一条规定了起点与终点的有向线 段来表示。以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量记 作 ,读作向量 ,如图8-1所示。有向线段的方向表示向 量的方向,有向线段的长度表示向量的大小。
向量a的大小称为向量a的长度,或称为向量a的模,记为|a|。
二、 特殊向量和向量间的关系 (1)零向量 长度(模)为0的向量称为零向量,零向量的方向是 任意的。 (2)单位向量 长度为1的向量称为单位向量。单位向量通常 记作e,有|e|=1。
从定义可以看出,两个向量的数量积是一个数量,这个数量的 大小与两个向量的长度及其夹角有关。 例8 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。 解 a·b=|a||b|cosθ =5×4×cos120°
=5×4× =-10
根据向量数量积的定义,容易得到如下重要性质。
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的 夹角,则
例如,2+5i(a=2,b=5),4- i(a=4,b=- )都是复数。
三、 复数的有关概念 1. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi 的形式,叫做复数的代数形式。
2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是 实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫 做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
i7=i4·i3=-i
i-m= (m∈N)
例1 计算: (1) i2006;(2) i-3。 解 (1) i2006=i4×501+2=-1;
(2) i-3= = =
=i。
二、 复数的定义
在引入了虚数单位i及其有关运算规定以后,我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数。其中a叫做复数的实部,b叫做复数的 虚部。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
例9 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b)。 解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b =|a|2-a·b-6|b|2 =|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72
第三节 复数的概念
一、 虚数单位
例如,1-3i,-2- i,-2.5i都复数-2i+3.14的实部和虚部是什么? 答:实部是3.14,虚部是-2。
3.复数集的结构
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R⊂C;全体虚数所组成 的集合,用字母I表示,虚数集I也是复数集C的真子集,即I⊂C 。
因此,复数集的结构关系为
我们知道,方程x2=-1没有实数根。一般地,对于实系数一元二 次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根。这说明,人们 在研究代数方程的过程中,限于实数集合,有些问题就无法解 决。因此,需要把实数集进一步扩充,于是人们引入一个新 数i,叫做虚数单位,并规定:
(1) 它的平方等于-1,即i2=-1i;
向量加法的运算规律: (1) 交换律 a+b=b+a; (2) 结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (3) a+0=0+a=a, a+(-a)=(-a)+a=0。
例2 已知向量a、b(图8-8a),求作向量a+b。 图 8-8
作法:在平面内任取一点O(图8-8b),作 =a, =b,则 =a +b。
(1) e·a=a·e=|a|cosθ;
(2) a⊥b⇔a·b=0;
(3 )当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;
特别地,a·a=|a|2或|a|=
。
(4) cosθ=
;
(5) a·b≤|a||b|。
已知向量a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: (1) a·b=b·a(交换律); (2) (λa)·b=λ(a·b) =a·(λb); (3) (a+b)·c=a·c+b·c。
。其对角线向量 成为a与b的和。这种求向量和的方法称 为平行四边形法则。它的特点是向量有公共始点。
图 8-7
如果向量a= 与向量b= 的和是这样一个向量:
在同一直线上,那么,规定它们
若 与 的指向相同时,和向量的方向与原来两向量相 同,其模等于两向量的模之和。
若 与 的指向相反时,和向量的模等于两向量的模之 差,其方向与模值大的向量方向一致。
例4 已知(x+y)+(2x-3y)i=3-2i(x,y∈R),求x,y。
(5)向量的相等 长度相等且方向相同的向量称为相等的向 量。向量a与向量b相等,记作a=b。
相等的向量经过平移后可以完全重合。
(6)自由向量 一般情况下,我们只考察向量的大小和方向,而 与起点无关,与起点无关的向量称为自由向量。
图 8-3
本书所讨论的向量均为自由向量,因此,任意两个相等的非零 向量都可用同一有向线段表示。
(2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的运 算律仍然成立。
在这种规定下,i就是-1的一个平方根,方程x2=-1的另一个根是i。
此外,虚数单位i的幂运算有下列性质:
i0=1
i1=i
i2=-1
i3=i2·i=-i
i4=i2·i2=1 i5=i4·i=i i6=i4·i2=-1 i8=i4·i4=1 i9=i8·i=i … 一般地,如果n∈N,那么 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i 并规定:
例 如图8-3所示,在平行四边形ABCD中找出与向量 相 等的向量及负向量,找出与向量 共线的向量。
图 8-4
解 与向量 相等的向量有 ( = ); 向量 的负向量有 、 (- = = ); 与向量 共线的向量有 、 、 。
第二节 向量的运算
一、 向量的加法 我们知道,数是可以进行加减运算的。同样,向量也可以进行
图 8-14
显然,<a,b>=<b,a> 当<a,b>=0°时,a与b同向;当<a,b>=180°时,a与b反向。 如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b。
定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a| |b|cos<a,b>叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos<a,b> 并且规定,零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=a·0=0。
例3 m(m∈R)取什么值时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m-6)i是(1)实 数?(2)纯虚数?(3)零?
解 根据复数的定义知 a=6m2-m-1 b=m2-5m-6 (1) 当b=0,即m2-5m-6=0, m=-1或m=6时,复数(6m2-m-1)+(m2-5m6)i是实数。
(2) 当b≠0,即m2-5m-6≠0,m≠-1且m≠6时,复数(6m2-m-1)+(m25m-6)i是虚数。 (3) 当a=0,b≠0时,即6m2-m-1=0,m2-5m-6≠0时,复数(6m2-m-1)+
图 8-9
例4 如图8-10a,已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d。
图 8-10
作法:如图8-10b所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c, =d,作 、 ,则 =a-b, =c-d。
图 8-11
例5 如图8-11所示,在平行四边形ABCD中, =a, =b,用 a、b表示向量 、 。 解 由作向量和的平行四边形法则,得
(3)负向量 与向量a长度相等但方向相反的向量称为a的负 向量,记为-a,特别地,有- = 。
(4)共线向量 方向相同或相反的向量称为共线向量(平行向 量)。向量a与b共线(平行),记为a∥b。图8-2a中,向量a、b、c 共线;图8-2b中,向量a、b不共线。
图 8-2
因为零向量方向的任意性,所以可以认为零向量与任何向量 共线。
向量和复数是研究数学、物理及其他学科的有 效工具。
第一节 向量的概念
在物理学中,我们经常遇到力、速度、位移等一 些量,这些量除了要考虑它们的大小外,还要考虑它 们的方向,这就是我们要研究的向量。
一、 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量称为向量(或矢量)。
向量可用小写黑体字母表示,例如a、b、c。
例3 求下列各题向量的和。 (1) + ; (2) + + 。 解 (1) + = + = ; (2) + + = + +(- )= +0= 。
二、 向量的减法
向量a加上b的负向量,叫做a与b的差,记作a-b, 即a-b=a+(-b)。 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
如图8-9所示,已知a、b,在平面内任取一点O,作 =a, =b, 则 =a-b。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终 点的向量。
加法法则1 已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 =a, =b,则向量 叫做a与b的和,记作a+b,即
上述这种作图求向量和的方法称为三角形法则。它的特点 是:首尾相连接,折线变直线,如图8-6所示。
图 8-6
三角形法则可推广到任意有限个向量的和。
加法法则2 已知向量a、b,在平面内任取一点A,作 =a, =b,以 、 为邻边作平行四边形ABCD,如图8-7所示
解 如图,由三角形法则知 = + 。 =-
又由EF∥BC, =
知, =
所以
= + =- +
四、 向量的数量积
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作 用下产生位移s(图8-13),那么,力F所做的功W可用下式计算
W=|F||S|cosθ
图 8-13
其中θ是F与S的夹角。 从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。 设a、b是两个非零向量,分别作有向线段 、 表示a 、b,把射线OA与射线OB组成的不大于π的角θ称为a与b的夹 角,如图8-14所示,记θ=<a,b>,0≤<a,b>≤π。
(m2-5m-6)i是纯虚数.得到m=- 或m= 。
4.两个复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等。 这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d。 特别地,a+bi=0⇔a=0,b=0。
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,如3+ 5i与4+3i不能比较大小。
例6 计算下列各式。 (1) (-3)×4a; (2) 2(a+b)-4(a-b)。 解 (1) (-3)×4a=-12a; (2) 2(a+b)-4(a-b)=2a+2b-4a+4b=-2a+6b。
例7 如图8-12,在△ABC中, = 试用 、 表示 。
,EF∥BC交AC于F点,
图 8-12