概统第十二章假设检验第二节正态总体显著性水平.

2 0
~ ( n)
2
( n)
2 2
2 02 2> 02
( 已知)
( n)
2 2 1
ch8-25
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 02 2 02
拒绝域
2 12 (n 1)
2
及 n 10 ，计算T 的观察值为
x 0 t s* 10631 .4 10560 n 10 2.7874. 81
由于t 2.7874 1.8331 及 T 的观察值落在拒
ch8 22
绝域 R 中，故拒绝 H 0，即接受 H1 . 所以 可认为这批弦线在抗拉强度方面有显著提 高。
2 x 10631 . 4 N / cm 样本均值 ，样本标准差
ch8 20
s 81.00N / cm2 . 设弦线的抗拉强度服从正态
分布。问这弦线的抗拉强度是否较以往生产 的弦线的抗拉强度为高 0.05 ？
解 本例是单侧检验问题，在 0.05 下， 检验假设 H0 : 10560; H1 : 0 10560.
u
ch8
x 0
0
950 1000 n 25 2.5. 100
14
由于 z 2.5 1.645 u0.95 故拒绝原假设 H 0 认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。
ch8
15
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
ch8 27
由于 0 1.405, 当 H 0 为真时
2
2 X i 0 i 1 5
02 对于给定的检验水平 0.10 ， 2 由 分布表查得
2 n 02.05 5 1.145 ,
2
~ 2 5 .

2 1 2
n 02.95 5 11.071 .
28
因此，检验的拒绝域为
ch8
R 2 1.145

或
2 11.071 .
2 13.683 R 因而拒绝 H 0 ， 由样本值算得 即认为总体方差不正常。
ch8
29
例2 某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常 情况下服从正态分布。现对操作工艺进行了 某些改进，从中抽取 5 炉铁水测得其含碳量 如下： 4.420, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683. 据此是否可以认为新工艺炼出来的铁水含碳 量的方差为 0.1082 0.05?

2
(x
i 1 2
n
i
- x)
2 0
2
或 2 2 (n 1)
2
2 02 2< 02

~ (n 1)
( 未知)
(n 1)
2 2
2 02 2> 02
(n 1
2 2 1
x; n
2
2
H1 : 0 .
对于检验水平 ，查正态分布表得 u1 ， 由于 u1 u1 ，使统计量
ch8 11
Z 满足
PZ u1
W Z u1 .
x
（ 3） （ 4）
如图12—3所示，由（7）式得检验的拒绝域为

x
u1
下，检验假设
ch8
0.05
13
H0 : 1000;
H1 : 1000.
对于 0.05 ，查正态分布表得 u1 u0.95 1.645.
u1 u0.95 u0.95 1.645 因此，
从而该检验的拒绝域
W Z 1.645
计算统计量 Z 的观察值
ch8 5
解 由题中所给条件，可知这是一个正态 总体，且方差已知 2 402 ，对均值 是否
等于 800 进行检验的问题。即检验假设
H0 : 800 ;
H 0 为真时，统计量
H1 : 800.
X 800 Z 9 ~ N 0 , 1 40
对于显著性水平 0.05 ，查正态分布表得
增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材
料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题
ch8 8
是在新工艺下，总体均值 是否比原来总体 均值大，即要检验假设
H0 : 0 ; H0 : 0 ;
H1 : 0 . H1 : 0 .
可以证明，它和假设检验问题 在同一显著性水平 下的检验法是一样的。 下面我们只考虑后者的情形。 类似于前面的讨论，用统计
ch8
23
（2）关于
2
的检验 检验法
2
ch8-24
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 02 2 02
拒绝域

2
(X )
i 1 i
n
2 12 ( n)
2
2
或 2 2 (n)
2
2 02 2< 02
ch8 9
量 Z ，对于检验水平 ，查正态分布表得
u1 使
PZ u1
（ 1）
如图12—2所示，由（1）式得检验的拒绝域为
W { Z u1 }
（ 2）
该检验称之为右方单侧检验。
ch8 10
x

o
图12—2
u1
x
类似地，检验假设
H 0 : 0 ;
自由度 n 1 9 ，由 t 分布表查得
t1 n 1 t0.95 9 1.8331 ,
ch8 21
P T t1 n 1 . 使 因此，该检验的拒绝域为
R T 1.8331 .
.4 N / cm2 s * 81.00N / cm2 . 由 x 10631
2
Z 检验法
x
2
2
u1
2
o
u1
x
2
图示12-1为Z检验法的拒绝域 (双侧)
ch8 3
Z 检验法 (
2
已知)
ch8-4
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0为真时的分布 H0 H1
拒绝域
0 0
0 < 0
~ N (0,1) n Z
Z u
ch8-2
P ( X 0 k 0 ) PH 0 ( X 0 k )
X 0 X 0 k u 1 ) PH 0 ( ) PH 0 ( 2 n n n
取 k u 1
所以本检验的拒绝域为
2
n
0： Z u 1
由样本均值 x 1900 h 及样本标准差 s 490h ，
*
计算T 的观察值为
x 0 t s*
ch8
1900 2000 n 20 0.9126. 490
19
由于 t 0.9126 2.8609. 即 t W ，故接受假 设 H 0 ，即可以认为该批灯泡的平均寿命为 2000h。 例2 某厂生产乐器用的一种镍合金弦线， 长期以来，其抗拉强度的总体均值为 10560 N / cm2。今新生产了一批弦线，随机抽取10 根弦线作抗拉试验，由测得的抗拉强度算得
比较接近为稳妥起见最好再抽一次样ch849接受域置信区间?1假设检验区间估计统计量枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系ch850假设检验与置信区间对照2211nuxnux???210???unx接受域置信区间检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布??0??0?2已知10n0nxz??2已知10n0nxz??原假设h0备择假设h1待估参数ch851接受域置信区间检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布原假设h0备择假设h1待估参数??0??0?2未知1?0?ntnsxt?2未知1?0?ntnsxt?n12nstx?210???tnsx12stx??ch852接受域置信区间1?1?1?1?2221222?nsnnsn221202221??sn检验统计量及其在h0为真时的分布枢轴量及其分布原假设h0备择假设h1待估参数2022022?未知1?1?22022nsn?未知1?1?22022nsnch853由于假设检验是控制犯第一类错误的概率使得拒绝原假设h0的决策变得比较慎重也就是h0得到特别的保护
1 2

X 0
Z u1
0
> 0
Z u1
强度 X ~ N ,402 ，单位：N / cm2 。 从一
例1 假定某厂生产的一种钢索的断裂
批该产品中任选一个容量为 9 的样本，经计
算得 x 780N / cm2 ，能否据此样本，认为这 批钢索的断裂强度为 800N / cm2 0.05?
ch8 7
上述检验中的拒绝域 W { Z u1 } 是双
2
侧的即 Z u1

2
2Leabharlann 或 Z u1 ，也即统计量 Z

2
落入 ( ,u1 ) 和 ( u1 , ) 的概率之和为
2 2


2

因此检验称为双侧检验。
实际应用中，有时只关心总体均值是否
ch8 6
u1 u 0.975 1.96 ，因此检验的拒绝域为
2
R Z 1.96 .
X 800 780 800 z 9 9 1.5. 40 40
计算统计量 U 的观察值
因为 z 1.5 1.96 ，故接受原假设 H 0 。 即认为这批钢索的平均断裂强度为 800N / cm2 是可以接受的。
三、
正态总体的显著水平检验
一个正态总体
ch8-1
（1）关于 的检验
拒绝域的推导 给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn ) 设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验： H0 : 0 ； H 1 : 0 构造统计量
X 0 Z ~ N (0,1) n
P(拒绝HH H0H 为真 0|0 0 )
0 0 0
0
T
X 0 S
*
T t
1

2
< 0 > 0
n ~ t ( n 1)
T t1
T t1
t x; n
2
2
t1
2
o
t1
x
2
图示12-4为t检验法的拒绝域(双侧)
ch8
17
例1 从经验知，灯泡的寿命服从正态分 布，现从一批灯泡中随机抽取 20 个，算得 平均寿命 x 1900 h ，样本标准差 s 490 h 检验该批灯泡的平均寿命是否为2000h 0.01？ 解 这是一个正态总体，方差未知，对 总体均值 是否为2000h 的检验问题。因此
4 0.05183 17.798. 2 0.108
由于 2 17.798W , 因而拒绝 H 0 ，即不能 认为新工艺炼出来的铁水含碳量的方差为
0.108 .
2
ch8
32
ch8-33
例 例 3 2 某汽车配件厂在新工艺下 对加工好的25个活塞的直径进行测量, 得样本方差S*2=0.00066.已知老工艺生 产的活塞直径的方差为0.00040. 问 进一步改革的方向应如何？ 解 一般进行工艺改革时, 若指标 的方差显著增大, 则改革需朝相反方 向进行以减少方差；若方差变化不显 著, 则需试行别的改革方案.
ch8 30
解 要检验假设
H0 : 0.108 ;
2 2 0 2
当 H 0 为真时,
2
02 2 对于给定的检验水平 0.05 ，由 分布
表查得 n 1
2
2
2
n 1S
2 0.025
H1 : 0.108 .
2 2 0 2
o
2
2
12
x
2
图示12-5为 检验法的拒绝域
2
ch8
26
例1 已知维尼仑纤度 X （表示纤维粗细 的一个量）在正常条件下服从正态分布，有 X ~ N 1.405 ,0.0482 ,某日抽取 5 根纤维，测 得其纤度为： 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44 在检验水平 0.10 ，检验这一天纤度的总 体方差是否正常？ 解 即要检验假设 2 2 2 2 H0 : 0 0.048 ; H1 : 0 0.048 .
*2
~ 2 n 1, n 5,
4 0.484,
12 n 1 02.975 4 11.143 .
因此，检验的拒绝域为
ch8 31
R 2 0.484

或
2 11.143 .
由样本值求得

2
n 1S

2 0
*2
采用 t 检验法进行检验。要检验假设
H 0 : 2000;
ch8
H1 : 2000.
18
对于检验水平 0.01 。因为自由度 n 1 19，
由 t 分布表查得 t1 n 1 t0.995 19 2.8609 .
2
从而检验的拒绝域为
W { T 2.8609} .
o
图12—3
12
ch8
该检验称之为左方单侧检验。 例2 某种电子元件，要求使用寿命不 得低于1000 h 。现从一批这种元件中随机
抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命 x
950 h ，设该元件的寿命 X ~ N ,1002 , 在 0.05 的检验水平下，确定这批元件是 否合格？ 解 本例是单侧检验问题。即在