第2课时不等式的证明与柯西不等式

第2课时 不等式的证明与柯西不等式
1．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )
A ．(a ＋3)2<2a 2＋6a ＋11
B ．a 2＋1a 2≥a ＋1a
C ．|a －b|＋
1a －b ≥2 D.a ＋3－a ＋1<a ＋2－ a
答案 C
解析 (a ＋3)2－(2a 2＋6a ＋11)＝－a 2－2<0，
故A 恒成立；
在B 项中不等式的两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇐(a 4－a 3)＋(1－a)≥0⇐a 3(a －1)－(a －1)≥0⇐(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以B 项中的不等式恒成立；
对C 项中的不等式，当a>b 时，恒成立，当a<b 时，不恒成立； 由不等式2a ＋3＋a ＋1<2a ＋2＋a 恒成立，知D 项中的不等式恒成立．故选C. 2．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．
答案 2
解析 (am ＋bn)(bm ＋an)＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab(m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b)2＝2(当且仅当m ＝m ＝2时等号成立)．
3．(2018·沧州七校联考)若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值为________．
答案 3322
解析 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2. 而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x
2即x ＝32时取等号．所以x ＋y 的最小值为3322
. 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________．
答案 3 解析 方法一：(a ＋b ＋c)2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)＝3. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号成立．
方法二：柯西不等式：(a ＋b ＋c)2＝(1×a ＋1×b ＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3.
5．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．
答案 12
解析 由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c)2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.
6．(2018·江苏南通联考)已知x>0，y>0，a ∈R ，b ∈R .求证：(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2y x ＋y
. 答案 略
证明 因为x>0，y>0，所以x ＋y>0.
所以要证(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2y x ＋y
， 即证(ax ＋by)2≤(x ＋y)(a 2x ＋b 2y)，
即证xy(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2
≥0显然成立．故(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2y x ＋y . 7．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy.
答案 略
证明 因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y>0.故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y
＝9xy.
8．(2018·福建质量检查)若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2.
(1)求abc 的最大值；
(2)证明：1a ＋1b ＋1c ≥92
. 答案 (1)827
(2)略 解析 (1)因为a ，b ，c ∈R ＋，
所以2＝a ＋b ＋c ≥33abc ，故abc ≤827
. 当且仅当a ＝b ＝c ＝23
时等号成立． 所以abc 的最大值为827
. (2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式，可得1a ＋1b ＋1c ＝12(a ＋b ＋c)·(1a ＋1b ＋1c )＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]×[(
1a )2＋(1b )2＋(1c )2]≥12(a ×1a ＋b ×1b ＋c ×1c )2＝92
. 所以1a ＋1b ＋1c ≥92
. 9．(2016·课标全国Ⅱ，理)已知函数f(x)＝|x －12|＋|x ＋12
|，M 为不等式f(x)<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b|<|1＋ab|.
答案 (1){x|－1<x<1} (2)略
解析 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x<12，
2x ，x ≥12
. 当x ≤－12
时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1； 当－12<x<12时，f(x)<2； 当x ≥12
时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1. 所以f(x)<2的解集M ＝{x|－1<x<1}．
(2)由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a ＋b)2－(1＋ab)2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b|<|1＋ab|.
10．(2015·湖南理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b
.证明： (1)a ＋b ≥2；
(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．
答案 (1)略 (2)略
解析 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab
，a>0，b>0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.
(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，则由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．
11．(2018·广州综合测试)已知函数f(x)＝|x ＋a －1|＋|x －2a|.
(1)若f(1)<3，求实数a 的取值范围；
(2)若a ≥1，x ∈R ，求证：f(x)≥2.
答案 (1)(－23，43
) (2)见解析 解析 (1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3.
①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a)<3，解得a>－23，所以－23
<a ≤0； ②当0<a<12时，得a ＋(1－2a)<3，解得a>－2，所以0<a<12
； ③当a ≥12时，得a －(1－2a)<3，解得a<43，所以12≤a<43
. 综上所述，实数a 的取值范围是(－23，43
)． (2)f(x)＝|x ＋a －1|＋|x －2a|≥|(x ＋a －1)－(x －2a)|＝|3a －1|，
因为a ≥1，所以f(x)≥3a －1≥2.
12．(2018·福州五校二次联考)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋1|.
(1)若不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)设m>0，n>0，且m ＋n ＝1，求证：2m ＋1＋2n ＋1≤2f （x ）.
答案 (1)[－1，3] (2)略
解析 (1)方法一：依题意，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x>12
，2，－12≤x ≤12，－4x ，x<－12
∴f(x)min ＝2.
∵不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立，
∴a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3，
∴实数a 的取值范围是[－1，3]．
方法二：∵f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，∴f(x)min ＝2.
∵不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立，∴a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3，∴实数a 的取值范围是[－1，3]．
(2)由(1)知f(x)≥2，∴2f （x ）≥2 2.
∵(2m ＋1＋2n ＋1)2＝2(m ＋n)＋2＋2（2m ＋1）（2n ＋1）≤4＋(2m ＋1)＋(2n ＋1)＝8，当且仅当m ＝n ＝12
时等号成立． ∴2m ＋1＋2n ＋1≤22， ∴2m ＋1＋2n ＋1≤2f （x ）
.
1．(2017·武汉4月调研)(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集；
(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1. 答案 (1){x|－7≤x ≤13
} (2)略 解析 (1)当x ≤－32
时，－x ＋5＋2x ＋3≥1， 解得x ≥－7，∴－7≤x ≤－32
； 当－32<x<5时，－x ＋5－2x －3≥1，解得x ≤13
， ∴－32<x ≤13
； 当x ≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x ≤－9，舍去．
综上，－7≤x ≤13
. 故原不等式的解集为{x|－7≤x ≤13
}． (2)要证a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1，
即证2ab ≤12，即证ab ≤14
. 而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14
成立， ∴原不等式成立．
2．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c
＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 答案 (1)1 (2)略
解析 (1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m ，
由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|－m ≤x ≤m}．
又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.
(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c
＝1，又a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)(1a ＋12b ＋13c
) ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c
)2＝9.。