赣州市赣县中学北校区高二数学10月月考试题北师大版

江西省赣州市赣县中学北校区2013-2014学年高二数学10月月考试题北师大版
命题时间：2013/10/4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．l 1、l 2是两条异面直线，直线m 1、m 2与l 1、l 2都相交，则m 1、m 2的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．相交 C ．异面 D ．相交或异面 2．某几何体的主视图如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．
的是(
)
3．直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图2(2)所示，
则其左视图的面积为( )
A ．4 B. 3 C ．2 3 D ．2
4．已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α
C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n 5．如图3是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ) A ．27 B ．30 C ．33 D ．36
6．如图4所示，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD ⊥面BCD ，连结AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为(
)
7．如图5，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是DD 1
的中
图1
点，N是A1B1上的动点，则直线ON，AM的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
8．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为( )
A.82
3
π B.
8
3
π C.
32
3
π D．8π
9．如图6，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．平面PAB⊥平面PAE
10．如图7所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( ) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________．
12．已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，m⊂β，给出四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中真命题的个数是________．
13．三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P—ABC的体积等于________．
14．如图8所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN，有以下四个结论：
①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN与面A1B1C1D1平行；④MN与A1C1是异面直线．
其中正确结论的序号是________．
15．如图9所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)如图10所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求：(1) BC′与CD′所成的角；
(2)AD与BC′所成的角．
17．(本小题满分12分)如图11所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝4，DC ＝3，E 是PC 的中点． (1)证明：PA ∥平面BDE ；
(2)求△PAD 以PA 所在的直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积．
18．(本小题满分12分)如图12，已知一个圆锥的底面半径为=1R ，高为2h .，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x . (1)求圆柱的侧面积．
(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
19．(本小题满分12分)如图13，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．
(1)求三棱锥E —PAD 的体积；
(2)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF .
20．(本小题满分13分) 如图13，四棱锥P ABCD －中，底面ABCD 是菱形，3
BAD π
∠＝，若P A P D ＝
，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：AD PB ⊥；
（2）若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.
21. 已知某几何体的直观图和三视图如图14所示，主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：11//BC C B N 平面； （2）求证：11BN C B N 平面； （3）求此几何体的体积.
图14
赣县中学北校区2013—2014学年上学期高二年级
十月月考数学试题参考答案
7．【解析】 如图所示，取BC 、AD 的中点E 、F ，分别连结B 1E ，EF ，FA 1，则ON ⊂平面A 1FEB 1. ∵AM ⊥A 1F ，AM ⊥A 1B 1，A 1F ∩A 1B 1＝A 1.∴AM ⊥平面A 1FEB 1，∴AM ⊥ON .【答案】 C
8．【解析】 依题意知，截面圆的半径r ＝1，球的半径R ＝12＋12＝2，故球体的体积V ＝43π(2)3
＝
823
π.【答案】 A 9．【解析】 ∵PB 在底面射影为AB ，AB 与AD 不垂直，∴PB 与AD 不垂直，排除A.又BD ⊥AB ，BD ⊥PA ，∴BD ⊥面PAB .但BD 不在面PBC 内，排除B.∵BD ∥AE ，∴BD ∥面PAE ，∴BC 与面PAE 不平行，排除C.又∵PD 与面ABC 所成角为∠PDA ，AD ＝2AB ＝PA ，∴∠PDA ＝45°.【答案】 D 10．【解析】 由已知易推出平面ABC 1⊥平面ABC ，故C 1在底面上的射影H 在两平面交线AB 上．【答案】 A
11. 【解析】设圆锥的底面半径为r. 则2 πr ＝2π，∴r ＝1，则圆锥的表面积：S ＝12
×2π×2＋πr
2
＝2π＋π＝3π.答案：3π 12．【解析】命题①，由l ⊥α，α∥β得l ⊥β，∴l ⊥m ，故①对；命题②，l ⊥mD /⇒l ⊥β，则l ⊥mD /⇒α∥β，故命题②错误．命题③，当α⊥β时，l 与m 也可能相交或异面，故③错误．命题④，由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，∴α⊥β，故④正确．【答案】 ①④ 12．【解析】 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA 为三棱锥P —ABC 的高，且PA ＝3，∵底面ABC 为正三角形且边长为
2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P —ABC ＝1
3
×3×3＝ 3.【答案】 3
14．【解析】考虑极端：M为A，N为B，排除②；M为B1，N为C1，排除④.如图作MM′⊥A1B1于M′，作NN′⊥B1C1于N′，易证|MM′|＝|NN′|，MM′∥NN′，MN∥M′N′，由此知①③正确．
【答案】①③
15．【解析】由已知得B1D⊥平面AC1，
又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.
设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，
DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，
∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，
解得x＝a或2a.
【答案】a或2a
16．解：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
连接A′C′，由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.
即BC′与CD′所成的角为60°.………………………………………6分
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.………………………12分
由三角形相似得
r h x R h -=，所以1(2)2
r x =-， S 圆柱侧=π21
(2)(2)2
x x x x -=π- 2(2)(02)x x x =π-+<<．…………………8分
(2) S 圆柱侧2(2)x x =π-+2[(1)1]x =π--+，又02x <<， 所以当1x =时，S 圆柱侧最大=π.……………12分
19．【解】 (1)∵V E —PAD ＝V P —ADE ，又PA ＝1，S △ADE ＝12AD ·AB ＝3
2
，
∴V E －PAB ＝13PA ·S △ADE ＝13×1×32＝3
6
.…………………………4分
(2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，
∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴EF ∥平面PAC . …………………………8分 (3)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥PA ，又BE ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ， ∴BE ⊥平面PAB .又AF ⊂平面PAB ， ∴AF ⊥BE .
又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点， ∴PB ⊥AF ，
又∵PB ∩BE ＝B ， ∴AF ⊥平面PBE .
∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE . …………………………12分
21．【解】（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴1,,BA BC BB 两两互相垂直。

∵11//C B BC ，N B C C B 1111平面⊂，N B C BC 11平面⊄， ∴N B C BC 11//平面……………………… 4分 连BN ，过N 作1BB NM ⊥，垂足为M ， ∵N ABB C B 111平面⊥，N ABB BN 1平面⊂， ∴BN C B ⊥11，… 5分
由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，AN BA ⊥， ∴ 244422=+=
BN ，2
2212144+=+=M B NM N B =24，…………………6分
∵643232,64822121=+=+==BN N B BB ，
∴N B BN 1⊥，……………………… 7分
∵N C B N N ，，C B C B 1111111平面平面⊂⊂，1111B C B N B =⋂。