第01课函数的概念及其表示(学案)(原卷版)

第01课 函数的概念及其表示-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求：
1. 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3. 了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、【考点逐点突破】
【考点1】概念：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
【典例】下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )
【考点2】同一个函数：(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.
【典例】(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1
B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1
C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，－x ，x <0 D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x
【考点3】函数的表示方法：解析法、图象法和列表法.
【典例】将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各作一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x 属于正整数集)的函数关系.
【考点4】分段函数：
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，
则f (f (1))＝( ) A ．－12
B ．2
C ．4
D ．11
【考点5】 分式型函数定义域，分母不为零的实数集合.
【典例】函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2]
C ．[－2,2]
D ．(－1,2] 【考点6】偶次方根型函数定义域，被开方式非负的实数集合.
【典例】函数f (x )＝
3x x －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞)
B ．(1，2)
C ．(0，2)
D ．[1，2]
【考点7】f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
【典例】函数f (x )＝3－x lg x 的定义域是( )
A.(0，3)
B.(0，1)∪(1，3)
C.(0，3]
D.(0，1)∪(1，3]
【考点8】若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.
【典例】函数f (x )＝(x ＋1)0
2－x
的定义域为________. 【考点9】抽象函数定义域
【典例】“若函数f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数f (x －1)的定义域为________. 【考点10】已知函数定义域求参数的范围
【典例】若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．
【考点11】换元法求函数解析式 【典例】已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________． 【考点12】用待定系数法求函数的解析式
【典例】已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.
【考点13】用解方程组的方法求函数的解析式
【典例】已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.
【考点14】用配凑法求函数的解析式
【典例】已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________. 【考点15】求分段函数的函数值
【典例】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），
若f (m )＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝________． 【考点16】分段函数与方程问题
【典例】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.
若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
【考点17】分段函数与不等式问题
【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，11－x
，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( ) A ．(－∞，2]
B ．(－∞，0]∪(1,2]
C ．[0,2]
D ．(－∞，0]∪[1,2]
【考点18】分段函数求参数问题
【典例】已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 【考点19】求初等函数在特定区间上的值域
【典例】求函数y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3)的值域
【考点20】用分离常数法求值域
【典例】求函数y ＝2x ＋1x －3
的值域 【考点21】用换元法求值域
【典例】y ＝2x －x －1
【考点22】用单调性求值域
【典例】y ＝x ＋1＋x －1
【考点23】函数的新定义问题
【典例】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为“n 阶整点函数”．给出下列函数：
①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；
③h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )
A ．①②③④
B ．①③
C ．①④
D ．④
二、【考点教材拓广】
【典例1】【教材第73页第15题】如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km , 从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h , 步行的速度是5 km/h,t (单位: h ）表示他从小岛到城镇的时间, x （单位: km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离. 请将t 表示为x 的函数.
（2）如果将船停在距点P4 km 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 1 h )?
【典例2】【教材第74页第16题】给定数集 A =R,B =(−∞,0], 方程u 2+2v =0，
(1) 任给 u ∈A , 对应关系f 使方程(1)的解v 与u 对应, 判断 v =f (u ) 是否为函数;
(2) 任给 v ∈B , 对应关系g 使方程(1)的解u 与v 对应, 判断 u =g (v ) 是否为函数.
【典例3】【教材第74页第17题】探究是否存在函数f (x ),g (x ) 满足条件:
(1) 定义域相同, 值域相同，但对应关系不同;
(2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同.
【典例4】【教材第74页第18题】在一个展现人脑智力的综艺节目中, 一位参加节目的少年能将圆周率 π 准确地记忆到小数点后面 200 位, 更神奇的是, 当主持人说出小数点后面的位数时, 这位少年都能准确地说出该数位上的数字. 如果记圆周率π小数点后第n 位上的数字为y , 那么你认为y 是n 的函数吗? 如果是, 请写出函数的定义域、值域与对应关系; 如果不是, 请说明理由.
三、【考点真题回归】
【典例1】【2022·北京卷】函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是________.
【典例2】【2018·高考全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩
⎨⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1，0)
D ．(－∞，0)
【典例3】【2023·扬州调研】已知g (x )＝f (2x －1)＋1，且g (x )的定义域为(1，4]，值域为[3，＋∞)，设函数f (x )的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( )
A.∅
B.[4，7]
C.[2，7]
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，52
【典例4】【2023·长沙调考】(多选)下列说法中正确的是( )
A.式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x 、因变量为y 的函数
B.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个
C.若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 D.f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数
【典例5】【2023·长春检测】函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为________.
【典例6】【2023·百校联盟联考】已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧ x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________.
【典例7】【2023·重庆质检】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，
则f (x )<f (x ＋1)的解集为________． 【典例8】【2023·安徽江淮十校联考】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －12，x <1，a x ，x ≥1，
若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( )
A.12
B.34 C ．1 D ．2。