无锡市高考数学一模试题(含答案解析) (19)

无锡市高考数学一模试题19
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.若集合，则A∩B中元素个数为（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2.已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）
A. 1
B. -1
C.
D.
3.不等式组表示的平面区域的面积是（）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
4.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β
的是（）
A. m⊥n，m⊥α，n∥β
B. m∥n，m⊥α，n⊥β
C. m⊥n，m∥α，n∥β
D. m∥n，m∥α，n⊥β
5.设f（x）=cos，a=f（log e），b=f（logπ），c=f（log），则下述关系式正确的
是（）
A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. b＞a＞c
D. c＞a＞b
6.已知a，b∈R，则a＞|b|是a|a|＞b|b|的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，则D（X）=（）
A. B. C. D.
8.如图所示，直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，F1，F2是双
曲线C的左、右焦点，F1关于直线l的对称点为F1′，且F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
9.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所
示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，
记其前n项和为S n，则S19等于（）
A. 129
B. 172
C. 228
D. 283
10.在关于x的不等式e2x2-（ae x+4e2）x+ae x+4e2＞0（其中e=2.71828…为自然对数的
底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初步健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”
其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为_______里，后三天一共走_____________里．
12.某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的
等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何
体的表面积是______，体积是______．
13.二项式（-）n的展开式中，若只有第六项的二项式系数最大，则n=______，
常数项的值为______．
14.如图，在△ABC中，AB＞AC，BC=2，A=60°，△ABC
的面积等于2，则sin B=______，角平分线AM的长等
于______．
15.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位和十位上的数
字都为偶数的四位数共有______个（用数字作答）．
16.已知a，b∈R，a+b=4，则+的最大值为______
17.点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动
点M满足：||2=2，则||的最大值为______
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=1，C=．
（1）若cos（θ+C）=，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若sin C+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．
19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使
得BD=2，得到几何体D-ABCE．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCE；
（Ⅱ）求直线DA与平面BCD所成角的正弦值．
20.已知数列{a n}中，a1=4，其前n项和S n满足：S n=a n+1+n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=，数列{b n2}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜．
21.A，B，C，D在抛物线x2=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称，过点D作抛物
线的切线l，BC∥切线l，点D到AB，AC的距离分别为d1，d2，且d1+d2=．（Ⅰ）判断△ABC是锐角、直角还是钝角三角形？
（Ⅱ）若△ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．
22.已知f（x）=e x-a ln x-a，其中常数a＞0．
（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜1＜x2＜a；
（3）求证：e2x-2-e x-1ln x-x≥0．
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1.答案：D
解析：解：由x2-9x＜0，得0＜x＜9．
∴A={x|x2-9x＜0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6，7，8}．
又B={y|N*}={1，2，4}．
∴A∩B={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，4}={1，2，4}．
∴A∩B中元素个数为3个．
故选：D．
求解一元二次不等式化简集合A，化描述法为列举法得集合B，然后利用交集运算求解．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2.答案：A
解析：解：∵是纯虚数，
∴，0，解得a=1，
故选：A．
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
3.答案：B
解析：解：作出
表示的平面区域，
如图阴影部分所示
由图知，可行域是梯形，其面积为
故选：B．
画出不等式组表示的平面区域，判断
出平面区域的形状，利用梯形的面积
公式求出平面区域的面积．
本题考查画不等式组表示的平面区
域：直线定边界，特殊点定区域、考
查梯形的面积公式．属基础题．
4.答案：D
解析：解：A．当m⊥n，m⊥α时，n∥α或n⊂α，若n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以A 错误．
B．m∥n，m⊥α，则n⊥α，若n⊥β，所以α∥β，所以B错误．
C．若m⊥n，m∥α，则n与α关系不确定，所以即使n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以C 错误．
D．若n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m∥α，所以α⊥β，所以D正确．
故选：D．
根据面面垂直的判定定理分别进行判断即可．
本题主要考查面面垂直的判断，利用空间直线和平面之间平行或垂直的性质是解决本题的关键．
5.答案：C
解析：解：∵f（x）=cos在（0，5π）上单调递减，且f（x）为偶函数，
∵a=f（log e）=f（-log eπ）=f（log eπ），b=f（logπ）=f（-logπe）=f（logπe），c=f（log）=f（log），
又∵0＜logπe＜1＜log eπ＜log＜5π，
∴f（logπe）＞f（log eπ）＞f（log），即b＞a＞c．
故选：C．
由f（x）=cos在（0，5π）上单调递减，且f（x）为偶函数，从而可比较大小．
本题主要考查了利用三角函数的单调性比较函数值的大小，解题关键是要把比较的变量转化到同一单调区间上．
6.答案：A
解析：解：若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a＞b
则a|a|=a2，则a|a|＞b|b|成立，
当a=1，b=-2时，满足a|a|＞b|b|，但a＞|b|不成立，
即a＞|b|是a|a|＞b|b|的充分不必要条件，
故选：A．
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系和性质是解决本题的关键．
7.答案：B
解析：解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，
∵E（X）=0×+p+2q=1①，
又+p+q=1，②
由①②得，p=，q=，
∴D（X）=（0-1）2+=，
故选：B．
设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）=，E（X）=1，列出方程组，求出p=，q=，由此能求出D（X）．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8.答案：C
解析：【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
先求出点F1′的坐标，再根据F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得（-c）2+（--0）2=c2，整理化简即可求出．
【解答】
解：直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则直线l为y=x，
∵F1，F2是双曲线C的左、右焦点，
∴F1（-c，0），F2（c，0），
∵F1关于直线l的对称点为F1′，设F1′为（x，y），
∴=-，=•，
解得x=，y=-，
∴F1′（，-），
∵F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，
∴（-c）2+（--0）2=c2，
整理可得4a2=c2，
即2a=c，
∴e==2，
故选：C．
9.答案：D
解析：解：杨辉三角形的生成过程，
n为偶数时，a n=，
n为奇数时，a1=1,a3=3，
∴a3-a2=2，
a5-a3=3，
…，
，
∴S19=a1+a3+...+a19+（a2+a4+ (18)
=（1+3+6+...55）+（3+4+5+ (11)
=220+63=283
故选：D．
根据杨辉三角的生成过程，分奇偶讨论，求出数列的通项公式，也可以用列举法把该数列的前19项写出来，再求和．
考查杨辉三角的产生过程及数列求和问题，有关数列求和问题的解决方法和途径，要紧抓数列的通项公式，在求数列通项公式的时，体现了分类讨论的思想，如果一个数列的通项不易求出时并且所求和不是很大，也可以用列举法写出各项，再求和，属基础题．10.答案：D
解析：解：由e2x2-（ae x+4e2）x+ae x+4e2＞0，
化简得e2（x-2）2＞a（x-1）e，
设f（x）=e2（x-2）2，g（x）=a（x-1）e x，则原不等式即为f（x）＞g（x）．
若a≤0，则当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0，
∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴a＞0．
∵f（2）=0，g（2）=ae2＞0，∴f（2）＜g（2）．
当f（3）≤g（3），即时，设h（x）=f（x）-g（x）（x≥4），
则．
设，则，
∴φ（x）在[4，+∞）上为减函数，
∴φ（x）≤φ（4）=2e2（2-e）＜0，
∴当x≥4时，h'（x）＜0，∴h（x）在[4，+∞）上为减函数，
即，
∴当x≥4时，不等式f（x）＜g（x）恒成立，
∴原不等式的解集中没有大于2的整数．
∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
则，即，
解得．
则实数a的取值范围为[，）．
故选：D．
化简不等式可得e2（x-2）2＞a（x-1）e，设f（x）=e2（x-2）2，g（x）=a（x-1）e x，则原不等式即为f（x）＞g（x），根据两函数的单调性分类讨论，得出不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数的不等式组解出即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．11.答案：192 42
解析：解：记每天走的路程里数为{a n}，则{a n}是公比的等比数列，
由S6=378，得=378，解得：a1=192，
∴a4+a5+a6==42，
故答案为：192；42。