高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合学案理北师大版

第一节集合
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
(对应学生用书第1页)
[基础知识填充]
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言
集合间的基本关系
相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一
个元素不是A中的元素
A B
空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
并集交集补集
图形表示
符号表示A∪B A∩B ∁U A
意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.
(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x2上的点集．
(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．
(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合．
(5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确．
(6)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是( )
【导学号：79140000】A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
D[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a∉A.]
3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( ) A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.]
4．设全集U＝{x|x∈N＋，x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于( ) A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,5} D．{2,4}
D[由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．]
5．已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝________.
－1 [由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋x ＝0，
4x ≠0或⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＝0，
x 2
＋x ≠0，
解得x ＝－1.]
(对应学生用书第2页)
集合的基本概念
(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(2)已知a ，b ∈R ，若⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ，b a
，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019
为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．±1
(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7.
当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a
＝0，
所以b ＝0，于是a 2
＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a
2 019＋b
2 019
＝(－1)
2 019
＋0
2 019
＝－1.]
[规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 2看这些元素满足什么限制条件. 3
根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元
素的互异性.
A.92
B.98 C ．0 D ．0或98
(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2
＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.
【导学号：79140001】
(1)D (2)－32
[(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2
－3x ＋2＝0只有一个实根或
有两个相等实根．
当a ＝0时，x ＝2
3
，符合题意；
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2
－8a ＝0得a ＝98，
所以a 的取值为0或9
8
.
(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2
＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2
＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；
当2m 2
＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，
此时当m ＝－32时，m ＋2＝1
2≠3符合题意．
所以m ＝－3
2
.]
集合间的基本关系
(1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2
，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2
，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆B
D ．B ＝A
(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．
(1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2
，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .
(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，
当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－m ≥－1，m ≤3，
－m ＜m .
所以0＜m ≤1.
综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等
表示各个集合，从元素
或图形中寻找关系.
2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.
易错警示：B ⊆A A ≠∅，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.
[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．
(1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，
所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，
∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4.]
集合的基本运算
◎角度1 集合的运算
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x
＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}
D ．A ∩B ＝∅
(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )
＝( )
A ．{1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－3，－2，－1,0}
D ．{2}
(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x
＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．
又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数
(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪
⎪
1
2a ≤x ≤2a －1，若
A ∩
B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
D ．(1，＋∞)
A [集合A ∩
B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧
12
a ≤2a －1，2a －1≥1，
解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题
如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合
A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合
B 是自然数集，则A ∩B ＝______.
{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2
＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．] [规律方法] 解决集合运算问题需注意以下四点： 1
看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提. 2
看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明
了，易于求解.
3要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍. 4
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问
题来解决.
{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如
图1­1­1)表示的集合是( )
图1­1­1
A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
(3)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x
＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.
【导学号：79140002】(1)C(2)D(3){0}∪[2，＋∞)[(1)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
故选C.
(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－
3，－1)．
(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]。