带电粒子在有界磁场中运动的临界问题导学案

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
湖北省恩施高中
陈恩谱
【复习目标】
深入理解并熟练掌握“带电粒子在有界磁场中运动的临界问题”的六大问题类型的特点和通用解决方 法；在具体问题中能够识别问题的类型，并能够应用本节课所学方法作图、分析进而解决问题。

【重点难点】
“带电粒子在有界磁场中运动的临界问题”的六大类型问题中轨迹圆圆心可能的位置。

【基础回顾】
1、 带电粒子垂直进入匀强磁场后，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径公式为 r= __________ ，周期
公式为 _________________ ;当粒子速度增大时，轨迹半径 __________________ ，周期 ___________ ;当磁感应强度增大时， 轨迹半径 ____________ ，周期 ___________ 。

2、 若已知某时刻粒子在匀强磁场中的位置和速度方向，则粒子仅在洛伦兹力作用下做圆周运动的轨
迹圆心一定在 ________________________________ 线上；若已知粒子绕圆心转过的偏转角为
a 则粒子转过这个角
度所用的时间为t= ____________ = _________ = __________ ;在轨迹半径确定的情况下，粒子偏转角越大，所 走过轨迹弧长越 _________ ，对应的弦长 _________________________________________________ 。

【热身探究】
问题类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定 （即轨道半径不确定）
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，
磁感应强度为 B ，板间距离也为L ,板不带电.现有质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射 入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用
的办法是（
）
A •使粒子的速度
B •使粒子的速度 v>-5Bm L
C •使粒子的速度v>Bm L
D •使粒子的速度Bq^vw 5^
圆心位置： _________________________________________________________________________________________ 作图技巧： __________________________________________________________________________________________
问题类型二：已知入射点和入射速度大小 （即轨道半径大小），但入射速度方向不确定
【例2］如图所示，宽d = 4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场
方向垂直纸面向里。

现有一群正粒子从 0点以相同的速率沿纸面不同方向进入 磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为
r = 10 cm ，则（
）
A .右边界：—8 cm v y v 8 cm 有粒子射出
B .右边界：0v y v 8 cm 有粒子射出
C .左边界：y > 8 cm 有粒子射出
D .左边界：0v y v 16 cm 有粒子射出
X *y/cm ；
x x
吃打打#打打/打/和打打"打入
圆心位置： ；
作图技巧：__________________________________________________________________________________________ 。

【深入探究】
问题类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小 (即未知半径大小) 和方向 【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，
磁感应强度
v i
•
* • B •
的方向垂直于xOy 平面向外，大小为 B ,沿x 轴放置一个垂直于 xOy 平
«
•
«
»
,
I ■ ■
■
■
面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上，在 y 轴上的A 点放置一放射源，
• • • • *
« •
*
可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为
m 、电 ■■丿
‘
+ q 的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线,
求:
(1 )若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少?
(2)若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少?
圆心位置：
作图技巧：__________________________________________________________________________________________
问题类型四：已知初、末速度的方向(所在直线)，但未知初速度大小
【例4】在xOy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁 场，磁感应强度
大小为 B.—个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子，由原点 O 开始沿x 正方向运动，进入该磁
场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过
y
轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30° (如图所示)，已知 P 到O 的距 离为L ,不计重力的影响。

(1 )若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可 能值;
(2)若粒子速度大小为 v 二鰹，试求该圆形磁场区域的最小面积。

6m
P 点处在亮线上，已知 OA =0P = I ,
(即未知轨道半径大小)
y
i L
圆心位置： 作图技巧： 【自主探究】
问题类型五：已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定 【例5】如图所示，长方形abed 的长ad=0.6m ,宽ab=0.3m, 0、
-3
q=+2 X 10 C 的带正电粒子以速度 v=5 X 02m/s 沿垂直ad 方向且垂直于
磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（
A. 从0d 边射入的粒子，出射点全部分布在 0a 边
B. 从a0边射入的粒子，出射点全部分布在 ab 边
C. 从0d 边射入的粒子，出射点分布在 ab 边
D. 从ad 边射人的粒子，出射点全部通过
b 点
圆心位置： _________________________________________________________________________________________ 作图技巧： __________________________________________________________________________________________
问题类型六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定
【例6】如图所示，现有一质量为 m 、电量为e 的电子从y 轴上的P （0, a ）点以初速度v °平行于x 轴
be 的中点，以e 为圆心eb 为半径的圆弧和以
0为圆心0d 为半径的
圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场
（eb 边界上无磁场）磁 X X K ：
$ 冥x 严
■ \
丄 x B x
感应强度 B=0.25T 。

一群不计重力、质量
m=3x io -7kg 、电荷量
e 分别是ad 、
从x轴上的Q ( b, 0)点射出磁场。

试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。

圆心位置：
作图技巧：__________________________________________________________________________________________
【巩固训
练】1、两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点0为原点，如图所示。

在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。

在0点处有一
小孔，一束质量为m、带电量为q( q>0 )的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打
在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值•已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为
2: 5,在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。

试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。

X
X
X
X
x :-
xi.
x L・
2、如图所示，在OWxg、0<y专范围内有垂直手xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B 。

坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相
同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0〜9O0范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运
动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰y
好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒”
子源射出时的・* ■ • * ■ n :
(1)速度的大小；* ■ • * 1■
• ■ ■ ■ ■ ■
1
⑵速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

■
3、图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B
的匀强磁场，方向垂直纸面向外，0是MN上的一点，从0点
可以向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个
方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相
遇.P到0的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用.
(1 )求所考察的粒子在磁场中的轨道半径.
(2)求这两个粒子从0点射入磁场的时间间隔.
4、如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场.一个质量为m,带电荷量为+ q的粒子从
坐标原点O以速度v o沿x轴正方向开始运动.当它经过图中虚线上的M(2・，3a, a)点时，撤去电场，粒子
继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点•已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求：
(1) 电场强度的大小；
(2) N点的坐标；
(3) 矩形磁场的最小面积.
5、如图所示，在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。

在圆的左边0<y<2R的
区间内有一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒沿x 轴正方向射向该
区域，其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经
磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。

(1)求磁感应强度B的大小和方向。

⑵请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

N\
I。