2008年高考理科数学试题及参考答案(北京卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0
11．5
10
12．2 2-
13．②
14．(12)， (3402)
， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）
解：（Ⅰ
）
1cos 2()22x f x x ωω-=
11
2cos 222x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，
所以2ππ
2ω=，解得1ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
π1()sin 262f x x ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭． 因为
2π
03x ≤≤
，
所以ππ7π26
66x --≤≤
， 所以1πsin 21
26x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，
因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，．
16．（共14分） 解法一：
（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
AP BP = ， PD AB ∴⊥．
A
C
B
D
P
AC BC = ， CD AB ∴⊥．
PD CD D = ， AB ∴⊥平面PCD ．
PC ⊂ 平面PCD ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）AC BC = ，AP BP =，
APC BPC ∴△≌△．
又PC AC ⊥，
PC BC ∴⊥．
又90ACB ∠=
，即AC BC ⊥，且AC PC C = ，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，．
AB BP = ，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中，90BCE ∠=
，2BC =
，
BE AB =
=，
sin BC BEC BE ∴∠=
=．
∴二面角B AP C --
的大小为
arcsin
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，
A
C
B
E P
A
C
B
D
P
H
∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．
平面APB 平面PCD PD =，
CH ∴⊥平面APB ．
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．
由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A = ，
PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂ 平面ABC ， PC CD ∴⊥．
在Rt PCD △
中，
12CD AB =
=
2PD PB ==
2PC ∴=．
3PC CD CH PD ∴=
= ．
∴点C 到平面APB
的距离为．
解法二：
（Ⅰ）AC BC = ，AP BP =，
APC BPC ∴△≌△．
又PC AC ⊥，
PC BC ∴⊥．
AC BC C = ， PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ，
PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．
则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，
，．
PB AB == ，
2t ∴=，(002)P ，
，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．
AC PC
= ，
AB BP
=，
CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
(011)E ，，，(011)EC =-- ，，，(211)EB =-- ，，，
cos EC EB BEC EC EB
∴∠==
= ．
∴二面角B AP C --
的大小为
．
（Ⅲ）AC BC PC == ，
C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．
2BH HE = ，
∴点H 的坐标为222333⎛⎫ ⎪
⎝⎭，，．
CH ∴=
．
∴点C 到平面APB
的距离为．
C
17．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么
3324541
()40A A P E C A ==
，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么
4424541
()10A P E C A ==
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
9
()1()10P E P E =-=
．
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，
则
23
5334541
(2)4C A P C A ξ===
．
所以
3
(1)1(2)4P P ξξ==-==
，ξ的分布列是
ξ
1 3
P
34 14
18．（共13分）
解：24
2(1)(2)2(1)
()(1)x x b x f x x ----'=
-
3222
(1)x b x -+-=
- 32[(1)](1)x b x --=-
-．
令()0f x '=，得1x b =-．
当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：
x
(1)b -∞-， 1b - (11)b -， (1)+∞，
()f x '
-
+ -
当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：
x
(1)-∞， (11)b -， 1b - (1)b -+∞，
()f x '
- +
-
所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1
)+∞，上单调递减． 当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，
上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．
当11b -=，即2b =时，2
()1f x x =
-，所以函数()f x 在(1)-∞，
上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．
由2234x y y x n ⎧+=⎨=-+⎩，
得2246340x nx n -+-=．
因为A C ，在椭圆上，
所以2
12640n ∆=-+>
，解得
n <<． 设A C ，两点坐标分别为
1122()()x y x y ，，，，
则1232n x x +=，
21234
4n x x -=
，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以
122n y y +=
．
所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，．
由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，在直线1y x =+上，
所以3144n n =+，解得2n =-．
所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=
，
所以
AB BC CA
==．
所以菱形ABCD
的面积
2
S =
．
由（Ⅰ）可得22
2
2
1212316
()()2n AC x x y y -+=-+-=
，
所以
2316)S n n ⎛=
-+<< ⎝⎭．
所以当0n =时，菱形ABCD
的面积取得最大值 20．（共13分） （Ⅰ）解：
0532A ：，，，
10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，
则
1()T A 为n ，11a -，21a -， ，1n a -，
从而
112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]
n S T A n a a n a =+-+-+++- 222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++- ．
又222
1212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++ ，
所以
1(())()S T A S A -
122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++ 2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，
故
1(())()S T A S A =．
（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列
12n a a a ，，，．
当存在1i j n <≤≤，使得i j
a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，
则
()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0
j i i j a a =--≤．
当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++==== 时，若记数列12m a a a ，，，为C ，
则()()S C S A =． 所以
2(())()S T A S A ≤．
从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +== ，，，
可知
11()(())k k S A S T A +≤．
又由（Ⅱ）可知
1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．
即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．
因为
()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++=== ．
即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。