第六章 第一节 不等式的性质及一元二次不等式

课时规范练
A组基础对点练
1．设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式成立的是()
A．a－b＞0B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0
解析：当b≥0时，a＋b＜0；当b＜0时，a－b＜0，所以a＜b＜0，所以a ＋b＜0.
答案：D
2．(2019·运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()
A．ac＞bd B．ac＜bd
C．ad＜bc D．ad＞bc
解析：根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.
答案：B
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}，所以B＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
答案：C
4．函数f(x)＝
1
ln(－x2＋4x－3)
的定义域是()
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．
答案：D
5．若a>b>0，c<d<0，则一定有()
A.a
d>
b
c B.
a
d<
b
c
C.a c >b d
D.a c <b d
解析：∵c <d <0，∴0>1c >1d ，两边同乘－1，得－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不
等式的性质可知－a d >－b c >0，两边同乘－1，得a d <b c .故选B.
答案：B
6．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A ．a >0,4a ＋b ＝0
B ．a <0,4a ＋b ＝0
C ．a >0,2a ＋b ＝0
D ．a <0,2a ＋b ＝0 解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)，
∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ，
∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，
且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，
而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A.
答案：A
7．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．
解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －13＋12＝－2a ，
－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2
＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的 解集为(－2，3)．
答案：(－2,3)
8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a >0的解集是__________． 解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 9．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．
答案：(0,8)
10．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x
＋2)＜5的解集是________．
解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．
答案：(－7,3)
B 组 能力提升练
11．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．a ＋1b ＞b ＋1a
B.b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1a D.2a ＋b a ＋2b ＞a b
解析：取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上
的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当
a ＞
b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立，即a －1a ＞b －1b ⇔a ＋1b ＞b ＋1a ，但g (a )＞g (b )
未必成立．
答案：A
12．已知a ＞b ＞0，则 a － b 与
a －
b 的大小关系是( ) A.a － b ＞
a －
b B.a － b ＜ a －b C.a － b ＝ a －b D ．无法确定
解析：( a － b )2－( a －b )2＝a ＋b －2 ab －a ＋b ＝2(b － ab )＝2 b (
b － a )，因为a ＞b ＞0，所以 b － a ＜0，所以( a － b )2－( a －b )2＜0，所以 a － b ＜ a －b .
答案：B
13．已知下列不等式①x 2－4x ＋3＜0；②x 2－6x ＋8＜0；③2x 2－9x ＋a ＜0，且使
不等式①②成立的x 也满足③，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥94
B ．a ≤10
C ．a ≤9
D ．a ≥－4
解析：联立①②得⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，即⎩⎨⎧ 1＜x ＜3，2＜x ＜4，
解得2＜x ＜3，所以2＜x ＜3也满足③2x 2－9x ＋a ＜0，所以③的解集非空且(2,3)是③的解集的子 集．令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，即2＜x ＜3时，f (x )max ＜0，又f (x )的对称轴为x ＝94
.由f (x )＝2x 2－9x ＋a ＜0，得f (2)＝8－18＋a ≤0，且f (3)＝18－27＋a ≤0，解得a ≤9.
答案：C
14．若不等式组⎩⎨⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0
的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4]
B ．[－4，＋∞)
C ．[－4,3]
D ．[－4,3)
解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩
⎨⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，
则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－
4－a >0，即a <－4，则使⎩
⎨⎧
x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.
答案：B
15．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D
的大小关系是__________．
解析：令a ＝－14，则A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45，所以D <B <A <C .
答案：D <B <A <C
16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0
为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为__________．
解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.
当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)。