广州六中高二理科数学14周周末卷-(4)

广州六中高二理科数学14周周末卷
2013.5.25
一、选择题
1．已知,x y R ∈，为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)
x y
i ++的值为（ ）
A ．4
B ．i 44+
C ．4-
D ．i 2
2．设随机变量ξ服从正态分 布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ） A ．3 B ．
53 C ．5 D ．73
3．下列大小关系正确的是
(A) 30.440.43log 0.3<< (B) 30.4
40.4log 0.33<< (C) 30.44log 0.30.43<< (D) 0.43
4log 0.330.4<<
4．若函数
()323f x ax x x
=+-恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为 ( )
A ．(3,)-+∞
B ．[3,)-+∞
C ．(3,0)(0,)-+∞U
D ．(,0)(0,3)-∞U 5．由抛物线x y =2
和直线x =2所围成的图形的面积等于（ ）
A ．
B ．
C D
6．已知]2
,2[,π
πβα-
∈，且0sin sin >-ββαα，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. βα>
B. βα<
C. 0
>+βα
D. 22
βα>
7a ＞0，b ＞0 （ ）
A ．1 C ．2 D 8．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2006个圆中有（ ）个实心圆。

A.61 B.61 C ．62 D.63 二、填空题（第9.10题均用数字作答） 9．若二项式(
n x 的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．
10．从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 种.
11．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园。

为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为 .
12．某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》是等可能的，若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计．．．．出的圆周率精确到0.01） 13．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y cm ）如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：
10
1
()()i
i
i x x y y =--=∑1
82.5i =；某刑侦
，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．
14．已知函数2
()2ln(2)2
f x x ax a x =--在(1,2)上单调递减，则a 的取值范围是 三、解答题
15．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
科目甲科目乙总计
第一小组156
第二小组246
总计3912
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．
16．一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或着打错得0分”. 某考生已确定有5道题的答案是正确的，其余题中，有一道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.
（1）求出该考生得40分的概率;
（2）写出该考生所得分数X的分布列，并求出X数学期望.
17．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
（1）请在图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值．
18．已知函数2
()(1)
x
f x e ax x
=++，a R
∈；
（1）讨论()
f x的单调性；
（2）若()
f x在[0,1]上的最大值为
3
2
e
，求a的值．
学生A1A2A3A4A5
数学（x分8991939597
物理（y分）8789899293
19．已知中心在原点O ，焦点在x
）． （1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O 的直线与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．
20．已知函数()ln f x x =，2
()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性； （3）证明：对任意*
n N ∈，都有
广州六中高二理科数学14周末卷参考答案
1．C 2．D 3．C 4.C 5．D 6．D 7.D 8．B 9．9 10．74 11．24 12．3.12 13．185.5 14．85
a ≥
15．试题分析：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件B .由于事 件A 、B 相互独立，
且25
262()3C P A C ==, 2
42
6
2()5C P B C ==. 4分 所以选出的4人均选科目乙的概率为
224
()()()3515
P A B P A P B ⋅=⋅=⨯= 6分
（2）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得
4(0)15P ξ==, 21112524542222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,1
5
22
6611(3)45
C P C C ξ==⋅=， 2
(2)1(0)(1)(3)9
P P P P ξξξξ==-=-=-==
… 9分 ξ的分布列为
∴ξ的数学期望012311545945
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
16． 试题分析：⑴其余3道题中，各题答对的概率分别为12，13，1
4
.
故得40分的概率为1111
23424
P =⨯⨯= 6分
⑵X 的取值为25、30、35、40 8分
1111(25)(1)(1)2344
P X ==
⨯-⨯-=， 12311312111
(30)23423423424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
， 1111211131
(35)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,
1
(40)24
P X ==. 分布列为 X 25
30
35
40
P
1
4
1124 14 124
11111365
2530354030.442442412
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=≈………13分
17． （1）散点图如右图所示．1分
x =59795939189++++=93，y =5
9392898987++++=90，
,
4042 0
)2()4()(2
2
2
225
1
2=+++-+-=-∑=i i
x x
303422)1(0)1()2()3()4())((5
1
=⨯+⨯+-⨯+-⨯-+-⨯-=--∑=i i i
y y x x
， 30
0.7540
b =
=，69.75bx =，20.25a y bx =-=． 5分
故这些数据的回归方程是：ˆ0.7520.25y
x =+． 6分
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2． 7分
22241(0)=6C P X C ==；1122242(1)=3C C P X C ==；2
2241
(2)=6
C P X C ==． 10分
故X 的分布列为：
()E X ∴=610⨯+321⨯+6
1
2⨯=1． 12分
18．（1）()(2)(1)0x
f x e x ax '=++= 12x a
⇒=--或
若0a <，()f x 在11
(,2)(2,)(,)a a
-∞-↓--↑-+∞↓
若0a =，()f x 在(,2)(2,)-∞-↓-+∞↑ 若102a <<，()f x 在11
(,)(,2)(2,)a a
-∞-↑--↓-+∞↑ 若1
2a =
，()f x 在(,)-∞+∞↑ 若12a >，()f x 在11
(,2)(2,)(,)a a -∞-↑--↓-+∞↑
（2）若100a a -<⇒>，()(0,1)f x ↑在，max 31
()(1)(2)22
f x f e a e a ==+=⇒=-，舍去
若1011a a <-<⇒<-，11()(0,)(,1)f x a a
-↑-↓在，1
1
max 1()()a f x f e e a -=-=<舍去
若1110a a -
>⇒-<<，()(0,1)f x ↑在，max 31
()(1)(2)22
f x f e a e a ==+=⇒=- 若0a =，()(0,1)f x ↑在，max ()(1)2f x f e ==，舍去
若1a =-，()(0,1)f x ↑在，max ()(1)f x f e ==，舍去 综上所述1
2
a =-
19．试题分析：（1）由题意可设椭圆方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>，……………1分
则22211
2c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，……………3分 , 解的21a b =⎧⎨=⎩，……………5分
所以，椭圆方程为2
214
x y +=． 6分 （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠，1,12,2(),()P x y Q x y ， 7分
由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 8分 则22
22
2
2
2
6416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>，
且122
814km
x x k -+=+，21224114m x x k -=+． 9分
故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++． 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，
所以，2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==，即222
2
8014k m m k -+=+， 10分
又0m ≠，所以214k =
，即1
2
k =±． 11分 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得202m <<且21m ≠． 设d 为点O
到直线的距离，则1211
22
OPQ S d PQ m x x ∆=
⋅=⋅-=， 12分 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)． 14分
20（1）∴21b a =-- ……
（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)
ax x x
--=
……4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞
∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立， 由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，
即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当0a >时，令'()0g x =得1x =或1
2x a
=， 若
112a <，即1
2
a >时， 由'()0g x >得1x >或102x a <<
，由'()0g x <得1
12x a
<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1
(,1)2a
单调递减；
若112a >，即102
a <<时， 由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得1
12x a
<<，
即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1
(1,)2a
单调递减；
若112a =，即12
a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，
（3）由（2）知当1a =时，函数2
()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2
ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即
2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，
令*11,x n N n =+∈，则2111
ln(1)n n n +>-， 2222111111111111
ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-
2222111111111111
ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n
∴++++++>-+-+-++-。